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    拋物線兩弦端點處切線性質(zhì)的進一步拓展

    2011-11-30 09:16:32陜西電子工業(yè)學(xué)校陜西寶雞721001
    中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2011年12期
    關(guān)鍵詞:延長線共線過點

    ●(陜西電子工業(yè)學(xué)校 陜西寶雞 721001)

    拋物線兩弦端點處切線性質(zhì)的進一步拓展

    ●張東倉(陜西電子工業(yè)學(xué)校 陜西寶雞 721001)

    文獻[1]中提到拋物線兩弦端點處切線具有3個有趣的性質(zhì),筆者認(rèn)為這3個性質(zhì)還可以做進一步拓展,即對其作相應(yīng)的修正,這樣更能揭示拋物線的魅人之處!

    文獻[1]中定理1如下:

    定理1如圖1,設(shè)P是拋物線y2=2px(p>0)上任一點(除去頂點),弦PP1,PP2(或其延長線)分別過點M1(-m,0),M2(m,0),分別以P1,P2為切點的切線交于點P′,則點P在x軸上,且xPxP′=-m2.

    圖1

    圖2

    筆者認(rèn)為該定理中提到的點M1和M2關(guān)于原點對稱,如果不對稱,即經(jīng)過拋物線上任意一點P的2條弦的端點P1,P2的切線交點P′還會在x軸上并且亦滿足類似定理的結(jié)論嗎?帶著這樣的思考,筆者對其進行了推證,發(fā)現(xiàn)文獻[1]中提到的定理只是本文修正后定理的特殊情形而已.現(xiàn)對文獻[1]中的3個定理做如下修正(不妨分別稱為定理1′,2′,3′),并進行推證.

    1 對文獻[1]中定理1的修正

    定理1′ 如圖2,設(shè)P是拋物線y2=2px(p>0)上任一點(除去頂點),弦PP1,PP2(或其延長線)分別過點M1(c1,0),M2(c2,0),分別以P1,P2為切點的切線交于點P′,則P′滿足

    xP·xP′=c1·c2,yP·yP′=-p(c1+c2).

    (很明顯,當(dāng)點M1與M2關(guān)于頂點對稱時,c1與c2互為相反數(shù),文獻[1]中定理1自然成立.)

    證明設(shè)P(x0,y0),P1(x1,y1),P2(x2,y2),則點P1,P2處的切線方程分別為

    y1y=p(x+x1),y2y=p(x+x2),

    又點P,P1,M1共線,得

    同理由P,P2,M2共線,得

    由式(1)與式(2),可得

    xPxP′=c1c2,yPyP′=-p(c1+c2).

    2 對文獻[1]中定理2的修正

    定理2′ 條件如定理1′,如圖3,則

    (點M為P1P2的中點);

    (3)xP′=-xM′(點M′為P1P2與x軸的交點).

    特別地,當(dāng)P1P2恒過拋物線的焦點時,點P1,P2處的切線交點始終在拋物線的準(zhǔn)線上.

    很明顯,當(dāng)點M1與M2關(guān)于頂點對稱時,c1與c2互為相反數(shù),則yP1與yP2互為相反數(shù),文獻[1]中定理2自然成立.

    利用角公式可得

    從而

    圖3

    圖4

    3 對文獻[1]中定理3的修正

    文獻[1]定理3如下:如圖4,拋物線y2=2px(p>0)的2條弦A1B1與A2B2(或其延長線)分別過點M1(-m,0),M2(m,0).A1,A2處的切線交于點P,B1,B2處的切線交于點P′,則xP·xP′=-m2.與文獻[1]中定理1,2的修正類似,現(xiàn)對文獻[1]中定理3做如下修正,并進行推證.

    定理3′ 拋物線y2=2px(p>0)的2條弦A1B1與A2B2(或其延長線)分別過點M1(c1,0),M2(c2,0).A1,A2處的切線交于點P,B1,B2處的切線交于點P′,則

    xPxP′=c1c2.

    (很明顯,當(dāng)點M1與M2關(guān)于頂點對稱時,c1與c2互為相反數(shù),文獻[1]中定理3自然成立.)

    證明設(shè)A1(xA1,yA1),B1(xB1,yB1),A2(xA2,yA2),B2(xB2,yB2).因為A1,B1,M1共線,所以

    yA1yB1=-2pc1.

    同理由A2,B2,M2共線可得

    yA2yB2=-2pc2.

    與定理1′證明類似,可知

    同理可得

    [1] 李青林,周園.拋物線兩弦端點處切線的有趣性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)通訊,2008(23):21.

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