簡(jiǎn)談數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的追問(wèn)藝術(shù)

●(浙江師范大學(xué)2010級(jí)教育碩士 浙江金華 321004)●(新城中學(xué) 江蘇無(wú)錫 214111)

簡(jiǎn)談數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的追問(wèn)藝術(shù)

●章薇薇(浙江師范大學(xué)2010級(jí)教育碩士 浙江金華 321004)●浦?jǐn)⒌?新城中學(xué) 江蘇無(wú)錫 214111)

提問(wèn)是使用最普遍、最古老的教學(xué)方法之一，它是古希臘教育家蘇格拉底著名的“產(chǎn)婆術(shù)”之核心.新課程認(rèn)為，課堂教學(xué)是教師、學(xué)生、文本之間的對(duì)話(huà)過(guò)程，提問(wèn)與回答是對(duì)話(huà)交流的主要途徑.布魯納認(rèn)為教學(xué)過(guò)程是一種持續(xù)不斷地提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的活動(dòng)，思維永遠(yuǎn)是從問(wèn)題開(kāi)始的.當(dāng)課堂提問(wèn)后學(xué)生出現(xiàn)無(wú)法解決或回答不及本質(zhì)時(shí)，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生答問(wèn)所表現(xiàn)出來(lái)的問(wèn)題再一次進(jìn)行提問(wèn)，這就是追問(wèn)，顯然，巧妙地運(yùn)用追問(wèn)可以解決學(xué)生認(rèn)知和能力的不足.在數(shù)學(xué)課堂中，解題教學(xué)歷來(lái)是重中之重，從某種程度上講，它的成功就是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效能提高的有力保障.在解題教學(xué)中，巧妙的追問(wèn)能促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步深入的思考與研究，問(wèn)出問(wèn)題源頭、問(wèn)出過(guò)程方法、問(wèn)出數(shù)學(xué)本質(zhì).下面就數(shù)學(xué)解題教學(xué)中如何使用追問(wèn)藝術(shù)談一些看法,供讀者參考.

1 云深不知處——投石問(wèn)路巧追問(wèn)

課堂提問(wèn)應(yīng)圍繞著教學(xué)目標(biāo)展開(kāi)，解題教學(xué)中的數(shù)學(xué)題目必須在知識(shí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)處設(shè)置，通過(guò)數(shù)學(xué)題目的解決過(guò)程來(lái)幫助學(xué)生掃清知識(shí)障礙，澄清模糊認(rèn)識(shí)，提升思維水平.但在重點(diǎn)難點(diǎn)處設(shè)置的題目往往又不是每個(gè)學(xué)生都能輕易解決的.如果學(xué)生面對(duì)題目時(shí)，不能展開(kāi)思考或根本無(wú)從下手，那么此時(shí)教師應(yīng)通過(guò)投石問(wèn)路巧追問(wèn)，給思維不暢者以疏導(dǎo)，令其打開(kāi)思路.

案例1小麗利用影長(zhǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿的高度.由于旗桿靠近一個(gè)建筑物,在某一時(shí)刻旗桿影子中的一部分映在建筑物的墻上.小麗測(cè)得旗桿AB在地面上的影長(zhǎng)BC為40 m，在墻上的影長(zhǎng)CD為4 m，同時(shí)又測(cè)得豎立于地面的0.5 m長(zhǎng)的標(biāo)桿影長(zhǎng)為1 m，如圖1所示,請(qǐng)幫助小麗求出旗桿的高度.

圖1

圖2

面對(duì)這個(gè)題，大部分學(xué)生不知所措.

師(提問(wèn))：這里的物高AB有影長(zhǎng)嗎？

生1：有，線(xiàn)段CB是AB的影長(zhǎng).

生2：不對(duì)，BC與CD都是AB的影長(zhǎng).

師(追問(wèn))：那是不是BC+CD的長(zhǎng)度就是AB的影長(zhǎng)呢？

此處正是學(xué)生難以理解和處理的地方.讓學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠懻摚兄趯W(xué)生對(duì)該題本質(zhì)的理解.

生3：CD+BC的長(zhǎng)度不應(yīng)該是AB的影長(zhǎng).如果AB足夠短的話(huà)，它的影子就應(yīng)該是BC，而正因?yàn)锳B較長(zhǎng)，所以一段影子在地上，一段在墻上.此時(shí)我們可以把墻上的影子CD看成新的物高，畫(huà)出它的影長(zhǎng),即延長(zhǎng)線(xiàn)段AD與線(xiàn)段BC交于點(diǎn)H，則HC為CD的影長(zhǎng)(如圖2)(得解法1，略).

生4：如圖2，此時(shí)線(xiàn)段HB就是AB的影長(zhǎng)(得解法2，略).

師(追問(wèn))：線(xiàn)段CB能否看成某個(gè)物體的影子？

生5：過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC，則DG是AG的影長(zhǎng)(如圖3)(得解法3，略).

圖3

圖4

生6：過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD，則CB是BF的影長(zhǎng)(如圖4)(得解法4，略).

上述追問(wèn)采用了順向式追問(wèn),即順著學(xué)生的思維追問(wèn),發(fā)現(xiàn)其思考的不足或錯(cuò)誤后再次發(fā)問(wèn),引導(dǎo)學(xué)生深入思考，走上正確的思維軌道.

圖5

上述追問(wèn)采用了順勢(shì)遷移式追問(wèn),即學(xué)生對(duì)基本問(wèn)題掌握其數(shù)學(xué)本質(zhì)后,順勢(shì)拋出類(lèi)似的新問(wèn)題，以此來(lái)激發(fā)學(xué)生更深層、更全面、更多元的思考,從而實(shí)現(xiàn)超越預(yù)設(shè)教學(xué)目標(biāo)，完成思維的飛躍.

評(píng)注當(dāng)學(xué)生思緒堵塞時(shí)，“投石”可以助其疏通思路；當(dāng)學(xué)生思維欠缺深度時(shí)，“投石”可以給予適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥；當(dāng)學(xué)生思考沒(méi)有方向時(shí)，“投石”可以給予引導(dǎo)與銜接.本案例中，通過(guò)教師投石問(wèn)路巧追問(wèn)，讓學(xué)生從不同角度、不同方向、不同層次去思考問(wèn)題，求同存異，使學(xué)生機(jī)智靈活地一題多解或多解一題，進(jìn)而找到獨(dú)特、巧妙的最佳方法，領(lǐng)悟問(wèn)題的本質(zhì)，課堂教學(xué)進(jìn)入“課已終，題猶存，意更深”的意境.

2 潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲——去偽存真細(xì)追問(wèn)

學(xué)生在解決數(shù)學(xué)題目的過(guò)程中難免會(huì)出現(xiàn)差錯(cuò)，作為教師不能簡(jiǎn)單粗暴地用一個(gè)“錯(cuò)”字打斷學(xué)生的回答，然后越俎代庖地說(shuō)出正確答案，而應(yīng)充分利用錯(cuò)誤資源中的有效信息，進(jìn)行去偽存真細(xì)追問(wèn)，在學(xué)生思維斷層處進(jìn)行正確思維的銜接，引導(dǎo)學(xué)生弄清產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，并把握時(shí)機(jī)讓學(xué)生揣摩正確的糾錯(cuò)方法，使之成為“美麗的錯(cuò)誤，不小的收獲”.

案例2判斷：直線(xiàn)a上一點(diǎn)P到圓心O的距離等于半徑R，則直線(xiàn)a與圓O相切.

生1：正確.因?yàn)樗c切線(xiàn)的一個(gè)判定方法“與圓心的距離等于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)”一致.

師(追問(wèn))：“直線(xiàn)與圓心的距離等于半徑”是什么意思？

意在讓學(xué)生區(qū)分點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離與點(diǎn)到線(xiàn)之間的距離.

生2：解釋這里的距離是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.

師(追問(wèn))：直線(xiàn)a上一點(diǎn)P到圓心O的距離等于半徑R，是不是就直線(xiàn)與圓心的距離等于半徑的意思？

此時(shí)學(xué)生的認(rèn)知矛盾已得到化解.

師(追問(wèn))：你能畫(huà)出符合題意的反例示意圖嗎？

意在讓學(xué)生能更深一步地找到自己錯(cuò)誤的原因，從而掃除思維障礙.

評(píng)注在學(xué)生回答出錯(cuò)處、思維斷層處進(jìn)行追根溯源的追問(wèn)，有利于促進(jìn)知識(shí)的正遷移，進(jìn)而讓學(xué)生重新構(gòu)建完整的知識(shí)體系，更深層次認(rèn)識(shí)知識(shí)的本質(zhì)所在.本案例中，教師以設(shè)問(wèn)為抓手，抓住學(xué)生的認(rèn)知沖突，通過(guò)去偽存真細(xì)追問(wèn)，讓學(xué)生認(rèn)清相切是直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系中的一種，通過(guò)點(diǎn)到直線(xiàn)距離的刻畫(huà)，完成形數(shù)轉(zhuǎn)換，其本質(zhì)就是圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑，使課堂教學(xué)達(dá)到“隨問(wèn)潛入思，潤(rùn)生細(xì)無(wú)聲”的效果.

3 一覽眾山小——水到渠成妙追問(wèn)

愛(ài)因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要”.在解題教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生多角度思考問(wèn)題，發(fā)表自己獨(dú)特的思考與見(jiàn)解，教師應(yīng)本著以人為本的理念，珍惜學(xué)生的異想天開(kāi)，善待學(xué)生的驚人發(fā)現(xiàn)，并巧妙地利用追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生從“設(shè)陷”與“避陷”中走出困境，獲得真知.

圖6

案例3如圖6，AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點(diǎn)D,AC交⊙O于點(diǎn)E,∠EBA=45°.求證:CE·AB=2BD2.

采用實(shí)地勘測(cè)、線(xiàn)路調(diào)查、地形測(cè)量等方法，結(jié)合GPS技術(shù)的應(yīng)用，對(duì)地形地貌變化、水系調(diào)整、植被破壞面積、損壞水土保持設(shè)施數(shù)量、水土流失面積等進(jìn)行監(jiān)測(cè)。

該題意在考查學(xué)生線(xiàn)段的倍半關(guān)系的解決方法.先將2BD轉(zhuǎn)化成BC,并用三角形相似知識(shí)解決本題.

師(追問(wèn)):本題還可以得到哪些正確結(jié)論?

學(xué)生探究得出以下結(jié)論：

(1)角度方面的結(jié)論:∠EBC=22.5°,∠ECB=67.5°,∠AEB=90°等;

(2)線(xiàn)段方面的結(jié)論:AE=BE,DE=BD=CD，AD⊥BC等;

有學(xué)生受到結(jié)論(3)的啟示,提出了結(jié)論:AE=2DE.

師(追問(wèn))：AE=2DE成立嗎？你是怎么做出來(lái)的？

學(xué)生：若AE=2DE，則AE=BC=BE，而在直角△BCE中，BC≠BE.

學(xué)生通過(guò)“反證法”得出這個(gè)猜測(cè)是錯(cuò)誤的.

這里采用的是逆向式追問(wèn),即逆著學(xué)生的思維或知識(shí)發(fā)生的過(guò)程追問(wèn),對(duì)學(xué)生已作出的正確回答給予肯定性評(píng)價(jià)后,反過(guò)來(lái)問(wèn)理由,是對(duì)思考和理解過(guò)程的追問(wèn).

評(píng)注如果教師的解題教學(xué)始終停留在解完就結(jié)束問(wèn)題的層面上，那么題海戰(zhàn)術(shù)就永遠(yuǎn)不會(huì)消失.教師應(yīng)充分利用學(xué)生獲得的現(xiàn)有資源和思維成果及時(shí)進(jìn)行總結(jié)、反思、拓展、延伸，使問(wèn)題的價(jià)值獲得最大化.本案例中，學(xué)生的思維是縝密的，思考是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，但通過(guò)水到渠成妙追問(wèn)，促使學(xué)生進(jìn)一步交流與思考、類(lèi)比與質(zhì)疑、補(bǔ)充與完善，進(jìn)而提出更深層面的規(guī)律與更廣的結(jié)論.師生在表達(dá)和傾聽(tīng)、提問(wèn)和追問(wèn)中，收獲的是“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的自信.

4 更上一層樓——意外拓展奇追問(wèn)

葉瀾曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“課堂應(yīng)是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的風(fēng)景，而不是一切都必須遵循固定的路線(xiàn)而沒(méi)有激情的行程.”是的，課堂教學(xué)是動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程，解題教學(xué)也不例外，隨時(shí)會(huì)出現(xiàn)“意外”.如果我們能機(jī)智地為學(xué)生打破預(yù)設(shè)，并用睿智的追問(wèn)，拓展學(xué)生思維，延伸思維空間，定會(huì)讓解題教學(xué)中的“節(jié)外生枝”綻放出異彩.

案例4如圖7，在菱形ABCD中，∠B=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)B，D出發(fā)以同樣的速度沿邊BC，DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，給出結(jié)論：(1)AE=AF；(2)∠CEF=∠CFE；(3)當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，DC的中點(diǎn)時(shí)，△AEF是等邊三角形；(4)當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，DC的中點(diǎn)時(shí)，△AEF的面積最大.請(qǐng)判斷上述4個(gè)結(jié)論的真假.

圖7

圖8

在解決了前面3個(gè)問(wèn)題后，學(xué)生解決最后一問(wèn).

圖9

圖10

生2：這么做太麻煩了！如圖9，設(shè)菱形邊長(zhǎng)為1，當(dāng)E，F(xiàn)還沒(méi)有動(dòng)時(shí)，

師(追問(wèn))：我們用數(shù)量的大小關(guān)系說(shuō)明了當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，EC的中點(diǎn)時(shí)，△AEF的面積不是最大值.如果不用數(shù)量說(shuō)明，那么還可以從哪些方面入手呢？

顯然，如果沒(méi)有及時(shí)而有效的追問(wèn)，課堂中不曾預(yù)約的精彩是不會(huì)不期而至的.

評(píng)注解決一個(gè)有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往是多途徑的，而學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題的角度也是多元的，他們會(huì)利用自己現(xiàn)有的顯性知識(shí)和默會(huì)知識(shí)按自己的思考方式去解決問(wèn)題，教師要做的就是正確的引導(dǎo)，使問(wèn)題更趨向本質(zhì).本案例中，教師圍繞問(wèn)題從常規(guī)方法入手，先引導(dǎo)學(xué)生研究通法，但并沒(méi)有淺嘗輒止，而是充分利用課堂中的節(jié)外生枝，因勢(shì)利導(dǎo)，通過(guò)意外拓展奇追問(wèn)，從數(shù)到形層層抽絲剝繭，直至問(wèn)題完美解決，課堂教學(xué)中呈現(xiàn)出“欲窮千里目，更上一層樓”的奇異之景.

可見(jiàn)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的追問(wèn)是激活學(xué)生思維的點(diǎn)燃器,是引導(dǎo)學(xué)生走向理性的助長(zhǎng)器,是課堂預(yù)設(shè)生成的催化器，是教學(xué)智慧形成的推進(jìn)器.我們應(yīng)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中熟練掌握和運(yùn)用追問(wèn)，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效能.同時(shí)，我們還應(yīng)思考如何把教師的“課堂追問(wèn)”轉(zhuǎn)化為學(xué)生的“自我追問(wèn)”,讓學(xué)生在自我追問(wèn)中不斷反思，自主成長(zhǎng).只有這樣，教學(xué)才會(huì)充滿(mǎn)生機(jī)和活力，課堂才會(huì)實(shí)現(xiàn)教師和學(xué)生的同步發(fā)展.

[1] 浦?jǐn)⒌?淺談數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的生成性追問(wèn)及時(shí)機(jī)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育(初中版)，2011(5)：2-4.

[2] 邵瀟野.初中數(shù)學(xué)課堂提問(wèn)的優(yōu)化策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(下半月·初中)，2007(7)：9-11.

[3] 溫建紅.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的變式性提問(wèn)與引申性提問(wèn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬·初中)，2010(1)：17-19.