線性代數(shù)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)

皋古之

高職院校開設(shè)的線性代數(shù)理論和方法課程，無論對學(xué)生專業(yè)知識的發(fā)展與完善，還是對學(xué)生綜合素質(zhì)的提高和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，都有十分重要的作用。因此在代數(shù)教學(xué)中，必須注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維。

一、數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的特征

數(shù)學(xué)思維是以數(shù)和形為思維對象，以數(shù)學(xué)語言為載體，以認(rèn)識和發(fā)展數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維活動。創(chuàng)造性思維是一種能得到獨(dú)特而有顯著效果的最高層次的思維活動。數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維既從屬于創(chuàng)造性思維又從屬于數(shù)學(xué)思維，它既是邏輯思維與非邏輯思維的綜合，又是數(shù)學(xué)中發(fā)散思維與收斂思維的辯證統(tǒng)一，是創(chuàng)造性思維在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)。因此，它既具有創(chuàng)造性思維的特點(diǎn)，如獨(dú)創(chuàng)性、靈活性、綜合性，又具有深刻性、敏捷性、批判性等數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的特征。

數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維就是根據(jù)數(shù)學(xué)本身高度的抽象性、邏輯的嚴(yán)密性、結(jié)論的確定性及應(yīng)用的廣泛性等特點(diǎn)，去探索、突破、創(chuàng)新，在綜合和應(yīng)用已有知識、經(jīng)驗(yàn)處理問題時(shí)，提出全新的見解和思路，發(fā)現(xiàn)他人未能發(fā)現(xiàn)的東西，解決他人未能解決的問題。

二、線性代數(shù)教學(xué)中數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維是各種思維形式高度統(tǒng)一和協(xié)調(diào)的綜合性思維，產(chǎn)生創(chuàng)造性思維必須具有廣博的知識、豐富的經(jīng)驗(yàn)和良好的知識結(jié)構(gòu)，具有發(fā)現(xiàn)問題的強(qiáng)烈意識和執(zhí)著的探索精神。數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)是一個(gè)長期的過程，需要在數(shù)學(xué)教學(xué)中認(rèn)真探索，積極試驗(yàn)，逐步滲透。

線性代數(shù)是五年制高職學(xué)生三年級的選修基礎(chǔ)課，該學(xué)科內(nèi)容抽象、邏輯嚴(yán)密，包含有許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本觀點(diǎn)和方法，與初等數(shù)學(xué)聯(lián)系密切，是學(xué)生學(xué)習(xí)微積分后首先要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。學(xué)習(xí)線性代數(shù)不僅可以增加學(xué)生的數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，為學(xué)生以后在專業(yè)課中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法打下基礎(chǔ)，而且對學(xué)生今后從事技術(shù)創(chuàng)新也有重要作用。

1.用線性代數(shù)的發(fā)展史激勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)新思維

線性代數(shù)許多概念的形成和結(jié)果的發(fā)現(xiàn)過程，都充滿了幾代數(shù)學(xué)家不畏艱險(xiǎn)的創(chuàng)新精神、一絲不茍的科學(xué)態(tài)度和令人嘆服的思想方法。如果在課堂教學(xué)中只注重對學(xué)生進(jìn)行知識的傳授，學(xué)生不僅會感到內(nèi)容抽象、難懂，而且也很難了解這些成果產(chǎn)生的背景、方法和意義。如果在教學(xué)過程中結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)穿插一些線性代數(shù)發(fā)展的史料，介紹中外數(shù)學(xué)家的生平和成就，讓學(xué)生了解線性代數(shù)的發(fā)展、演變過程，不但可以在枯燥的數(shù)學(xué)推導(dǎo)中增添一些情趣，活躍課堂氣氛，而且也有利于學(xué)生全面理解和掌握知識。比如，在講解“慣性基本定理”時(shí)，筆者向?qū)W生介紹定理從猜想到得到嚴(yán)格證明的過程，介紹數(shù)學(xué)發(fā)展史上幾代數(shù)學(xué)家為這個(gè)定理所做的工作。在講行列式時(shí)，向?qū)W生介紹馬克勞林、克萊姆、范德蒙、雅可比等數(shù)學(xué)家為理論的形成和完善所做的開拓性工作。通過這樣的講解，既可以使學(xué)生了解數(shù)學(xué)家們是如何發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理的，也可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣和欲望，激勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

2.深化線性代數(shù)基本概念的教學(xué)

培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的關(guān)鍵是發(fā)展學(xué)生思維的深刻性。它包含思維活動的抽象程度和邏輯水平，以及思維活動的廣度和深度，它著重于透過表面現(xiàn)象和外部聯(lián)系，揭示事物內(nèi)在的本質(zhì)和規(guī)律。

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)理論和方法的基礎(chǔ)，它不僅是數(shù)學(xué)知識的主要內(nèi)容，還是進(jìn)行推理判斷的根本依據(jù)。數(shù)學(xué)概念的引進(jìn)使得專業(yè)知識在敘述上更準(zhǔn)確、簡潔、明了。比如，n階行列式的定義是為線性方程組的公式解服務(wù)的，它使得線性方程組的解的表達(dá)式簡潔、整齊而又美觀；矩陣的乘法定義使得坐標(biāo)變換之間的表達(dá)簡單明了，便于記憶。

數(shù)學(xué)定義是現(xiàn)實(shí)世界中具體對象的抽象概括。所謂抽象就是從貌似不同的研究對象中提煉出共同的屬性，從而形成一個(gè)概念。例如，“線性空間”是線性代數(shù)中一個(gè)很重要的概念，對高職的學(xué)生來說這是他們遇到的第一個(gè)用公理來定義的抽象概念，也是他們第一次接觸到的代數(shù)結(jié)構(gòu)。如果教師一開始就完全公理化地給出概念“線性空間是定義在數(shù)域上的具有加法和數(shù)量乘法兩種運(yùn)算，且這兩種運(yùn)算滿足八條算律的一個(gè)非空集合”，學(xué)生會感到太枯燥、太抽象，很難理解。可以在給出定義之前，先分析矩陣及空間向量等的運(yùn)算，啟發(fā)學(xué)生對事物的認(rèn)識要看本質(zhì)而不是只看表面形式；經(jīng)過比較、分析、歸納，把這些不同對象的運(yùn)算中的共同性質(zhì)列出，抽掉它們的元素所表示的具體含義，最后概括出線性空間的定義；接著，再給出一些典型的線性空間的例子。比如，大家熟悉的三維幾何空間R3；數(shù)域F上一元多項(xiàng)式環(huán)，關(guān)于多項(xiàng)式的加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法作成的線性空間P[x]；數(shù)域F上全體n階矩陣關(guān)于矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法作成的空間等等。通過這些例子，學(xué)生可以看到，線性空間的元素是抽象的，就一個(gè)具體的線性空間來說，其元素可以是數(shù)，也可以是向量、多項(xiàng)式、矩陣等；線性空間的運(yùn)算也是抽象的，稱為加法的運(yùn)算α+β未必是通常所說的數(shù)加法，稱為數(shù)乘ka的運(yùn)算也不一定是通常的倍數(shù)乘法。這樣深入剖析概念的本質(zhì)，具體明確地提示概念產(chǎn)生的背景，讓學(xué)生清楚概念形成的過程，意識到定義的必要性和合理性，有利于學(xué)生正確理解和把握概念的實(shí)質(zhì)。只有當(dāng)學(xué)生真正掌握了基本概念之后，才能繼續(xù)順利地學(xué)習(xí)新知識。

深化概念教學(xué)，通過類比、聯(lián)想概念之間的異同，找出每個(gè)概念的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，提高學(xué)生的抽象概括能力，為學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性思維打下良好的基礎(chǔ)。

3.在傳授知識的過程中注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

隨著職業(yè)教育教學(xué)改革的不斷深入，線性代數(shù)不僅在教材內(nèi)容上要改革，教師在教學(xué)方法上也要改革。代數(shù)作為專業(yè)的重要基礎(chǔ)課之一，既要系統(tǒng)地傳授基礎(chǔ)知識，更要通過基礎(chǔ)知識的傳授來培養(yǎng)學(xué)生的各種思維能力，尤其是創(chuàng)新思維能力。

線性代數(shù)教材大多是一個(gè)演繹體系，從定義到定理再到推論，基本上是現(xiàn)成的結(jié)論及證明。傳統(tǒng)的教學(xué)方法往往是教師把結(jié)論直接教給學(xué)生，只重視理論上的連續(xù)性、嚴(yán)謹(jǐn)性，不重視知識的形成及應(yīng)用過程的揭示與解釋，淡化了理論形成過程中的猜想、觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、推廣、抽象等環(huán)節(jié)，不善于把過程中豐富的思維訓(xùn)練因素挖掘出來，不善于將知識中蘊(yùn)涵的豐富的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法進(jìn)行抽象和概括。習(xí)題、例題的講解過程中，也只注重解題技巧和解題模式的訓(xùn)練，而忽視解題思路的分析，不能很好地揭示出方法的實(shí)質(zhì)和規(guī)律。這不利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象、概括能力和探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的能力。

因此，要改革教學(xué)方法，在教學(xué)中采用靈活多樣的啟發(fā)式教學(xué)法和層層深入的問題式教學(xué)法，把教結(jié)論與教過程結(jié)合起來，把導(dǎo)致結(jié)論的思維活動充分展現(xiàn)出來，使學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維能力得到提高。例如，在講初等變換時(shí)，聯(lián)系線性方程組的同解變形的三個(gè)形式，讓學(xué)生看到矩陣的初等變換對應(yīng)于線性方程組的三個(gè)同解變形。這樣講解不但可以透徹理解初等變換的概念，而且還能了解初等變換產(chǎn)生形成過程，使學(xué)生認(rèn)識到，新問題的發(fā)現(xiàn)和新理論的形成，都是無數(shù)科學(xué)家運(yùn)用科學(xué)的方法，經(jīng)過猜想、觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、推廣等形成的，是他們艱苦努力的結(jié)果。

總之，應(yīng)在線性代數(shù)這門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課的教學(xué)中，充分挖掘?qū)W生潛能，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的創(chuàng)新思維能力，為進(jìn)行專業(yè)知識學(xué)習(xí)與創(chuàng)新人才的培養(yǎng)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（作者單位：江蘇徐州機(jī)電工程高等職業(yè)學(xué)校）