巧設(shè)輔助元解題研究

郭小敏

摘要：從古老的分牛故事中，引出了解決初中數(shù)學(xué)問題的一種思想方法，即巧設(shè)“輔助元”解題的思想方法。人們對數(shù)學(xué)中的“未知元”較熟悉，但對“輔助元”認(rèn)識較少。雖然有一些零星小論文提到過“輔助元”，但對巧設(shè)“輔助元”解數(shù)學(xué)題缺乏較系統(tǒng)的研究。全面地探尋“輔助元”的解題技巧，對初中數(shù)學(xué)的解題有較強(qiáng)的指導(dǎo)作用。通過大量實例，具體而翔實地展示用“分?！彼枷虢忸}即巧設(shè)“輔助元”解題的無窮魅力。

關(guān)鍵詞：分牛；輔助元；解題

很久很久以前，古印度有一位老人，臨死前，他決定把自己的財產(chǎn)（十九頭牛）分給兒子們，老大分總數(shù)的二分之一，老二分總數(shù)的四分之一，老三分總數(shù)的五分之一。

一、利用設(shè)而不求的“輔助元”解應(yīng)用題

例1：一家農(nóng)機(jī)廠計劃用兩年時間把產(chǎn)量提高80%，如果每年比上一年提高的百分?jǐn)?shù)相同，求這個百分?jǐn)?shù)（精確到1%）

因題中不知道農(nóng)機(jī)廠原來的產(chǎn)量，給列方程增加了難度.如果設(shè)原來的產(chǎn)量為a，又設(shè)每年比上一年增長的百分?jǐn)?shù)為x，根據(jù)題意易列出方程：

a（1+x）2=a（1+80%），消去a可求得百分?jǐn)?shù)x.這里的a叫做“輔助元”。

例2：一輛汽車上山時速度為15千米/小時，按原路下山時的速度為20千米/小時，求全程的平均速度

分析此題要求的是平均速度，如果知道路程，根據(jù)題中的已知條件便能分別求出上山、下山的時間，進(jìn)而能求出平均速度。路程是解決此題的關(guān)鍵。不妨設(shè)上山（或下山）的路程s千米為“輔助元”，設(shè)平均速度為x千米/小時，根據(jù)題意易列出方程：

（■+■）x=2s，

解方程時即可消去“輔助元”s求得x的值。

通過對上述幾個例題的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，有些應(yīng)用題，看起來似乎條件不充分，但可巧設(shè)“輔助元”，借助“輔助元”溝通量與量之間的關(guān)系，列出方程，在解的過程中，“輔助元”自然消去后即可求得方程的解。由此可見，“輔助元”就像建筑高樓大廈時搭起的腳手架，拆除腳手架之日正是樓房建好之時，這也正是“分?！彼枷朐跀?shù)學(xué)解題中的靈活體現(xiàn)。

二、巧用需要求出的“輔助元”解題

例1：圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比是2:3:6

求這個四邊形各內(nèi)角的度數(shù)。

解：設(shè)∠A=2x，∠B=3x，∠C=6x，根據(jù)題意，得

2x+6x=180°，則x=22.5°，

所以，∠A=45°，∠B=67.5°，∠C=135°，∠D=112.5°

答：∠A=45°，∠B=67.5°，∠C=135°，∠D=112.5°

例2：已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5

求三角形的各內(nèi)角的度數(shù)。

解：設(shè)∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，則

3x＋4x＋5x＝12x＝180°，

所以x=15°，

所以∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°

由上，我們不難看出，“分?！彼枷脒\(yùn)用于數(shù)學(xué)解題，是一種切實可行別出心裁的好技巧、好方法。有時，題目中的未知數(shù)較多，再引入“輔助元”，明為添亂，實際上卻可以“亂中取勝”；用“分?！彼枷虢忸}，即巧設(shè)“輔助元”解題，雖名不見經(jīng)傳，但它卻有如此之大、之活的實用性，不得不讓我們另眼相看，這正應(yīng)驗了一句俗語：“不管白貓黑貓，能抓到老鼠的就是好貓?！?/p>

參考文獻(xiàn)：

［1］曹佩卿.設(shè)而不求的“輔助元”.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，1995：8-10.

［2］李萬富.“細(xì)看”得巧解.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，1995（14）.

（作者單位 湖南省長沙市長沙縣暮云鎮(zhèn)暮云中學(xué)）