何其慧, 黃德舜, 張小霞, 毛軍軍,3
(1.安徽經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,安徽 合肥230059;2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)院,安徽 合肥230039;3.安徽大學(xué) 計(jì)算智能與信號(hào)處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,安徽 合肥 230039)
一種新的區(qū)間權(quán)重組合預(yù)測(cè)方法
何其慧1, 黃德舜2, 張小霞2, 毛軍軍2,3
(1.安徽經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,安徽 合肥230059;2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)院,安徽 合肥230039;3.安徽大學(xué) 計(jì)算智能與信號(hào)處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,安徽 合肥 230039)
本文主要是在一般的實(shí)數(shù)權(quán)重組合預(yù)測(cè)方法的基礎(chǔ)上,以一種新的誤差指標(biāo)為目標(biāo),建立一個(gè)預(yù)測(cè)權(quán)重半徑的最優(yōu)化模型,進(jìn)而得到區(qū)間權(quán)重。而得到區(qū)間權(quán)重以后,我們對(duì)未來的預(yù)測(cè)值就可以變成區(qū)間值。
區(qū)間權(quán)重;組合預(yù)測(cè)
一般在預(yù)測(cè)中,實(shí)際值是實(shí)數(shù)點(diǎn)值,而預(yù)測(cè)值可以是實(shí)數(shù)點(diǎn)值,也可以是區(qū)間值。關(guān)于實(shí)數(shù)點(diǎn)值的預(yù)測(cè),其研究已經(jīng)很多,理論也較成熟,其有效性也得到了充分的論證[1]。但是,顯然區(qū)間預(yù)測(cè)值在很多方面會(huì)顯示出比點(diǎn)預(yù)測(cè)值更好的作用和價(jià)值。目前已有的區(qū)間預(yù)測(cè)方法主要有以下幾種:一是在點(diǎn)值預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上,利用統(tǒng)計(jì)理論中的置信區(qū)間的方法預(yù)測(cè)其在一定概率下的置信區(qū)間[2]。但是這種方法有其自身的局限性。數(shù)理統(tǒng)計(jì)建立的置信區(qū)間是在大量的歷史數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上得到的某個(gè)概率下的置信區(qū)間,而實(shí)際預(yù)測(cè)中,可能并沒有如此多的歷史數(shù)據(jù)可以供使用。二是預(yù)測(cè)值本身是區(qū)間值,加權(quán)系數(shù)是點(diǎn)值的[3]。三是預(yù)測(cè)值是點(diǎn)值,建立模型得到區(qū)間型的加權(quán)系數(shù)[4]。因此,本文提出了一種綜合第一種和第三種的一種簡(jiǎn)單易行的組合預(yù)測(cè)方法。大致過程是:首先建立點(diǎn)值組合預(yù)測(cè)模型,得到點(diǎn)值權(quán)重向量。再建立一個(gè)權(quán)重的區(qū)間半徑預(yù)測(cè)模型,使得權(quán)重變?yōu)閰^(qū)間值。這樣,用區(qū)間權(quán)重對(duì)各單項(xiàng)預(yù)測(cè)值組合以后就得到了區(qū)間預(yù)測(cè)值。
定義2:設(shè) X = {x1,x2,…,xm}為一實(shí)數(shù)值序列,W = (w1,w2,…,wm)為區(qū)間權(quán)重向量,則X 在區(qū)間權(quán)重W 下的加權(quán)平均值為區(qū)間值y= [yL,yU],其中
我們可以用一般的區(qū)間值運(yùn)算法則進(jìn)行簡(jiǎn)單的推導(dǎo):
若預(yù)測(cè)值與實(shí)際值都是區(qū)間值,已有學(xué)者定義過它們的區(qū)間相對(duì)誤差的概念。為了方便起見,區(qū)間值都用中點(diǎn)與半徑的形式討論。
定義3[5]:假設(shè)實(shí)際值是x= (c,r),預(yù)測(cè)值是, 則 它 們 之 間 的 區(qū) 間 相 對(duì) 誤 差 為 ε
如果實(shí)際值是實(shí)數(shù)點(diǎn)值,即x=c,那么只要令r=0即可,那么此時(shí)預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的區(qū)間相對(duì)誤差就為。從最后的區(qū)間相對(duì)誤差表達(dá)式我們看到,當(dāng)預(yù)測(cè)值的半徑一定時(shí),中點(diǎn)越靠近實(shí)際值c越好,這很合理。當(dāng)預(yù)測(cè)值的中點(diǎn)一定時(shí),半徑越大越好,真的是這樣嗎?讓我們討論下面兩種情況:
上面結(jié)果表明,若給兩個(gè)偏離程度等同考慮,則最后得到的最優(yōu)解為=0,這就失去了區(qū)間預(yù)測(cè)的意義。所以我們考慮給兩個(gè)偏離程度不同的權(quán)重,分別為α和β,且α+β=1。
對(duì)此,我們有下面的結(jié)論:
證明:令
綜上所述,我們?yōu)榱四鼙M量使組合預(yù)測(cè)值能覆蓋實(shí)際值,通常就取α=1,β=0或α=0,β=1這種極端情況。
由上面的討論我們引入下面的定義。
定義4:設(shè)區(qū)間值為y= (m,r),實(shí)數(shù)值為a,稱為區(qū)間值y與實(shí)數(shù)值a的絕對(duì)誤差,稱ε2=為區(qū)間值y與實(shí)數(shù)值a的相對(duì)誤差。
可以看到當(dāng)m >a時(shí),ε21= (a-(m-r))2,這正時(shí)上面討論的情況(1)。當(dāng)m<a時(shí)+r))2,這正是上面討論的情況(2)。當(dāng)m =a時(shí)=r2,這正是上面討論的情況(3)。
設(shè)某實(shí)際值序列為{xt,t=1,2,…,N},有m種方法對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè),xit為第i種預(yù)測(cè)方法對(duì)第t時(shí)刻實(shí)際值的預(yù)測(cè)值。稱eit=(xt-xit)為第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在第t時(shí)刻的預(yù)測(cè)誤差。目前,已存在很多基于最優(yōu)化目標(biāo)的組合預(yù)測(cè)方法,這里我們用簡(jiǎn)單的以預(yù)測(cè)誤差平方和最小為目標(biāo)的線性組合預(yù)測(cè)模型對(duì)各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法進(jìn)行組合。
再用區(qū)間權(quán)重向量L*+R對(duì)各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法進(jìn)行組合得新的組合預(yù)測(cè)區(qū)間值為:
命題得證。
所以用區(qū)間權(quán)重向量L*+R=(,r1),(,r2),…,,rm))對(duì)各個(gè)單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法進(jìn)行組合時(shí),每個(gè)時(shí)刻的組合預(yù)測(cè)值就是區(qū)間值,每個(gè)時(shí)刻的組合預(yù)測(cè)值與實(shí)際值xt都有絕對(duì)誤差或相對(duì)誤差,若用絕對(duì)誤差εt=ε1t,則以各個(gè)時(shí)刻的絕對(duì)誤差平方和最小可以建立如下最優(yōu)化模型:根據(jù)定理1,上面的約束條件中,是組合預(yù)測(cè)值區(qū)間值的中點(diǎn)是組合預(yù)測(cè)值區(qū)間值的半徑。因此,根據(jù)定義4,εt就是各個(gè)時(shí)刻組合預(yù)測(cè)區(qū)間值與實(shí)際值xt的絕對(duì)誤差,目標(biāo)函數(shù)就是絕對(duì)誤差平方和最小。若最后得到最優(yōu)解為,則我們能得到組合預(yù)測(cè)的區(qū)間權(quán)重向量
下表是1991-2005年安徽省人均GDP的數(shù)據(jù)[6],采用了兩種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè):最小二乘法和指數(shù)模型法。
以模型(3.1)得到最優(yōu)權(quán)重為
再以模型 (3.2)得到權(quán)重 半 徑 向 量 R =(0,0.069573)
表1
用得到的權(quán)重半徑向量R= (0,0.069573)計(jì)算得到以后3期組合預(yù)測(cè)值的半徑的預(yù)測(cè)值Rt=,進(jìn)而得到組合預(yù)測(cè)區(qū)間值xt序列,具體結(jié)果見下表。
表2
從上面的結(jié)果可以看到,以后3期組合預(yù)測(cè)區(qū)間值的預(yù)測(cè)值不僅不確定性較小,而且都能包含實(shí)際值,說明區(qū)間權(quán)重預(yù)測(cè)方法是具有一定的可行性的。
本文的區(qū)間預(yù)測(cè)方法首先是一種組合預(yù)測(cè)方法,而各個(gè)單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法都是點(diǎn)值預(yù)測(cè)方法。首先,利用傳統(tǒng)的組合預(yù)測(cè)方法,得到權(quán)重向量。再利用本文提出的最優(yōu)化模型,得到區(qū)間權(quán)重的半徑向量。兩者組合在一起,就得到了區(qū)間權(quán)重向量。最后利用區(qū)間權(quán)重向量得到了區(qū)間預(yù)測(cè)值。通過上面的實(shí)例,我們看到這種區(qū)間預(yù)測(cè)方法簡(jiǎn)單易行,而且得到的預(yù)測(cè)結(jié)果,無論是精度還是穩(wěn)定性都很理想。因此,這是一種一定程度上較有效的方法。
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A New Interval Weight Combination Forecast Method
HE Qi-hui 1, HUANG De-shun2, ZHANG Xiao-xia2, MAO Jun-jun2,3(1.Anhui Institute of Economic Management,Hefei 230059,China;2.Department of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei 230039,China;3.Key Laboratory of Intelligent Computing &Signal Processing of Ministry of Education,Institute of Artificial Intelligence,Anhui University,Hefei 230039,China)
This paper introduces a new forecast error between actual value and forecast value where actual value is a real number and forecast value is interval value.Then,based on this new forecast error and classical combination forecast model,we can obtain an interval weight vector which can forecast future value more practically.
interval weight;combination forecast
O221.7
A
1674-2273(2011)06-0008-04
2011-06-01
國(guó)家自然科學(xué)基金(61073117),安徽大學(xué)學(xué)術(shù)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)資助(KJTD001B)安徽省高等學(xué)校青年基金項(xiàng)目(2011SQRL186),安徽大學(xué)人才隊(duì)伍建設(shè)經(jīng)費(fèi),高等學(xué)校優(yōu)秀青年人才基金項(xiàng)目
何其慧(1980-),女,碩士,講師,主要研究方向是智能計(jì)算,統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論及其應(yīng)用;毛軍軍(1973-),女,博士,副教授,主要研究方向是智能計(jì)算及其應(yīng)用。