半直線上一類分數(shù)階耦合系統(tǒng)邊值問題解的存在性

朱思念, 王 剛

(中國礦業(yè)大學 理學院, 江蘇 徐州 221008)

半直線上一類分數(shù)階耦合系統(tǒng)邊值問題解的存在性

朱思念, 王 剛

(中國礦業(yè)大學 理學院, 江蘇 徐州 221008)

討論了一類半直線上分數(shù)階耦合系統(tǒng)邊值問題解的存在性,其中非線性項含有分數(shù)階導數(shù),通過建立合適的相對緊的判定準則,結(jié)合Schauder不動點定理,得到了解的存在性．

分數(shù)階; 無窮區(qū)間; 不動點定理; 邊值問題

0 引言

無窮區(qū)間上的邊值問題起源于非線性橢圓方程對稱解的研究,由于無窮區(qū)間不具有緊性,給討論增加了一定難度,為此人們給出了一些判定相對緊的準則[1].近些年來,分數(shù)階微分方程引起了人們的廣泛興趣,出現(xiàn)了許多出色的成果[2-5], 然而很少有文章討論分數(shù)階微分方程在無窮區(qū)間上解的存在性[6-8].在文[6]中,作者使用Schauder不動點定理結(jié)合對角化原理,討論了如下無窮區(qū)間上有界解的存在性:

受上述文獻啟發(fā),本文考慮如下分數(shù)階無窮區(qū)間耦合邊值問題

(1)

和

(2)

為方便起見,先給出一些預備知識和引理及假設.

1 預備知識和引理

定義1[5]函數(shù)y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分數(shù)階積分為

其中αgt;0,Γ(·)為gamma函數(shù).

定義2[5]連續(xù)函數(shù)y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)為

其中αgt;0,Γ(·)為gamma函數(shù),n=[α]+1.

其中N=[α]+1

本文總假設以下條件成立:

(H) 存在非負函數(shù)a(t),b(t),c(t),k(t),l(t),m(t)∈L1(J)使得

且滿足

考慮空間

類似的有

由于無窮區(qū)間不具有緊性, 我們給出如下引理, 具體證明類似文獻 [8] 的引理2.3.

引理2V?E為有界集, 即V={(x,y)∈E|‖(x,y)‖Elt;l}, 如果下列條件滿足:

有

其中t1,t2≥T.

引理3 假設條件(H)滿足, 則邊值問題(1)(2)的解等價于以下積分方程

定義算子A(u,v)(t)=(A1(u,v)(t),A2(u,v)(t)), 其中

(3)

(4)

則邊值問題(1)(2)的解等價于算子A的不動點.

證明利用引理1和邊界條件(2), 易得.

2 主要結(jié)果

下面給出本文的主要定理,所用的不動點定理為Schauder不動點定理:

定理1 假設f,g∈C(J×R×R,R),條件(H)滿足,則邊值問題(1)(2)至少存在一個解.

證明由(3)(4)易知

(5)

(6)

我們分3步證明:

(i) 取

令R=max{R1,R2},U={(u(t),v(t))∈E:‖(u(t),v(t))‖E≤R},則A:U→U.

(7)

(8)

故‖A(u,v)(t)‖E≤R

(ii) 令V是U的子集, 下證AV是相對緊的

令I(lǐng)?J是緊子區(qū)間,t1,t2∈I,t1lt;t2,則對任意的(u,v)∈V,我們有

(9)

又

(10)

由條件(H),

故對任意給定的εgt;0,存在常數(shù)L1gt;0,使得

(11)

(12)

(13)

選取Tgt;max{T1,T2},則對t1,t2≥T

另外有

則由引理2知AV相對緊.

(iii) 我們驗證算子A的連續(xù)性

設((un(t),vn(t)),(u(t),v(t))∈U,且‖un-u‖X2→0,‖vn-v‖X1→0,則由(3)～(6)和條件(H),有

以及

故由Lebesgue控制收斂定理知算子A是連續(xù)算子.綜上,由Schauder不動點定理,可得邊值問題(1),(2)在U中至少有一個解.

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[責任編輯：李春紅]

ExistenceResultforaCoupledSystemofFractionalOrderBoundaryValueProblemontheHalf-line

ZHU Si-nian, WANG Gang

(College of Science China University Mining and Technology, Xuzhou Jiangsu 221008, China)

This paper deals with a boundary value problem of fractional order differential equation with the nonlinear term dependent on a fractional derivative of lower order on the semi-infinite interval.An appropriate criteria is established,such that we can use Schauder fixed point theorem to obtain the existence result for solution.

fractional order; infinite interval; fixed point theorem; boundary value problem

O175.8

A

1671-6876(2011)02-0099-07

2011-01-20

朱思念(1986-), 男, 山東濟寧人, 碩士研究生, 研究方向為微分方程邊值問題.