夾層旋轉(zhuǎn)扁殼軸對(duì)稱非線性穩(wěn)定的樣條函數(shù)解法

侯朝勝

(天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072)

夾層板殼因重量輕、剛度大等優(yōu)良特性在航空、航天、航海和海洋工程得到廣泛應(yīng)用．在進(jìn)行非線性的計(jì)算時(shí)，由于數(shù)學(xué)上的困難，一般都采用Reissner模型．劉人懷[1]首先建立夾層圓板非線性彎曲方程，他同其他作者進(jìn)一步推廣到夾層扁球殼[2-6]和夾層扁圓錐殼[7-8]．本文把文獻(xiàn)[9]的公式和方法推廣，計(jì)算夾層旋轉(zhuǎn)扁殼的非線性穩(wěn)定，而把球殼或圓錐殼作為其特例．

1 基本方程及邊界條件

設(shè)夾層旋轉(zhuǎn)扁薄殼的中面方程為

式中：Z為中面豎向坐標(biāo)；r為徑向坐標(biāo)；μ為表板泊松比；h為殼厚度；b i為無(wú)量綱常數(shù)；c為殼底面圓半徑．設(shè)夾層扁殼受分布荷載(r)或均布邊緣力矩作用，采用文獻(xiàn)[9]的Reissner 模型、符號(hào)和無(wú)量綱量，再引入

旋轉(zhuǎn)夾層扁殼的無(wú)量綱非線性彎曲方程式及轉(zhuǎn)角[2-3,8-9]為

不考慮邊緣的徑向力和預(yù)應(yīng)力，問(wèn)題的邊界條件[9]為

2 問(wèn)題求解

選3 次B 樣條函數(shù)為試函數(shù)，分劃x 定義域?yàn)閚等分，分點(diǎn)號(hào)依次為0，1，…，n．虛設(shè)2 個(gè)結(jié)點(diǎn)為－1 和n＋1，取s＝1/n，xi＝i/n，設(shè)

采用同文獻(xiàn)[9]一樣的推導(dǎo)過(guò)程，把式(11)和式(12)代入式(3)和式(4)，對(duì)第i個(gè)結(jié)點(diǎn)可得

對(duì)i＝0 結(jié)點(diǎn)，若忽略中心的奇異性得，即

對(duì)邊界條件式(6)～式(9)進(jìn)行推導(dǎo)可得

式(13)～式(20)共2n＋6 個(gè)非線性方程，用牛頓迭代法求解可以確定2n＋6 個(gè)待定系數(shù)Bi、Ci(i＝－1，0，1，…，n，n＋1)．進(jìn)一步可得內(nèi)力及撓度．撓度表達(dá)式為

式中積分常數(shù)c1由邊界條件式(10)確定．

解非線性方程的方法和收斂精度見(jiàn)文獻(xiàn)[9]．

用試算法計(jì)算扁殼的穩(wěn)定性，采用拋物線法[6]或逐步加(減)載法[10]確定上、下臨界荷載．

3 算例及說(shuō)明

所有算例中，表板泊松比μ＝0.3．表中點(diǎn)數(shù)n即為式(11)～式(21)的n．表中的數(shù)據(jù)均為無(wú)量綱．表1～表3 中3 種殼的中面坐標(biāo)參數(shù)如下．

表1 受均布荷載作用的夾層殼的臨界荷載(K＝0.05)Tab.1 Critical loads of sandwich shells subjected to uniformly distributed load (K＝0.05)

表2 受均布荷載作用的夾層殼的臨界荷載(K＝0.01)Tab.2 Critical loads of sandwich shells subjected to uniformly distributed load (K＝0.01)

表3 受9次多項(xiàng)式分布荷載作用的夾層殼的上、下臨界荷載(K＝0.01)Tab.3 Critical loads of sandwich shells subjected to 9-degree polynomial distributed loads (K＝0.01)

(1) 圓錐殼：v＝1，b1＝10．

(2) 球殼：v＝2，b1＝0，b2＝10．

在表4～表6 中，文獻(xiàn)[2，4，8]的數(shù)據(jù)是按圖估計(jì)，然后換算得出的．文獻(xiàn)[6]的數(shù)據(jù)是用冪函數(shù)法得出的．

表4 受均布邊緣力矩的簡(jiǎn)支夾層球殼的臨界荷載Tab.4 Critical loads of spherical sandwich shells with simply supported edge subjected to uniform edge moments

表4 受均布邊緣力矩的簡(jiǎn)支夾層球殼的臨界荷載Tab.4 Critical loads of spherical sandwich shells with simply supported edge subjected to uniform edge moments

n M0,upper M0,lower文獻(xiàn)[2] 15 3.3文獻(xiàn)[6] 13.307,23 5.077,565 5 13.57 4.812 20 13.23 5.062 100 13.308 5.076,9 200 13.3074 5.077,36 2 000 13.307,268 5.077,508,5 5 000 13.307,267 5.077,509,8

表5 受均布荷載作用的夾層扁球殼的上、下臨界荷載及中心撓度(K＝0.05)Tab.5 Upper，lower critical loads and central deflection of shallow spherical sandwich shells subjected to uniformly distributed load (K＝0.05)

表6 固定夾緊夾層扁圓錐殼受均布荷載的臨界荷載(K＝0.05)Tab.6 Critical loads of shallow conical sandwich shells with rigidly clamped edge subjected to uniformly distributed loads(K＝0.05)

4 結(jié) 論

(1)本文導(dǎo)出了計(jì)算夾層旋轉(zhuǎn)扁殼的大撓度公式的一般形式．本文的解與冪函數(shù)法的解[3，6]非常一致，說(shuō)明本文提出的方法是可靠的、有效的．與攝動(dòng)解差別較大是因?yàn)閿z動(dòng)解[2，4，8]是低階解，精度較低．

(2)一般地說(shuō)，如浮點(diǎn)數(shù)的有效數(shù)字足夠長(zhǎng)，只要點(diǎn)數(shù)增加，可得到更高精度的解答．用不同的點(diǎn)數(shù)計(jì)算同一問(wèn)題，比較它們的結(jié)果可判斷解的精度和收斂范圍．

(3)計(jì)算球殼的精度高于計(jì)算圓錐殼的精度．因計(jì)算下臨界荷載時(shí)，殼處于大變形狀態(tài)，故一般情形下，計(jì)算下臨界荷載的精度低于計(jì)算上臨界荷載的精度．

(4)對(duì)比表1 和表2，可見(jiàn)剪切參數(shù)K對(duì)計(jì)算結(jié)果有較大的影響．不論支承條件，3 種殼(圓錐殼、球殼、余弦殼)的上臨界荷載及上、下臨界荷載的差值隨K值的減小而增大．

(5)使用冪函數(shù)法，結(jié)果表明剪切參數(shù)K對(duì)收斂范圍的影響大．若K增加一點(diǎn)，收斂的荷載范圍迅速減小，對(duì)簡(jiǎn)單支承影響更大(見(jiàn)文獻(xiàn)[6]結(jié)論5)．使用本文的方法可解決這一問(wèn)題．也就是說(shuō)當(dāng)剪切參數(shù)K增加，使收斂的荷載范圍減小時(shí)，在較大荷載范圍內(nèi)，用本文的方法仍能得到收斂的解．這表明了冪函數(shù)解的收斂范圍遠(yuǎn)小于樣條函數(shù)解的收斂范圍．

(6)整個(gè)程序用Fortran 語(yǔ)言寫(xiě)成，計(jì)算時(shí)僅需輸入中面坐標(biāo)形狀參數(shù)、剪切參數(shù)、泊松比、支承條件、點(diǎn)數(shù)、荷載、計(jì)算臨界荷載的方法(逐步加載法、拋物線法等)及第1 個(gè)荷載的初值，就可求出臨界荷載．

(7)據(jù)筆者所知通用的有限元程序 ANSYS、ABAQUS 等均沒(méi)有Reissner 模型．本文的結(jié)果可為開(kāi)發(fā)此類問(wèn)題的計(jì)算程序提供參考解答．本文方法比有限元法的計(jì)算時(shí)間少．

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