大迎角非定常氣動力建模方法研究

孫海生，張海酉，劉志濤

(1.西北工業(yè)大學，陜西西安 710072;2.中國空氣動力研究與發(fā)展中心低速所，四川綿陽 622662)

0 引言

飛機過失速機動時產(chǎn)生的流動分離和旋渦破碎，使得氣動力和氣動力矩呈現(xiàn)高度的非線性和非定常特性，過失速機動引起的氣動力遲滯效應突出。如何精確地確定非定常氣動力，對分析飛機的飛行品質和飛行控制系統(tǒng)設計有著極其重要的意義。

風洞試驗仍是研究飛機過失速機動非定常氣動力的主要手段，但由于條件限制，風洞試驗并不能完全模擬飛機大迎角機動飛行中的運動狀態(tài)。因此，基于風洞試驗獲得典型機動飛行狀態(tài)的非定常氣動力，通過辨識方法建立非定常氣動力數(shù)學模型，將氣動力和飛行狀態(tài)直接結合起來，對于飛機過失速機動能力評估和飛行控制律設計具有重要的意義。

經(jīng)過國內外研究人員幾十年的努力，非定常氣動力建模取得了重要進展，建立了各種各樣的模型，具有代表性的有代數(shù)多項式模型、微積分模型和基于現(xiàn)代人工智能的模糊邏輯模型等。這些模型各有優(yōu)缺點，也有在特殊條件下的成功應用，但是到目前為止仍然沒有一種被普遍接受具有較強工程應用價值的非定常建模方法。

本文以SDM標模大振幅俯仰振蕩風洞試驗數(shù)據(jù)為基礎，建立了幾種典型的非定常氣動力數(shù)學模型，包括基于Fourier變換法的非定常氣動力模型、非線性代數(shù)模型、基于微分方法的狀態(tài)空間模型和差分方程模型以及基于人工智能的模糊邏輯數(shù)學模型。利用風洞試驗數(shù)據(jù)開展了模型結構辨識和參數(shù)辨識，對所建立的幾種非定常氣動力數(shù)學模型進行了比較研究。

1 非定常氣動力建模

1.1 代數(shù)多項式數(shù)學模型

lIN G F等人建立了一種基于線性代數(shù)模型的非定常氣動力數(shù)學模型:非線性代數(shù)模型［1］。該模型本質上是利用Taylor級數(shù)將氣動力和力矩系數(shù)表示為飛行狀態(tài)變量的高階多項式，模型結構簡單，參數(shù)辨識容易。以俯仰振蕩為例:將縱向氣動力和力矩表示成迎角α及其變化率的多項式:

式中Ca表示氣動力和力矩系數(shù)，例如CL、CD和Cm。一般情況下常數(shù)項和只含有α的項的系數(shù)取為:

式中，k為減縮頻率。利用SDM標模俯仰振蕩風洞試驗數(shù)據(jù)進行模型參數(shù)辨識。減縮頻率范圍為0.02667、0.04016、0.05355、0.0667，平衡迎角 α0=40°，振幅 αm=20°。圖1給出了建模結果與試驗結果的比較。

圖1 代數(shù)多項式模型建模結果與試驗數(shù)據(jù)的比較Fig.1 Comparison of polynomial modeling and test results

1.2 Fourier函數(shù)分析模型

C.Edward Lan等人在Tobak和Schiff建立的積分形式的氣動力系數(shù)表達式基礎上利用Fourier分析原理建立了非定常氣動力響應模型［2］，以升力為例:

其中，PDj為2階Padé近似，定義為:

式中，(Eij+Emn)等表示的是附加質量的影響，而(Hijα+Hmn)等為幅值函數(shù)，代表的是準定常氣動力響應，(1－PDj)為相位函數(shù)，表示非定常氣動力遲滯，t'為無量綱時間變量。阻力氣動力響應模型和俯仰力矩氣動力響應模型與式(3)的表達式相同。

首先利用最小二乘法確定系數(shù) P1j、P2j、P3j、P4j，再利用共軛梯度法優(yōu)化系數(shù)E、H。建模結果見圖2。

從圖2中可以看出，在曲線兩端無試驗數(shù)據(jù)處，建模結果出現(xiàn)了振蕩。原因是Fourier分析針對數(shù)據(jù)總體進行分析，在局部區(qū)域內基本上無精度可言，針對該問題文獻［3］發(fā)展了用于局部分析的小波分析建模法。

1.3 狀態(tài)空間模型

圖2 Fourier模型建模結果與試驗數(shù)據(jù)的比較(k=0.04016)Fig.2 Comparison of Fourier modeling and test results(k=0.04016)

狀態(tài)空間模型是近年來廣泛使用的一種非定常氣動力模型，它利用微分方程將空氣動力載荷和物理流動現(xiàn)象結合在一起，在非定常氣動載荷研究方面具有巨大的優(yōu)勢。該方法首先由Goman等人在其1994年發(fā)表的著作中將其應用于大迎角非定常氣動特性研究。其基本假設是:飛行器大迎角氣動力的遲滯效應主要是由流動分離和渦破碎引起的，因此可用與流動分離和渦破碎位置相關的狀態(tài)變量來描述。引入無量綱量=x/c∈［0，1］描述機翼上表面氣流分離點的位置，x表示分離點位置到機翼前緣的距離，c表示翼型的弦長［4］。=1對應于附著流=0對應于分離點在機翼前緣的流動。

典型的大迎角非定常氣動力的狀態(tài)空間數(shù)學模型為:

式中，Ci0為常數(shù)表征非定常分離過程的時間常數(shù)表征分離滯后的時間常數(shù)，函數(shù)x0(α)表征定常流動狀態(tài)下分離點坐標和迎角之間的關系;α*對應于分離點位置到達翼型弦線中點時的迎角，σ代表斜率因子=是無量綱化的俯仰角速率，t*=c/2v代表流動的特征時間。

未知參數(shù)σ、α*可利用靜態(tài)試驗數(shù)據(jù)辨識得到、通過非定常試驗數(shù)據(jù)辨識得到。建模結果見圖3。

圖3 狀態(tài)空間模型建模結果與試驗數(shù)據(jù)的比較(k=0.02066)Fig.3 Comparison of state space modeling and test results(k=0.02066)

1.4 差分方程模型

在利用狀態(tài)空間模型建模過程中，狀態(tài)方程關于分離點位置參數(shù)是非線性的，且氣動力是狀態(tài)變量的非線性函數(shù)，給模型結構辨識和參數(shù)辨識帶來很大困難。為克服該問題，汪清等人在文獻［5］中提出了一種對氣動力系數(shù)直接微分的數(shù)學模型，模型中各個參數(shù)有比較明確的物理意義。

在大迎角條件下，將氣動力分解為三部分:靜態(tài)氣動力分量Cist(t)、由定常旋轉和下洗遲滯產(chǎn)生的準定常氣動力增量Ciqst(t)、由旋渦破裂和恢復遲滯引起的非定常氣動力增量Ciunst(t)，其中Ciunst(t)由微分方程表達。用向前差分求解微分方程得到如下結果:

式中，Ci(k)表示非定常試驗數(shù)據(jù)，Cist(k)表示靜態(tài)氣動力系數(shù)，可以從風洞靜態(tài)試驗獲得，α(k)、(k)通過試驗給出;Ciqst(t)可從動導數(shù)風洞試驗等強迫振動試驗中獲得。方程(9)變?yōu)閮H關于2、Aij的線性函數(shù)，可利用風洞試驗數(shù)據(jù)通過最小二乘法參數(shù)辨識給出估計值。

由式(8)可得，當前時刻的非定常氣動力增量Cyunst取決于前一時刻的Ciunst(k－1)和當前時刻的迎角α(k)及其變化率(k)。Ciunst(k)通過Ciunst(k－1)與之前的運動發(fā)生聯(lián)系，明確了該模型的物理意義。

結合式(8)和式(9)可知，每一步計算得到的非定常氣動力Ciunst(k)的誤差都將傳遞到下一步，誤差的累積最終將影響建模結果的準確性，因此需要對計算結果進行誤差修正，本文在建模過程中采用了變系數(shù)的高斯白噪聲修正。圖4給出了微分方程建模結果。

圖4 差分方程模型建模結果與試驗數(shù)據(jù)的比較(k=0.02066)Fig.4 Comparison of difference equation modeling and test results(k=0.02066)

1.5 模糊邏輯模型

基于人工智能的模型邏輯和神經(jīng)網(wǎng)絡建模法具有變量多、自學習能力強、精度高等優(yōu)點，近年來在飛行器非定常氣動力建模方面得到廣泛應用。

模糊邏輯模型主要包含四個元素:隸屬函數(shù)、內部函數(shù)、模糊規(guī)則和輸出函數(shù)。隸屬函數(shù)的確定有多種方式，本文采用分析推理法中的三角型隸屬函數(shù)。

隸屬函數(shù)把輸入空間分成若干個模糊子空間，對每一個變量子空間取一個隸屬函數(shù)就構成一個模糊單元，內部函數(shù)即為模糊單元的輸出:

其中，Pi是內部函數(shù))是內部函數(shù)的系數(shù)，k 為輸入變量的個數(shù)，(x1j，…，xrj，…，xkj)為第 j個輸入樣本。

模糊邏輯模型的輸出函數(shù)為:

式中，xrj(r=1，…，k)是模型的輸入是模型的輸出，)是 xrj的隸屬函數(shù);(xkj)］表示對第i個內部函數(shù)的加權，可以采用隸屬函數(shù)的乘積運算或取最小運算，本文采用的是取乘積運算;下標j表示第j個輸入樣本。

圖5分別給出了k=0.04016時CL、Cm的模型輸出與試驗樣本的比較。由圖可知，二者具有較好的一致性。

圖6給出了模糊邏輯模型預測結果與試驗結果的比較。由圖可知，模糊邏輯模型能較好地預測非定常氣動力。

2 建模結果對比

圖7為Fourier模型、代數(shù)多項式模型、差分方程模型、狀態(tài)空間模型和模糊邏輯模型辨識得到的SDM標模大振幅振蕩時的升力和阻力響應。由圖可知在迎角較大時，F(xiàn)ourier模型和差分方程模型的誤差較大，建模精度較其它模型差。

圖6 模糊邏輯模型預測結果與試驗結果的比較(k=0.05355)Fig.6 Comparison of fuzzy logic predicting and training data(k=0.05355)

從建模過程可知，F(xiàn)ourier模型有明確的表達式，表達式中各項物理意義明確，但模型待辨識參數(shù)較多，參數(shù)辨識困難，常用于定速率或簡諧振蕩風洞試驗數(shù)據(jù)建模中。

非線性代數(shù)多項式模型表達式簡潔，便于應用，但對于不同的試驗模型必須建立不同的表達式，多用于運動方式簡單，影響參數(shù)較少的非定常氣動力建模中。

圖7 五種不同模型建模結果對比Fig.7 Comparison of the five approaches modeling results

差分方程模型在實際應用中比較方便，但是其累積誤差的修正比較困難，對其建模精度有較大影響，該模型多用于靜、動態(tài)風洞試驗數(shù)據(jù)比較完整的氣動力建模中，對飛機的氣動性能研究和流動機理研究具有重大意義。

狀態(tài)空間模型物理意義明確，通用性較強，精度也較高，是近年來應用較多的模型，特別適用于翼型動態(tài)特性建模。

模糊邏輯模型雖然沒有明確的表達式，辨識出的參數(shù)也沒有明確的物理意義，但其建模精度最高，可滿足多變量氣動力的建模需要，具有廣泛的應用價值，特別適用于耦合運動、影響參數(shù)較多的非定常氣動力建模中，對各參數(shù)影響程度的研究具有重大意義。

3 結論

通過以上分析，可以得出以下結論:

(1)不同的建模方法各有優(yōu)缺點，在應用過程中，應根據(jù)實際需求進行取舍。

(2)加強對大迎角非定常流動機理研究對于建立物理意義明確、變量多、預測精度高的非定常氣動力模型具有重要的意義。

［1］LIN G F，LAN C E.A generalized aerodynamic coefficient model for fight dynamics application［R］.AIAA-97-3643，1997.

［2］CHIN C S，LAN C E.Fourier function analysis for unsteady aerodynamic modeling［R］.N91-18064/6/XAD，1991.

［3］彭小剛.飛行器氣動力系數(shù)小波網(wǎng)絡建模研究［D］.哈爾濱工業(yè)大學，2006.

［4］GOMAN M，KHRABROV A.State-space representation of aerodynamic characteristic of an aircraft at high angle of attack［R］.AIAA 92-4651，1992.

［5］汪清.飛機大迎角非定常氣動力建模及應用研究［D］.西北工業(yè)大學，1994.

［6］孔軼男.氣動力建模的模糊邏輯方法［D］.中國空氣動力研究與發(fā)展中心研究生部，2005.