復習課貴在例題的精心設計

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(菱湖中學 浙江湖州 313018)

復習課貴在例題的精心設計

●俞永鋒

(菱湖中學 浙江湖州 313018)

對于數(shù)學學科的高考備考復習，例題教學顯得尤為重要，因為它貫穿著整個數(shù)學教學的始終，許多教學的重點、難點以及學生不太明白的知識點、易錯點等都需要通過例題教學來強調(diào)、落實.因此，如何設計復習課的例題就成了每位數(shù)學教師所關(guān)注的一項基本工作，它直接關(guān)系著整個復習的有效性.筆者結(jié)合自身的教學經(jīng)歷，反思復習課中例題設計需要注意的幾個問題，與同行探討，不當之處，請不吝賜教.

1 要注意針對性，體現(xiàn)“補償性”

我們知道復習課的一個主要目的是“查漏補缺”，需針對性地對學生較薄弱的概念性、知識性和方法性模塊進行“補償性”教學，以鞏固“雙基”，提高教學的有效性.因此在復習課例題的設計上要注意針對性.

案例1筆者在函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的復習課上，先設置了下面2個小題.

(1)若函數(shù)f(x)=x3+x2-ax在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為________;

解(1)f′(x)=3x2+2x-a≥0在區(qū)間[2,4]上恒成立，則

f′(x)min=f′(4)=16-a≥0，

解得a≤16.經(jīng)檢驗，當a=16時也符合題意，故a≤16.

設置這2個小題的原因是，平時在批改作業(yè)與練習卷時，筆者發(fā)現(xiàn)學生對以上類型的題目在求解上有2種觀點.一種觀點認為：函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，則導函數(shù)在此區(qū)間上恒大于(小于)0；另一種觀點認為：導函數(shù)在此區(qū)間上應大于(小于)等于0.筆者經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)其原因有新授課時對此類問題對比辨析教學的不到位,也有學生在閱讀教材時，將“導函數(shù)在區(qū)間D上大于(小于)0，則函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)遞增(減)”，從而誤認為逆命題也必成立.

通過這2個小題，結(jié)合圖像，完善此類問題的求解策略及注意點，函數(shù)f(x)在區(qū)間D上遞增(減)，則f′(x)≥0(f′(x)≤0)在區(qū)間D上恒成立，并需對f′(x)=0的參數(shù)值進行檢驗，即判斷此參數(shù)值是否使f′(x)在此區(qū)間上恒等于0.若是，則不符合.因為f′(x)=0恒成立，表示f(x)為常數(shù)函數(shù)，不具有嚴格的單調(diào)性；若此參數(shù)值只是使f′(x)在離散的一些點上等于0，則不影響f(x)的單調(diào)性，此參數(shù)值可取.

在復習課上，要讓學生注意概念的形成過程，對概念要從多角度、多方位、深層次地理解，掌握其各種等價的表達形式.在新授課時，概念教學一般從正面入手，這是必需的，但也容易使學生的認識帶有片面性.針對這種情形，在復習課時，教師可有意識地精心安排易錯案例，從不同角度全面透徹地理解概念.

2 要注意試題與例題的差異性，體現(xiàn)情景的“可能性”

筆者在復習課的研究活動中聽了多節(jié)單元復習課和高三復習課.在聽課中，筆者發(fā)現(xiàn)多個相同的例題在單元復習課和高三復習課中同時出現(xiàn)，還有不少例題非常熟悉，都是沒有經(jīng)過任何修改的歷年高考題、調(diào)研題或某練習題.這種純“拿來主義”的做法是否恰當?試題和例題在概念和內(nèi)涵上是否一致?對一個知識板塊的復習課，是否需要通過頻換例題才能達到鞏固的目的?這些都是平時所應關(guān)注的.

試題與例題之間存在著功能差異.試題體現(xiàn)的是考查功能，是抽查.因此，作為試題不可能也不必要做到面面俱到，它往往側(cè)重于對某一知識、某一技能或某一思想方法的考查，帶有一定的“片面性”.而復習課中的例題承載的是復習與鞏固、查漏與補缺的功能，并需具有一定的預見性，體現(xiàn)“高效性”、“低碳性”與“完整性”.

案例2若對任意的x∈[1,3],使得x2+(1-a)x-a+2≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].

此題有2種基本求解策略：主元法即分類討論法和參變分離法.

其實，我們只需簡單地對區(qū)間稍加改變，就會收到意想不到的效果.

改編若對任意的x∈[-2,0]，使不等式x2+(1-a)x-a+2≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為[-4,2].

如上改編后，不僅完善了參變分離法的可能情景，使解法更具有一般性.并且在完成解題教學后，可及時對最后結(jié)果取“交集”和“并集”的不同展開探討.

方法2在參變分離時，以x+1是否為0、是否正負對區(qū)間[-2,0]分3個部分求解，每一種情形只在所討論的區(qū)間上原不等式恒成立，只有在完成三步的討論后，原不等式才滿足在整個區(qū)間[-2,0]上恒成立，是分步思想，最終結(jié)果取“交”集.

通過此例，不僅使學生鞏固了2種基本的求解策略，而且很好地滲透了分類與分步的數(shù)學思想.

復習課安排的例題既要體現(xiàn)解題方法的訓練和解題技能的培養(yǎng)，又要揭示例題的解題規(guī)律和體現(xiàn)例題的思想方法.不僅要注意到對知識點的覆蓋面，又要能通過訓練讓學生掌握規(guī)律，形成解題模式，達到“以一當十”的目的.

3 要注意典型性、普遍適用性，體現(xiàn)“通性通法”

美國著名數(shù)學教育家波利亞說：“一個專心的認真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但又不復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領(lǐng)域”.“一題多解”就是從不同的視角、不同的方位審視并分析同一問題中的數(shù)量、位置關(guān)系，用不同解法求得相同結(jié)果的思維過程.通過探求同一問題的不同解法，可以引出相關(guān)的多個知識點和解題方案，有助于培養(yǎng)學生的洞察力和思維的變通性、獨創(chuàng)性，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維意識.

復習課例題的設計，要體現(xiàn)背景的典型性和解題策略的普遍適用性;要具有通性，避免思維限制.

但是，在直線與圓的位置關(guān)系復習課中，如果不講幾何法和代數(shù)法，筆者認為喪失了教學的重點與本意，是“撿了芝麻丟了西瓜”.

改編已知直線l過點(0，2)，且與圓：x2+y2=4相交于點A，B，O為坐標原點，求△OAB面積S的最大值，并求出此時直線l的斜率.

在復習課例題教學中，教師對例題必須精挑細選，使方法具有普遍性和多樣性，以最少的選題保證教學的有效性與高效性.

4 既要使學生形成“思維定勢”，又要突破“定勢思維”

在高三的例題復習中，我們希望學生能形成解題模式，因此特別重視思維定勢的形成，忽視了定勢思維形成后的突破.思維定勢的形成，使思考者在思考同類或相似問題時，能省去許多摸索、試探的步驟.這樣既可以縮短思考時間，減少精力耗費;又可以提高思考的質(zhì)量和成功率.但定勢思維的形成卻又導致了思維的呆滯化，解題缺乏靈活性.因為無論對于新問題，還是對于所熟悉的問題尋求新的解決方案，一般都需要在探索、嘗試的基礎(chǔ)上，先提出多種思路，再篩選出最佳方案，從而實現(xiàn)思維的創(chuàng)新.復習課例題的設計既要使學生形成“思維定勢”，又要突破“定勢思維”.

定勢思維因為{an}為等差數(shù)列，所以

則

3c=2(c2+c)，

解得

突破1因為{an}為等差數(shù)列，所以

2a2=a1+a3，

即

化簡得

2c2-c=0，

解得

由以上案例，我們看到復習課中不僅要培養(yǎng)學生的定勢思維，更重要的是定勢思維形成后的突破.在例題教學中，教師要時常設置一些發(fā)散性的問題，使學生產(chǎn)生或提出盡可能多、盡可能新、盡可能獨創(chuàng)的想法，使學生原來形成的定勢思維得到突破，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維.

5 要注意回歸教材，又高于教材，體現(xiàn)“導向性”、“可探究性”

《考試說明》強調(diào)對基礎(chǔ)知識的考查，注重學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，使對數(shù)學基礎(chǔ)知識的考查達到必要的深度.高考試題中易、中、難題的比例一般都控制在3∶5∶2左右.復習課例題的選擇回歸教材為的是落實“三基”，體現(xiàn)基礎(chǔ)性；高于教材為的是選拔人才，體現(xiàn)能力性.我們知道，高考試題雖不直接取材于課本，但考查的知識卻大多來自課本或間接涉及課本習題或改編自課本例習題或這些問題的結(jié)論或推廣，因此以課本例習題為素材，感知問題的發(fā)生、發(fā)展過程，明晰問題的來龍去脈，尋求問題的解決辦法，探求結(jié)論推廣的可能性，揭示問題的本質(zhì)特征，對于學生和教師而言都是非常有必要的.

案例6過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的一條直線與此拋物線交于2個不同的點A,B，且2個交點的縱坐標分別為yA,yB，求證：yAyB=-p2.

圖1

探究4(改焦點準線為極點極線)設拋物線的方程為y2=2px(p>0)，極點P(t,0)，極線l:x=-t，點C為此拋物線上的任意一點，過點P的直線交拋物線于點B,C，直線AC,BC分別交極線l于點M,N，則點M,N的縱坐標之積為定值-2pt(如圖1).

(1)求E的方程；

(2)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由.

(2010年四川省數(shù)學高考文科試題)

性質(zhì)設圓錐曲線E的一個焦點為F，相應的準線為l，C為曲線E上的任意一點，過點F且斜率不為0的直線與曲線E交于點A，B，直線AC，BC分別交準線l于點M，N，則以MN為直徑的圓過焦點F.

從課后的談話中筆者了解到，學生對于探究性問題的教學普遍持歡迎態(tài)度.因為這類問題活躍了他們的思維，并且這種由易到難、由簡單到復雜的階梯式設計符合學生的認識規(guī)律和心理特征，有利于提高學生的學習積極性.對于此問題串，筆者選擇以拋物線為載體，原因在于新課標中對橢圓和雙曲線的第二定義(涉及準線問題)不作考查要求，故改為拋物線.而我們知道橢圓、雙曲線和拋物線同為圓錐曲線，在許多性質(zhì)上都具有共性，這為我們的探究和改編提供了可能.通過以上案例，不難發(fā)現(xiàn)，高考試題往往源于教材，又高于教材，往往針對固有的結(jié)論或它的推廣進行變式考查.這就要求教師“能立足教材，并以教材為起點，更好地開發(fā)教材的功能，創(chuàng)造性地開展教學”，教師不僅是課程的實施者，而且也是課程的研究、建設和資源開發(fā)的重要力量.

例題教學是復習課的主旋律，如何設計例題，從而達到“解一題，通一類”是我們不懈努力的目標.以上，筆者從自身的教學經(jīng)歷對復習課例題的設計需要注意的地方做了幾點反思，希望與同行探討，共同研究復習課例題的設計問題，使數(shù)學復習教學更加高效.