一類二元時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型同步解的周期性

郭美珍 張 瑗 盧金平

(1.湖南科技學(xué)院 計算機系，湖南 永州 425100；2.長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410076；3.湖南大學(xué) 數(shù)學(xué)與計量經(jīng)濟學(xué)院，湖南 長沙 410082)

一類二元時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型同步解的周期性

郭美珍1張 瑗2盧金平3

(1.湖南科技學(xué)院 計算機系，湖南 永州 425100；2.長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410076；3.湖南大學(xué) 數(shù)學(xué)與計量經(jīng)濟學(xué)院，湖南 長沙 410082)

本文對一類二元時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的同步解進行定性研究，主要是針對網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的不同取值，分步地求解一個在一定初始函數(shù)空間中給定初始值的泛函微分方程，再討論模型同步解的周期性。分析表明網(wǎng)絡(luò)參數(shù)在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型研究中具有極其重要的作用。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；同步解；時滯；周期性

1 引 言

國際上從20世紀(jì)80年代掀起了人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究的熱潮，至今已經(jīng)取得了許多優(yōu)秀的成果，如文獻[1-8]。在上述文獻中，作者討論了幾類二元時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(具體模型請參閱所提供的文獻)的動力學(xué)行為，涉及的內(nèi)容有周期解、解的收斂性、同步周期軌道的全局吸引性等。

本文將討論如下二元時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

同步解的周期性。這里, )(tx與)(ty分別表示兩個神經(jīng)元的活躍水平；0>為給定常數(shù)，表示反饋時滯；),0[:+∞→Rf表示 )(tx 與 )(ty 的信號傳輸函數(shù)；另外，考慮到一個神經(jīng)元接受另一個神經(jīng)元的反饋信息的活躍水平的變化還與自身的狀態(tài)有關(guān)，下面還引入了一個函數(shù)[ξ]+:R→[0,+∞)。函數(shù) f、 [ξ ]+分別定義如下

其中 > 0為激勵常數(shù), 0 < a

設(shè)X=C([ ? τ,0];R2)為相空間，這是一個由從[?,0]到R2上的連續(xù)映射構(gòu)成的Banach空間, 所賦予的范數(shù)為上確界范數(shù)。對每個給定的初值 Φ =(?,φ)T∈X （T定義為轉(zhuǎn)置），在區(qū)間[0,],[,2],上可以逐個求解系統(tǒng)(1), 得到唯一的映射 ( xΦ,yΦ)T:[?τ,+∞)→R2使得由此便確定了系統(tǒng)(1)在t≥? 上的唯一解(xΦ(t ),yΦ(t))T。對以任意的 Φ =(?,φ)T∈X為初值的系統(tǒng)(1)的解(xΦ(t ),yΦ(t ))T在t≥0時是連續(xù)的和t>0時是幾乎處處可微的[2]。為了討論方便, 以下記 ( x(t),y(t))T=(xΦ(t ),yΦ(t ))T表示系統(tǒng)(1)具有初值 Φ =(?,φ)T∈X的解。

在本文中, 將考慮系統(tǒng)(1)的初值 Φ =(?,φ)T在某個 Rij或Rij中且 (0)= (0)的解 ( x(t ),y(t ))T。此時, 對?t≥0有

x ( t ) ≡ y(t), 稱這種解為同步解. 顯然同步解可由下列單個方程來描述

2. 模型的主要結(jié)果

本節(jié)將討論系統(tǒng)(1)同步解的周期性, 即討論系統(tǒng)(2)解的周期性。

定義 若存在某個T>0 和t?>0 使得系統(tǒng)(1)具有初值Φ的解 ( x ( t ),y(t ))T滿足(x(t),y(t))T=(x(t +T),y(t+T))T對任意的 t ≥ t?成立, 則稱 ( x ( t ),y(t ))T為系統(tǒng)(1)的終于T-周期解。

引理[3]對于系統(tǒng)(1), 若 (0 )>0,(0)>0, 則在 [ 0 ,+∞ ) 上恒有 x ( t ) >0， y ( t ) >0。

證明 下面僅證 ∈(b,+∞)的情形, 對于 ∈[a,b]的情形定理的證明類似于 ∈(b,+∞)的情形定理的證明, 故略去。

由于 ∈(b,+∞),故在[0,]上, x(t)滿足如下系統(tǒng)

由定理條件及(4)式知：在 [0 ,]上,x ( t)是嚴(yán)格單調(diào)遞減的, 且有 x (t)=?(0 ) e?t>be?t>0且 (0)>b，lim ? (0)e?t=0，

t→+∞故必存在一點t1使得x(t1)=b且x(t)>b,?t∈[0,t1)。

在 [0 ,t + ]上， x ( t)滿足系統(tǒng)(3)且有解(4), x( t)是嚴(yán)格單調(diào)遞減的。解得

1

類似于前面的討論可知：存在 t2>t1+使得 x ( t ) ∈ [ a,b]， ? t∈ [t1+,t2]且 x ( t2) =b。

在[t1+ ,t2+]上， x ( t)滿足如下系統(tǒng)

且有解

由定 理 條 件及(6)式 知：在 [ t1+ ,t2+]上， x ( t)是 嚴(yán) 格單 調(diào) 遞 增的, 且 有 x( t ) >b， ? t ∈ (t2, t2+]。 解

類似于前面的討論可知：存在+>23tt使得btx>)(，),(32ttt∈?且btx=)(3。

在[t2+ ,t3+]上， x ( t )滿足系統(tǒng)(3), 且有解

由(7)知：在 [ t2+ ,t3+]上， x ( t)是嚴(yán)格單調(diào)遞減的,解

對于3tt≥ ，重復(fù)上述討論過程，可以發(fā)現(xiàn))(tx是周期的，且周期為

注記 由于對于],[ba∈(意指對一切]0,[?∈t有],[)(bat∈), 當(dāng))(tx嚴(yán)格單調(diào)遞增進入b>的區(qū)域時, 總可以找到某個0*>T, 使得系統(tǒng)(2)的解對],(**τ+∈TTt有btx>)(成立, 這樣在討論系統(tǒng)(2)具有初值],[ba∈或),(+∞∈b的解時, 只需考慮),(+∞∈b的情形即可。

基于定理1及注記, 因此不加證明介紹如下定理

則系統(tǒng)(2)具有初值 的解 )(tx 是終于T-周期的, 且周期

證明 下面僅證),(+∞∈b的情形, 對于],[ba∈的情形定理的證明類似于),(+∞∈b的情形定理的證明, 故略去。

x( t)在 [ 0 ,t1+]上的討論完全類似于定理1的討論，這里

即：],[)(batx∈，],[11+∈?ttt。

類似于定理1的討論可知：存在 t2>t1+使得 x ( t ) ∈ [ a,b]， ? t∈ [t1+,t2]且 x ( t2) =b。在[t1+ ,t2+]上， x ( t)滿足如下系統(tǒng)

且有解 x (t )= t ?t1?τ+ be?τ(9)

由定理條件及(9)式知：在 [t1+ τ , t2+τ]上， x ( t)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的, 且有 x (t ) > b ,?t∈(t2, t2+]。

解b=x(t2)=t2?t1?τ+ be?τ得

從而由(9)式知： x ( t2+ )=b +。

類似于定理1的討論可知：存在t3>t2+使得x(t)>b，?t∈(t2,t3)且x(t3)=b。

在[t2+ ,t3+]上， x ( t)滿足系統(tǒng)(3), 且有解

由(10)知：在 [t + ,t+]上， x ( t)是嚴(yán)格單調(diào)遞減的,解 b =x(t)=(b+τ)e?(t3?t2?τ)得

233

3 結(jié) 論

本文討論了動力系統(tǒng)模型(1)的同步解(即系統(tǒng)(2)的解)的周期性。 證明了在一定初始函數(shù)空間X 中給定初值Φ=(?,φ)T使 ?a、 ?b、 ?a和 ?b 在[?,0]上不變號, 只要初值(?,φ)T及網(wǎng)絡(luò)參數(shù) 、a、b及 滿足一定的條件, 則系統(tǒng)(1)的同步解(即系統(tǒng)(2)的解)是周期的。 本文的結(jié)果顯示了網(wǎng)絡(luò)參數(shù) 、a、b及 在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(1)研究中的重要性。

[1]喬琛,徐宗本.局部域反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局收斂性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2009,(03):536-545

[2]Wu J H. Introduction to neural dynamics and signal transmission delay[M]. Berlin, New York: Walterde Gruyter,2001,115-138.

[3]盧金平,黃立宏.一類二元時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型解的收斂性[J].湖南大學(xué)學(xué)報,2006,33(6):130-132

[4]Guo S J, Huang L H, Wu J H. Global attractivity of a synchronized periodic orbit in a delayed net-work[J].J.Math.Anal. Appl.,2003, 281 : 620-632.

[5]Zhu H Y, Huang L H. Convergence of neural network of two neurons[J]. Journal of Basic Science and Engineering, 2003, 11(2):113-121.

[6]Huang L H, Wu J H. Dynamics of inhibitory neural networks with threshold nonlinearity[J]. Fields Institute Communications,2001,29:235-243.

[7]Meng Y M, Huang L H. Convergence of solutions of a class of two-neuron bi-threshold neural network model[J]. Fuzzy Systems and Mathematics,2001,15(4):100-104.

[8]Meng Y M,Huang L H.Two-neuron bi-threshold neural network dynamical systems with delayed McCulloch-Pitts signal[D].Changsha: College of Mathematics and Econometrics, Hunan University,1999,1-45.

TP183；O175.14

A

1673-2219（2011）12-0009-04

2011－01－11

湖南省教育廳資助項目(08C121)；湖南科技學(xué)院一般項目（09XKYTC008）。

郭美珍(1977－)，女，湖南永州人，碩士，講師，研究方向: 微分方程數(shù)值解。

（責(zé)任編校：劉志壯）