基于可能度的區(qū)間數(shù)排序方法比較

肖 峻，張 躍，付 川

(天津大學智能電網(wǎng)教育部重點實驗室，天津 300072)

多屬性決策(multi-attribute decision making ，MADM)，也稱為有限方案多目標決策，普遍存在于企業(yè)生產(chǎn)規(guī)劃、工程建設(shè)項目優(yōu)選、企業(yè)效益評估等實際問題中，它是決策理論與方法研究的一個重要內(nèi)容．目前，由于客觀事物的復雜性和不確定性，以及人類思維的模糊性，對于不確定多屬性決策問題的研究，已經(jīng)引起了廣泛重視[1-6]．從目前已有關(guān)于不確定多屬性問題的研究成果來看，大多限于研究如何計算各決策方案的綜合評價值，即主要側(cè)重于權(quán)重和模型的研究和綜合求解，而對以區(qū)間數(shù)表示的方案評價值如何進行方案排序的研究較少．通常，由于區(qū)間數(shù)之間可能存在相互交叉部分，所以直接進行方案的排序是困難的．目前普遍采用的排序方法是文獻[7]中所述的基于可能度的排序法，同時文獻[8]也給出了另一種關(guān)于可能度的區(qū)間數(shù)排序的方法，但未給出可能度定義的詳細解釋．

本文通過實例計算分析比較了這2 種可能度算法，并對可能度的含義給出了理論解釋．

1 不確定多屬性決策中的區(qū)間數(shù)排序

定義1[8]設(shè)R 為實數(shù)域，稱閉區(qū)間[xL，xU]為區(qū)間數(shù)，其中xL，xU∈R，xL＜xU．

設(shè)S＝{s1，s2，…，sn}為方案集，Q＝{Q1，Q2，…，Qm}為屬性集，w＝{w1，w2，…，wm}為屬性的權(quán)重向量．對于方案sj∈S，按第i個屬性Qi進行測度，得到sj關(guān)于Qi的屬性值為區(qū)間數(shù)aij，這里aij＝[aijL，aijU]，從而構(gòu)成決策矩陣A＝(aij)m×n．

得到?jīng)Q策矩陣A并利用文獻[9]所述方法可以求出各方案所對應的綜合屬性值z1，z2，…，zn．zj(j＝1，2，…，n)表示綜合各因素后的第j個方案的相對優(yōu)越性評價值．它是決策者從集合S中選擇一個最好方案所憑借的主要依據(jù)．

由于這些評價值均是區(qū)間數(shù)的形式，即zj＝[zjL，zjU]，并且可能存在2 個區(qū)間數(shù)綜合屬性值相互交叉的情況，所以，根據(jù)評價值z1，z2，…，zn直接進行所有方案的排序是比較困難的，需要對區(qū)間數(shù)進行排序，才能夠確定最優(yōu)方案．可見，為了最終得到各方案的排序關(guān)系，對各方案的綜合屬性值區(qū)間進行排序是一個致關(guān)重要的環(huán)節(jié)．

目前，通常采用基于可能度計算的排序方法對各方案的綜合屬性值區(qū)間進行排序．首先研究2 個區(qū)間數(shù)之間的比較，下面的定義2 介紹了可能度的概念．

定義2設(shè)區(qū)間數(shù)a＝[aL，aU]和b＝[bL，bU]，記p(a≥b)為a≥b的可能度，其數(shù)值大小根據(jù)不同的可能度定義公式來確定．

可能度的取值一般在0～1 之間，用來衡量2 個區(qū)間數(shù)之間的大小關(guān)系．知道了2 個區(qū)間數(shù)的大小評判方法，若在n個區(qū)間數(shù)zj＝[zjL，zjU](j＝1，2，…，n)之間兩兩進行比較，將其比較可能度值建立的n×n的矩陣稱為可能度矩陣P＝(pij)n×n，其中pij＝p(zi≥zj)．

建立P后，為對n個區(qū)間數(shù)排序，文獻[10]給出的可能度矩陣排序公式為

通過式(1)對可能度矩陣P進行排序計算可以得到排序向量ω＝(ω1，ω2，…，ωn)T，并按其分量大小對方案進行排序，就可以確定最優(yōu)方案．可見，對區(qū)間數(shù)的排序?qū)嵸|(zhì)是將區(qū)間數(shù)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為可能度排序向量的大小關(guān)系，從而找到最優(yōu)方案．

2 區(qū)間數(shù)排序可能度的2種定義

2.1 文獻[7]中可能度的定義

定義3[7]設(shè)a＝[aL，aU]和b＝[bL，bU]，且記L(a)＝aU－aL，L(b)＝bU－bL，則稱

為a≥b的可能度．

由以上定義可以看出，可能度的取值在0～1 之間，并具有如下的性質(zhì)：

(1)若p(a≥b)＝p(b≥a)，則p(a≥b)＝p(b≥a)＝1/2；

(2)p(a≥b)＋p(b≥a)＝1；

(3)若aU≤bL，則p(a≥b)＝0，若bU≤aL則p(a≥b)＝1；

(4)對于3 個區(qū)間數(shù)a、b、c，若a≥b，則p(a≥c)＝p(b≥c).

2.2 文獻[8]中可能度的定義

除了以上的可能度定義外，文獻[8]也給出了關(guān)于可能度計算的另一種定義．該定義由以下2部分組成．

相應的b＞a的可能度計算式為

為了便于研究和計算，本文將這2 個公式合并為如下定義．

定義4設(shè)a＝[aL，aU]和b＝[bL，bU]，記L(a)＝aU-aL，L(b)＝bU-bL，則a≥b的可能度p(a≥b)為

文獻[8]以式(3)和式(4)的形式給出可能度定義，但沒有詳細的推導過程．為對這2 種可能度的定義方式進行比較，以下對可能度的含義進行理論剖析．

2.3 區(qū)間數(shù)排序可能度的含義

由于a＝[aL，aU]和b＝[bL，bU]中，a和b中的取值分別是服從均勻分布的，而且顯然它們的取值情況是相互獨立的，因此可把區(qū)間a和b的可能度關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為以下問題．

從區(qū)間[aL，aU]和[bL，bU]內(nèi)隨機取值u和v，求u大于v的概率，即p(a≥b)．

由于u和v相互獨立，且分別服從均勻分布，則二維隨機變量(u，v)也服從均勻分布．二維隨機變量(u，v)的聯(lián)合概率密度函數(shù)f(u，v)為

設(shè)橫坐標表示u點的取值情況，縱坐標表示v點的取值情況．根據(jù)u和v取值區(qū)間邊界點的相互關(guān)系以及邊界區(qū)域與直線y＝x的位置關(guān)系，可以將u和v的概率密度f(u，v)分布分為6 種情況，并做出f(u，v)的分布圖，見圖1．

圖1 概率密度f(u，v)分布Fig.1 Profile of probability density function f(u，v)

為了便于分析，將區(qū)間[aL，aU]和[bL，bU]所圍的矩形區(qū)域被直線y＝x所截的下側(cè)畫為陰影部分．根據(jù)概率理論知識，由于二維隨機變量(u，v)服從均勻分布，那么概率p(a≥b)為圖中陰影面積與矩形面積之比．當然概率p(a≥b)也可以根據(jù)概率密度函數(shù)式(6)通過積分求得，即

式中D為圖1 中陰影部分區(qū)域．

以下對圖1 中的6 種情況分別進行討論，并求出每種情況對應的可能度計算式．

1)bL≤aL(記L(a)＝aU－aL，L(b)＝bU－bL）

(1)若bU≤aL，f(u，v)分布見圖1(a)．顯然，a大于b的概率為1，即p(a≥b)＝1．

(2)若aL＜bU≤aU，f(u，v)分布見圖1(b)．p(a≥b)計算結(jié)果為

(3)若bU＞aU，f(u，v)分布見圖1(c)．p(a≥b)計算結(jié)果為

2)bL＞aL

(1)若aU≤bL，f(u，v)分布見圖1(d)．由于陰影面積為0，顯然概率p(a≥b)＝0．

(2)若bU≤aU，f(u，v)分布見圖1(e)．p(a≥b)計算結(jié)果為

(3)若bU＞aU＞bL，f(u，v)分布見圖1(f)．p(a≥b)計算結(jié)果為

將以上6 種情況進行綜合，就可得到定義4 中的可能度計算公式．

由于可能度定義3 和可能度定義4 的形式不同，因而按照這2 種方法計算得到的可能度矩陣和排序向量也不同．為了比較在這2種定義之間哪種方法得到的排序向量能夠更好地反映各方案之間的優(yōu)劣關(guān)系，能夠使決策者更準確地找到最優(yōu)方案，具有更高的有效性和優(yōu)越性，有必要對可能度定義3 和定義4 做進一步的分析比較．

3 可能度定義的比較

3.1 算例分析

本文首先采用文獻[9]的算例來比較這2 種可能度定義下的計算結(jié)果．

算例1[9]考慮一個市政圖書館的空調(diào)系統(tǒng)選擇問題，有5 個備選方案xj(j＝1，2，3，4，5)，而評價方案的主要依據(jù)是3 個因素，即經(jīng)濟性、功能性和可操作性.這3 個因素又可劃分為8 個屬性，即固定成本(Q1)、管理成本(Q2)、性能(Q3)、噪音(Q4)、可維護性(Q5)、可靠性(Q6)、靈活性(Q7)和安全性(Q8)．其中，Q3、Q5、Q7和Q8的屬性值為打分值，其范圍為1(最差)～10 分(最好)之間．另外，Q1、Q2和Q4為成本型屬性，其他5 個屬性為效益型屬性．該問題的決策矩陣A 和屬性權(quán)重向量w 如表1 所示．

表1 決策矩陣A 和屬性權(quán)重向量w(算例1)Tab.1 Decision matrix A and attribute weight vector w(case 1)

表2 2種可能度定義下的排序結(jié)果比較(算例1)Tab.2 Comparison of ranking results based on two different definitions(case 1)

從上面的例子可以看出，2 種可能度計算方法可以得到同樣的排序結(jié)果，即s4＞s5＞s1＞s3＞s2．用可能度定義3 計算得到的排序向量間的差值較?。驗檫@種排序向量差值的區(qū)別，可以推測在一定情況下有可能出現(xiàn)定義3 不能夠精確地區(qū)分屬性值區(qū)間，而出現(xiàn)某幾個方案所對應的排序向量相同的情況．采用以下的算例對此假設(shè)進行證實．

算例2[3]考慮一個大學的學院評估問題．采用教學(Q1)、科研(Q2)和服務(Q3)這3 個屬性作為評估指標，設(shè)有5 個學院(A，B，C，D，E)將被評估．為了便于分析和比較，本文改變了原算例決策矩陣A各元素區(qū)間值，保留了原文的權(quán)重區(qū)間，分別如表3和表4 所示．

與算例1 相同，用文獻[9]中所述單目標最優(yōu)化模型及相應的公式求出各方案綜合屬性值區(qū)間為

用可能度定義3 和定義4 分別對這5 個方案的綜合屬性值區(qū)間計算可能度矩陣，并計算排序向量，其結(jié)果見表5．

表3 屬性權(quán)重w(算例2)Tab.3 Attribute weight w(case 2)

表4 決策矩陣A(算例2)Tab.4 Decision matrix A(case 2)

表5 2種可能度定義下的排序結(jié)果比較(算例2)Tab.5 Comparison of ranking results based on two different definitions(case 2)

從表5 看出，用定義3 計算可能度矩陣得到的排序向量ω2＝ω3，ω1＝ω4＝ω5，無法進行排序，而用可能度定義4 可判斷出方案排序關(guān)系是s2＞s3＞s1＞s5＞s4．

由此可見，用可能度定義4 進行計算可增大排序向量間的差值，在一些情況下可以解決用定義3 無法進行排序的問題，因此可能度定義4 能夠更準確地解決不確定多屬性決策中的排序問題，具有一定的優(yōu)越性．

3.2 數(shù)理分析

下面從數(shù)理角度分析2 種可能度定義的區(qū)別．為了分析方便，將定義3 的公式改寫為

已知a＝[aL，aU]和b＝[bL，bU]，記L(a)＝aUaL，L(b)＝bU-bL，aφ=(aU+ aL)/ 2．假定b和L(a)不變，以aφ為變量，分析2 種定義下的可能度p(a≥b)的區(qū)別．

首先，將式(8)對aφ求導，得

當 L(a) ＞ L(b)時，將式(5)對aφ求導，得

類似地，當L(a) ≤L(b)時，將式(5)對aφ求導，得

當L(a)＞ L(b)時，根據(jù)式(9)和式(10)，繪制定義3 和定義4 下可能度隨aφ的變化情況，如圖2 所示，L(a) ≤L(b)時的變化情況與此圖類似，只是定義4下的中間直線線段的斜率不同．分析可得如下結(jié)論．

(1)2 種定義下的曲線均能表征p(a≥b)隨aφ增加而變大的趨勢，當L(a) ≤L(b)時的情況與此類似．

圖2 p(a≥ b)隨aφ 變化示意Fig.2 Change of p(a≥b)with aφ

因此相同情況下，定義4 下的p(a≥b)更加接近于0 或1，即更大程度地表征了a和b的差異．從表2 和表5 的可能度矩陣P可以看出這種現(xiàn)象．

從原理上講，定義4 在區(qū)間取值均勻分布條件下進行概率分析得到可能度，準確體現(xiàn)了區(qū)間數(shù)的不確定性，在圖形上表現(xiàn)為面積之間的比例．而定義3 則直接用一個區(qū)間數(shù)的上限值和另一個區(qū)間數(shù)的下限值的差，然后除以區(qū)間長度和得到可能度，在圖形上表現(xiàn)為線段比，并沒有考慮關(guān)于區(qū)間取值上如何分布的問題，一定程度上破壞了區(qū)間取值均勻分布的前提．

在應用上，定義4 中可能度能夠準確表達區(qū)間數(shù)之間的大小關(guān)系，適用于區(qū)間數(shù)的精確比較．而定義3 是定義4 的一種線性化，有一定誤差，尤其在區(qū)間數(shù)兩者長度接近且重疊比例接近1/2 時，誤差更大，應避免使用．但是，定義3 中可能度的表達式較為簡單，適用于大量數(shù)據(jù)的快速計算．因此，在開發(fā)大規(guī)模計算算法時，可以結(jié)合2 種定義，預判斷誤差程度，合理選擇計算公式．

4 結(jié) 語

對于決策方案的綜合屬性值以區(qū)間數(shù)形式表示的不確定多屬性決策問題，本文就其中的綜合屬性值排序環(huán)節(jié)中的2 種可能度定義進行了分析比較，并對可能度的含義進行了剖析，同時從數(shù)理角度分析2 種可能度定義的區(qū)別．通過比較和分析可以看出，文獻[8]中的可能度定義能夠準確表達區(qū)間數(shù)之間的大小關(guān)系，適用于區(qū)間數(shù)的精確比較．由該可能度定義所得各方案的排序向量間的差值較大．基于這種可能度定義的決策方案排序方法可以避免采用文獻[7]中可能度定義導致的各方案的綜合屬性值區(qū)間差別較小時而無法進行排序的問題．而文獻[7]中可能度定義的表達式較為簡單，便于大規(guī)模計算．因此，實際應用中可以根據(jù)具體情況合理選擇，以同時滿足精度和速度的要求．

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