具有脈沖效應(yīng)的害蟲管理系統(tǒng)的滅絕性與持續(xù)性

陶有德

(1.信陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南信陽 464000; 2.北京信息控制研究所,北京 100037)

具有脈沖效應(yīng)的害蟲管理系統(tǒng)的滅絕性與持續(xù)性

陶有德1,2

(1.信陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南信陽 464000; 2.北京信息控制研究所,北京 100037)

研究一類具有脈沖效應(yīng)的害蟲管理系統(tǒng),討論了系統(tǒng)的滅絕性和持續(xù)性,給出了系統(tǒng)滅絕和持續(xù)生存的閾值條件,并對所得結(jié)論進(jìn)行了數(shù)值模擬.

脈沖效應(yīng);滅絕;持續(xù);全局漸近穩(wěn)定

1 引 言

害蟲管理系統(tǒng)是一種綜合利用生物控制、化學(xué)控制等手段進(jìn)行害蟲綜合管理的系統(tǒng).其中,生物控制主要通過捕食食餌(如害蟲等)和投放捕食者(如天敵等)的方法進(jìn)行,化學(xué)控制則主要通過投放農(nóng)藥(如殺蟲劑等)的方法進(jìn)行.害蟲管理的目標(biāo)是控制害蟲數(shù)量使之不超過經(jīng)濟危害水平,而不是徹底滅絕害蟲.徹底滅絕害蟲可能造成天敵泛濫,形成另外一種新的災(zāi)害,同時也無法保證生態(tài)系統(tǒng)的生物多樣性.因此比較可行的害蟲管理方法是適當(dāng)選擇天敵或農(nóng)藥的投放數(shù)量和投放時間,做到既控制害蟲生長又保護(hù)天敵生存,使得害蟲與天敵共存.由于人類進(jìn)行害蟲管理的行為和外部環(huán)境的影響不宜考慮成為連續(xù)的,加上人為的投放天敵或農(nóng)藥可能使得天敵及害蟲密度呈脈沖式的增加或減少,因此為更精確地描述系統(tǒng)的演變過程,在建立害蟲管理系統(tǒng)時應(yīng)充分考慮這種脈沖現(xiàn)象.

2 模型建立及預(yù)備知識

為此,本文在文獻(xiàn)[1,2]的基礎(chǔ)上,主要研究以下帶有脈沖投放染病害蟲的害蟲管理系統(tǒng)：

其中S(t)和I(t)分別代表時刻t時易感害蟲的密度和染病害蟲的密度,β＞0和ω＞0分別代表轉(zhuǎn)移率和死亡率,r＞0是內(nèi)稟生長率,K＞0是環(huán)境容納量,τ是脈沖投放周期,u＞0是每個周期內(nèi)投放染病害蟲(驅(qū)除易感害蟲)的數(shù)量,0＜θ＜1.在模型中總假設(shè)所有新出生的都是易感的,易感害蟲損害農(nóng)作物,染病害蟲永遠(yuǎn)不能恢復(fù)且不損害農(nóng)作物.

為便于敘述并證明本文的主要結(jié)果,在此給出幾個引理.

引理1[3]設(shè)X(t)=(S(t),I(t))是系統(tǒng)(1)的一個任意解,且X(0+)≥0,則對于任意t≥0,有X(t)≥0.進(jìn)一步有若X(0+)＞0,則對于任意t＞0,有X(t)＞0.

引理2 設(shè)X(t)=(S(t),I(t))是系統(tǒng)(1)的一個任意解,則存在M＞0,使得當(dāng)t充分大時,總有S(t)≤M,I(t)≤M.

因此V(t)是一致有界的,從而存在M＞0,使得當(dāng)t充分大時,總有S(t)≤M,I(t)≤M.

在系統(tǒng)(1)中,若令S(t)=0,則得到系統(tǒng)(1)的一個子系統(tǒng),即

對于系統(tǒng)(2),有以下兩個重要結(jié)論.

引理3 系統(tǒng)(2)存在一個正周期解

引理4 若I＊(t)是系統(tǒng)(2)的一個正周期解,則(0,I＊(t))是系統(tǒng)(1)的害蟲滅絕周期解.

證由引理3,結(jié)論顯然成立.

3 主要結(jié)果

3.1 系統(tǒng)(1)的滅絕性.

定理1 若

則系統(tǒng)(1)的害蟲滅絕周期解(0,I＊(t))是全局漸近穩(wěn)定的.

證首先證明害蟲滅絕周期解(0,I＊(t))是局部漸近穩(wěn)定的.為此,設(shè)X(t)=(S(t),I(t))是系統(tǒng)(1)的一個任意解,且S(t)=u1(t),I(t)=u2(t)+I＊(t),則系統(tǒng)(1)在(0,I＊(t))處的線性系統(tǒng)是

令φ(t)是系統(tǒng)(4)的基解矩陣,則

因為在下面的計算中不涉及＊部分,所以這里沒有必要計算并給出其具體表達(dá)式.注意到系統(tǒng)(4)第三與第四個方程可以表示為

因此(0,I＊(t))的穩(wěn)定性由單值矩陣

的特征值所確定.記M的特征值分別為λ1和λ2,則

此時容易驗證：若(3)成立,則|λ1|=λ1＜1,|λ2|＜1.因此由Floquet乘子理論,害蟲滅絕周期解(0,I＊(t))是局部漸近穩(wěn)定的.

其次證明害蟲滅絕周期解(0,I＊(t))是全局吸引的.為此,選取ε＞0,使得

對(5)在(nτ,(n+1)τ]上積分,得

下面證明當(dāng)t→∞時I(t)→I＊(t).由于S(t)→0(t→∞),因此對于0＜ε≤ω,當(dāng)t充分大時,總有0＜S(t)＜ε.為方便起見,不妨假設(shè)對于任意t≥0,有0＜S(t)＜ε.此時由方程(1),有

因此由比較定理及引理3,y1(t)≤I(t)≤y2(t)且y1(t)→I＊(t),y2(t)→y(t)(t→∞),其中y1(t)和y2(t)分別是

因此對于任意給定的ε1＞0,當(dāng)t充分大時,有

令ε1→0,則y＊2(t)→I＊(t),故I(t)→I＊(t)(t→∞).

綜合上述證明,害蟲滅絕周期解(0,I＊(t))是全局漸近穩(wěn)定的.

3.2 系統(tǒng)(1)的持續(xù)性.

定理2 若

則系統(tǒng)(1)是持續(xù)的.

證設(shè)X(t)=(S(t),I(t))是系統(tǒng)(1)的一個任意解.由引理2,存在M＞0,使得當(dāng)t充分大時,總有S(t)≤M,I(t)≤M.為簡單起見,不妨假設(shè)對于任意t≥0,恒有S(t)≤M,I(t)≤M.由引理3,對于給定的ε0＞0,當(dāng)t充分大時,有I(t)＞I＊(t)-ε0.令m2=I＊(t)-ε0,則當(dāng)t充分大時,有I(t)＞m2.

下面證明存在m1＞0,使得當(dāng)t充分大時,有S(t)＞m1.為此,分以下兩個步驟進(jìn)行.

步驟1. 選取m3＞0及充分小的ε＞0,δ＞0,使得

下面將證明對于任意t≥0,不等式S(t)＜m3不成立.否則,由(t)≤I(t)(δ-ω)和引理3,有I(t)≤z(t)且z(t)→z＊(t)(t→∞),其中z(t)滿足

是系統(tǒng)(8)的一個正周期解.因此對于任意給定的ε＞0,存在τ1＞0,當(dāng)t＞τ1時,有

于是對于任意n∈N,當(dāng)n→∞時,有S((N1+n)τ)≥S(N1τ+)exp(nη1)→∞,產(chǎn)生矛盾.故存在t1＞0,使得S(t1)≥m3.

選取n2,n3∈N,使得

因此在[t＊,t＊)上對(10)積分,有S(t)≥S(t＊)exp(η2(t-t＊)).于是當(dāng)t∈[t＊,t＊)時,有

令m1=m3exp(η2(1+n2+n3)τ),則m3＞m1.注意到當(dāng)t∈[t1,t＊)∪[t＊,t2)時,有S(t)≥m3＞m1,且S(t＊)=m3＞m1,S(t＊)=m3＞m1,因此當(dāng)t∈[t1,t2]時,總有S(t)＞m1.

對于S(t2)≥m3,重復(fù)上述過程繼續(xù)進(jìn)行討論,最終可以證明對于任意t＞t1,均有S(t)＞m1成立.

至此,已經(jīng)證明：存在m1＞0,m2＞0,使得當(dāng)t充大時,總有S(t)＞m1,I(t)＞m2.取m=max{m1,m2},則當(dāng)t充分大時,總有S(t)＞m,I(t)＞m,故系統(tǒng)(1)是持續(xù)的.

4 數(shù)值模擬

本文利用脈沖微分方程的理論和方法,研究了一類具有脈沖效應(yīng)的害蟲管理系統(tǒng),并給出系統(tǒng)滅絕和持續(xù)的閾值條件.

為驗證上述結(jié)論,現(xiàn)借助Matlab對系統(tǒng)(1)進(jìn)行數(shù)值模擬實驗.為驗證系統(tǒng)(1)的滅絕性,選取r=4,θ=0.9,β=1,ω=0.5,u=0.98,K=6,τ=0.4,得到系統(tǒng)(1)中變量S(t),I(t)的時間序列圖與相圖,如圖1(1),(2),(3)所示.

圖1 系統(tǒng)(1)變量S(t),I(t)的時間序列圖和系統(tǒng)(1)的相圖(u=0.98)

由圖1,系統(tǒng)(1)的害蟲滅絕周期解是全局漸近穩(wěn)定的.此時τ=0.4,u=0.98滿足閾值條件

這與本文所得結(jié)論是一致的,表明適當(dāng)選擇染病害蟲的投放數(shù)量和投放周期,可以達(dá)到滅絕害蟲的目的.

為驗證系統(tǒng)(1)的持續(xù)性,選取r=4,θ=0.9,β=1,ω=0.5,u=0.34,K=6,τ=0.4,得到系統(tǒng)(1)中變量S(t),I(t)的時間序列圖與相圖,如圖2(4),(5),(6)所示.

圖2 系統(tǒng)(1)變量S(t),I(t)的時間序列圖和系統(tǒng)(1)的相圖(u=0.34)

由圖2,系統(tǒng)(1)中害蟲與天敵是持續(xù)共存在的.此時τ=0.4,u=0.34滿足閾值條件

這與本文所得結(jié)論也是一致的,表明適當(dāng)選擇染病害蟲的投放數(shù)量和投放周期,可以做到既控制害蟲生長又保護(hù)天敵,使得害蟲與天敵持續(xù)共存.

[1] Wang Xia,Song Xinyu.Mathematical models for the control of a pest population by infected pest[J].Computers& Mathematicswith Applications,2008,56(1)：266-278.

[2] 陳蘭蓀,宋新宇,陸征一.生態(tài)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)方法[M].成都：四川科學(xué)技術(shù)出版社,2003.

[3] 劉兵.脈沖微分方程在種群動力學(xué)中的應(yīng)用[D].北京：中國科學(xué)院研究生院,2004.

[4] Cushing J M.Periodic time-dependent predator-prey system[J].SIAM J Appl Math.,1977,32(1)：82-95.

[5] Lu Zhonghua,Chi Xuebin,Chen Lansun.Impulsive control strategies in biological control of pesticide[J]. Theoretical Population Biology,2003,64(1)：39-47.

[6] Liu Xianning,Chen Lansun.Complex dynamics of Holling type II Lotka-Volterra predator-prey system with impulsive perturbationson the predator[J].Chaos,Solitons and Fractals,2003,16(2)：311-320.

The Extinction and Permanence of Pest Management System with Impulsive Effect

TAO You-de1,2(1.College of Mathematics and Information Sciences,Xinyang Normal University,Xinyang Henan 464000,China; 2.Beijing Institute of Information Control,Beijing 100037,China)

A pest management system with impulsive effect is studied in this paper.The extinction and permanence of system is discussed,and the conditions of the extinction and permanence are given.Furthermore,those results obtained in this paper are confirmed by numerical simulation.

impulsive effect;extinction;permanence;global asymptotic stability

O175.1

A

1672-1454(2011)05-0027-06

2008-11-24;[修改日期]2009-03-30