圓錐曲線與焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)及準(zhǔn)點(diǎn)有關(guān)的一個(gè)性質(zhì)

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(常德市第六中學(xué) 湖南常德 415003)

圓錐曲線與焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)及準(zhǔn)點(diǎn)有關(guān)的一個(gè)性質(zhì)

●彭世金

(常德市第六中學(xué) 湖南常德 415003)

筆者通過(guò)對(duì)圓錐曲線的探究,得到圓錐曲線與焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)及準(zhǔn)點(diǎn)(準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn))有關(guān)的一個(gè)性質(zhì),現(xiàn)介紹如下.

圖1

消去x,化簡(jiǎn)整理得

(a2+b2m2)y2+2b2cmy-b4=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

于是

從而直線AE的斜率為

直線PQ的斜率為

因?yàn)?/p>

kAE-kPQ=

所以

kAE=kPQ,

即

AE∥PQ.

圖2

圖3

性質(zhì)3如圖3,已知拋物線y2=2px(p>0),AB是拋物線過(guò)焦點(diǎn)F的弦,拋物線的準(zhǔn)線l與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為E,點(diǎn)B在準(zhǔn)線l上的射影為Q,點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn),則AE∥PQ.

性質(zhì)2、性質(zhì)3類(lèi)似于性質(zhì)1可證,此處從略.