基于無限微元的地表面積求解

基于無限微元的地表面積求解

在信息化條件下，精確打擊在作戰(zhàn)中具有實際重大的意義。掌握敵方作戰(zhàn)的一些具體信息如作戰(zhàn)區(qū)域地貌信息等能為作戰(zhàn)帶來巨大便利。文章通過運用無限細分、近似計算的方法將不規(guī)則的地表面積的計算簡化為三角形的面積計算這一簡單過程。具體模型中首先運用數(shù)學軟件matlab等將目標地形三維圖中海拔高于12m的地表取出待用。此外，運用了海倫公式等數(shù)學方法來最終達到計算目標地表面積的目的。

地表面積；海倫公式；無限微元

Specific surface area; Helen Formula; infinite subdivision

1 問題重述

某次戰(zhàn)斗中，我方擁有詳實的敵方作戰(zhàn)區(qū)域地貌信息。為了更加充分的掌握敵方作戰(zhàn)部署，做到在信息化條件下的精確打擊，需要在實際中對作戰(zhàn)目標的地域進行估算?，F(xiàn)在已知該作戰(zhàn)區(qū)域為長4000m、寬3000m的矩形區(qū)域，附件中給出了該區(qū)域的步長為5m的網格節(jié)點對應的海拔高度值（篇幅所限，具體數(shù)值未列），其概貌如圖1所示。試通過數(shù)學建模方法，估算所給目標區(qū)域內的海拔在12m以上部分的地表面積，并分析說明計算精度。

圖1 原題附件中的平面投影圖

2 符號說明

為簡化問題的分析和對數(shù)字的處理，下文使用如表1的符號代表變量。

3 問題分析

題目要求建立適當?shù)纳降孛娣e計算模型，求解所給目標區(qū)域內海拔12m以上部分的地表面積，并分析計算的精度?？紤]所給目標區(qū)域為一個不規(guī)則的山地地形區(qū)域，難以直接計算。并且題中所給的數(shù)據(jù)是長4000m、寬3000m的矩形區(qū)域步長為5m的網格節(jié)點對應的海拔高度值，聯(lián)想到微積分求和思想，我們建立了山地面積求解模型。

表1 部分變量符號說明

4 模型建立與求解

4.1 海拔高于12m地表提取

由于目標區(qū)域的海拔起伏各異，地形分布不甚規(guī)則，且題意要求我們求出海拔高于12m的表面積，故下面先通過一定方法提取目標區(qū)域海拔高于12m的地表。具體方法如下：

4.1 采用數(shù)學工具matlab做出目標地域的三維地形圖如圖2所示。

圖2 目標地域三維地形圖

4.2 提取海拔高于12m的地形部分，海拔低于12m的部分一律歸零(如圖3所示)；

圖3 海拔高于12m目標地域三維地形圖

4.3 三維地形的表面積求解模型建立

由于三維地形一般是隨機起伏的，很難用一個準確的函數(shù)來描述這種起伏，所以用傳統(tǒng)的數(shù)學方法直接計算地表面積具有一定難度，并且難以保證準確度。

對于目標區(qū)域，題目所給的數(shù)據(jù)是長4000m、寬3000m的矩形區(qū)域的步長為5m的網格節(jié)點對應的海拔高度值，本文以每個網絡小格作為面積微元，采用面積微元求和的思想估算目標區(qū)域的面積。

分析每個網絡小格，假設ABCD四點為相鄰的四個點，如圖4所示。

圖4 山地面積測量

ha、hb、hc、hd分別為四點對應的高度值，lcd、lab分別為CD、AD兩點的距離。由已知數(shù)據(jù)可得：

同理，根據(jù)已有數(shù)據(jù)，得到總共12萬個小三角形。

由此可以計算網絡小格的面積為兩個三角形面積之和為：

S＝2432153.00453477m2

4.4 三維地形的表面積精度分析

由于目標區(qū)域的海拔起伏各異，地形分布不甚規(guī)則，綜合各種因素。我們總結出如下幾點肯能引起誤差的因素：

①該區(qū)域的步長為5m的網格節(jié)點對應的海拔高度值不能完全正確的反應地表變化情況；

②模型本身未考慮所選取的最小三角形內部的地形變化；

③計算過程中精度選取不一定達到最大。

我們知道步長越短越精確，而本文給出的最短步長為5m，考慮到通過插值算法得到的更短步長精確性不能檢測。本文選擇已有數(shù)據(jù)以10m、15m、20m步長的數(shù)據(jù)進行精度分析。

通過以10m、15m、20m為步長的程序運行。類似可得到：

10 m 步長時的地表面積：

S＝2333653.80464746m2

15 m 步長時的地表面積：

S＝2135663.32453454m2

20 m 步長時的地表面積：

S＝1834774.12453615m2

進而可以得到逼近準確值的近似曲線。

圖5 山地面積逼近曲線

由逼近曲線可以近似得到該地型的地表面積標準值接近2500000．我們以此作為標準進行精度分析：

5 結語

本文創(chuàng)新性的將對地表面積的求解轉換成對無限微分的最小三角形的面積和求解，使求出的地表面積更加精確可靠．同時，又分別以10m、15m和20m為步長進行精度分析．最后結果誤差在3%以內，說明精確度還是很高的。

該模型不僅可應用于軍事勘察，同樣可用于我們的生活中．如當?shù)卣鸹蚱渌匀粸暮Πl(fā)生時，救援人員無法進入災區(qū)，可先通過衛(wèi)星掃描對該地進行拍照，然后利用該模型對地表情況進行分析，為救援人員提供及時有用的數(shù)據(jù)。

[1]基于Matlab的地形數(shù)據(jù)處理.測繪科學與工程第30卷第1期，2010.

[2]魏東，張秀程.基于遞歸算法的三維地形面積計算方法研究.工程地質計算機應用,2007第3期

An Original Solution to Sompute the Specific Surface area Based on the Theory

of Infinite Subdivision

In the condition of informatization, pintpoint strike has its practical significance.So grasping the information of your enemy’s camp bring a huge convenience for combat operations.In this article,we divide the irregular specific surface into countless tiny triangles with the methods of infinite subdivision and approximate calculation.In the concrete model,first we take out of the surface above 12m in the graphic model with the help of mathematical software matlab2010a .In addition,we calculate the area of each triangle with Helen Formula and the specific surface area is the sum of all triangle areas.

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.23.012

吳育文1郭子瓏1陳琛2

1 東北大學秦皇島分校，秦皇島 066004;2大連交通大學旅順校區(qū)，大連 116001

吳育文（1988-），男，福建長泰人，東北大學秦皇島分校，在讀本科，研究方向：計算數(shù)學。