一般位置直線段實(shí)長(zhǎng)及傾角講解方法的探討

胡少興 張愛(ài)武 劉靜華 王運(yùn)巧

1北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191

2首都師范大學(xué)三維信息獲取與應(yīng)用教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100037

一般位置直線段實(shí)長(zhǎng)及傾角講解方法的探討

胡少興1張愛(ài)武2劉靜華1王運(yùn)巧1

1北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191

2首都師范大學(xué)三維信息獲取與應(yīng)用教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100037

從觀察日常生活中諸多部件或零件開(kāi)始，引出一般位置直線實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面傾角求解的必要性，給出由投影求出一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面傾角及直線與投影軸夾角的方法，總結(jié)實(shí)長(zhǎng)、傾角和夾角的求解規(guī)律。而后通過(guò)幾個(gè)典型習(xí)題的作圖過(guò)程分析，加深學(xué)生對(duì)定理的理解。幾輪講述表明：采用該種形式學(xué)生不僅能夠快速掌握直角三角形法，而且也能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)工程制圖的興趣。

一般位置直線；直角三角形法；實(shí)長(zhǎng)；傾角；夾角

General location line; Right triangle method; Length; Obliquity; Angle

在日常生活中，同學(xué)們看到的聯(lián)通信號(hào)塔、體育館的屋頂、電視塔等等都是根據(jù)我們講述的制圖基本知識(shí)繪制的工程圖紙加工出來(lái)的。這些物體無(wú)論選擇哪個(gè)方向投影，在其工程圖上，都會(huì)出現(xiàn)許多在三個(gè)投影面上的投影均呈類似性，既不能反映該線段的實(shí)長(zhǎng)，也不能反映該線段對(duì)投影面傾角的一般位置直線。因此在施工過(guò)程中，必須求出實(shí)長(zhǎng)，才能進(jìn)行加工。這樣不僅節(jié)省材料，而且可以加快施工速度。類似的一般位置直線的例子在機(jī)電產(chǎn)品的設(shè)計(jì)過(guò)程中出現(xiàn)的頻率更是數(shù)不勝數(shù)，所以對(duì)于一般位置直線，我們必須求出實(shí)長(zhǎng)。

對(duì)于一般位置直線，求其實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面的傾角有直角形法或換面法[1～2]。對(duì)于這兩種方法，換面法比較簡(jiǎn)單，這里著重介紹直角三角形法。對(duì)于該種方法，目前的教材[3~5]都是按照相同的方式進(jìn)行講述，并沒(méi)有對(duì)其進(jìn)行深入分析。本文根據(jù)作者的理解，給出由投影求出一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面傾角及直線與投影軸夾角的方法，并對(duì)實(shí)長(zhǎng)、傾角和夾角的求解規(guī)律進(jìn)行總結(jié)。

一、 直角三角形法

為了更加直觀的理解一般位置直線在三個(gè)投影面的投影特性，同學(xué)們可以將三個(gè)投影面理解成教室中由地面（相當(dāng)于H面）、側(cè)墻面（相當(dāng)于W面）和前墻面（相當(dāng)于V面）組成。其中地面和側(cè)墻面的交線為OY軸，地面和前墻面的交線為OX軸，側(cè)墻面和前墻面的交線為OZ軸，一般位置直線就相當(dāng)于在這三個(gè)投影面中的投影。下面我們?cè)谠撊齻€(gè)投影面組成的立體空間中，分別講述空間直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)各投影面傾角的求法。

例1：求空間直線AB的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)H面的夾角α。

解：求解過(guò)程見(jiàn)圖1。

我們知道，直線由兩點(diǎn)確定，要作直線的投影，實(shí)質(zhì)就是作出線上兩點(diǎn)的投影，也就是說(shuō)，它的投影由直線上兩點(diǎn)的同面投影的連線來(lái)確定。由此得到直線AB的V投影a＇b＇和H面的投影ab，其中ab垂直Bb。過(guò)A點(diǎn)作AA1平行于ab，則AA1垂直于Bb，由此得一直角三角形BAA1。

在該三角形中∠A1AB為空間直線AB與H面所成的傾角，定義為α；該角所對(duì)的直角邊為空間直線AB的Z坐標(biāo)差，另一條直角邊為直線AB在H面投影ab。斜邊是直線AB的實(shí)長(zhǎng)，該角的余角為空間直線與Z軸的夾角。可見(jiàn)求實(shí)長(zhǎng)、傾角及夾角最主要的問(wèn)題是找到對(duì)應(yīng)的直角三角形。

例2：求空間直線AB的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)V面的夾角β。

解：求解過(guò)程見(jiàn)圖2。

從圖中看出：對(duì)應(yīng)的直角三角形為B1BA。在該三角形中，∠B1BA即空間直線AB與V面所成的夾角，定義為β；該角所對(duì)的邊為空間直線AB的Y坐標(biāo)差，另一條直角邊為直線AB的V投影a＇b＇的長(zhǎng)度。斜邊是直線AB的實(shí)長(zhǎng)，該角的余角為空間直線與Y軸的夾角?？梢?jiàn)求實(shí)長(zhǎng)、傾角及夾角最主要的問(wèn)題仍是找到對(duì)應(yīng)的直角三角形。

例3：求空間直線AB的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)W面的夾角?。

解：求解過(guò)程見(jiàn)圖3。

從圖中看出：對(duì)應(yīng)的直角三角形為B2BA。在該三角形中，∠B2BA即空間直線AB與W面所成的傾角，定義為?；該角所對(duì)的邊為空間直線AB的X坐標(biāo)差，另一條直角邊為直線AB的W投影a’b’的長(zhǎng)度。斜邊是直線AB的實(shí)長(zhǎng)，該角的余角為空間直線與X軸的夾角?？梢?jiàn)求實(shí)長(zhǎng)及夾角最主要的問(wèn)題也是找到對(duì)應(yīng)的直角三角形。

綜上所述，借助于直角三角形，就可以用圖解法求出線段AB的實(shí)長(zhǎng)和與投影面的傾角。這種方法稱之為“直角三角形法”。

用直角三角形法求線段實(shí)長(zhǎng)及傾角時(shí)，特別要注意傾角與兩直角邊一定是與同一投影面發(fā)生關(guān)系。直角三角形的構(gòu)成圖將這種關(guān)系表達(dá)得十分清晰。用直角三角形法求實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面的夾角總結(jié)如下：

（1）求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)H面的傾角。首先找出空間直線的Z坐標(biāo)差和直線的水平投影，然后由這兩條邊組成直角三角形，Z坐標(biāo)差這條直角邊所對(duì)應(yīng)的角度為空間直線與水平投影面所成的傾角，另一條直角邊所對(duì)的角度為空間直線與Z軸所成的角，斜邊為實(shí)際長(zhǎng)度；

（2）求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)V面的夾角。首先找出空間直線的Y坐標(biāo)差和直線的正面投影，由這兩條邊組成直角三角形，Y坐標(biāo)差這條直角邊所對(duì)的角度為空間直線與正立投影面所成的傾角，另一條直角邊所對(duì)的角度為空間直線與Y軸所成的角，斜邊為實(shí)際長(zhǎng)度。

（3）求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)W面的夾角。首先找出空間直線的X坐標(biāo)差和直線的側(cè)立投影，由這兩條邊組成直角三角形，X坐標(biāo)差這條直角邊所對(duì)的角度為空間直線與側(cè)立投影面所成的傾角，另一條直角邊所對(duì)的角度為空間直線與X軸所成的角，斜邊為實(shí)際長(zhǎng)度。

二、典型習(xí)題

由直角三角形的構(gòu)成可知，該部分內(nèi)容涉及四個(gè)基本作圖問(wèn)題：

已知直線的兩投影，求直線與投影面的夾角和線段的實(shí)長(zhǎng)；

已知直線的一投影及其與投影面的夾角，求直線的投影；

已知線段的一投影及其實(shí)長(zhǎng)，求線段的投影；

已知線段的實(shí)長(zhǎng)及其與投影面的夾角，求直線的投影。

其中第3和4可以合成一種情況，下面我們以習(xí)題方式進(jìn)行講述，以加深學(xué)生對(duì)該方法的理解。

習(xí)題1 已知直線AB的兩投影，見(jiàn)圖4，求直線AB對(duì)V面的傾角和線段的實(shí)長(zhǎng)。

解：有兩種解法，求解過(guò)程見(jiàn)圖4。

方法一：在H投影面上作圖，這里直線AB的水平投影已知，可以直接得到Y(jié)坐標(biāo)差。過(guò)b點(diǎn)作OX軸的平行線，與a＇a相交與m，則ma的長(zhǎng)度為Y坐標(biāo)差，延長(zhǎng)使mn=a＇b＇，連接na，得直角三角形nma、。這里na為AB的實(shí)長(zhǎng)，直角邊ma所對(duì)的夾角為空間直線AB與V面所成的傾角β。

方法二：在V投影面上作圖，過(guò)a＇做直線a＇k垂直于a＇b＇，并使a＇k=am，連接kb＇，同樣可得直角三角形，三角形的各邊及角度含義同法一。

習(xí)題2 已知線段CD=45mm及水平投影，求其正面投影。

分析：由已知條件，由于直角三角形的斜邊已知、一直角邊已知，可得直角三角形。另一直角邊即為兩端點(diǎn)對(duì)H面的距離之差△Z，從而可以求出V面投影，求解過(guò)程如圖5。

作圖步驟：

（1）以cd為一直角邊，過(guò)c點(diǎn)作一直線cm垂直于cd；

（2）以d點(diǎn)為圓心，以45為半徑，作一圓弧與直線cm相交于n點(diǎn)，得直角三角形，cn的長(zhǎng)度即為空間直線CD的Z坐標(biāo)差；

（3）根據(jù)投影關(guān)系，得到直線CD正面投影，即c＇d＇。

習(xí)題3 已知直線AB的投影a＇b＇，與V面的傾角β=30°，求其水平投影。

分析：由直角三角形的構(gòu)成圖可知，若傾角為β，則該直角三角形的兩條直角邊一定是線段在V面的投影和兩端點(diǎn)對(duì)V面的距離之差。a＇b＇已知，傾角已知，該直角三角形可以得到。另一直角邊即為兩端點(diǎn)對(duì)V面的距離之差△Y，從而可以求出H面投影，求解過(guò)程見(jiàn)圖6。

作圖步驟：

（1）首先，過(guò)b＇作一直線b＇n垂直于a＇b＇；

（2）過(guò)a＇點(diǎn)作與a＇b＇成300的直線，與直線b＇n交于m點(diǎn)，則b＇m即為△Y；

（3）根據(jù)投影關(guān)系，得到直線AB水平投影，即ab。

三、結(jié)論

以學(xué)生為中心，發(fā)揮學(xué)生的想象空間，從日常生活中所見(jiàn)到的一些事物開(kāi)始，探討求一般位置直線實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)投影面傾角求解的必要性，總結(jié)實(shí)長(zhǎng)、傾角和夾角的求解規(guī)律。即在投影圖上求線段的實(shí)長(zhǎng)和傾角的方法是：以線段在某個(gè)投影面上的投影為一條直角邊，以線段的兩端點(diǎn)到該投影面的距離差為另一條直角邊作直角三角形，該直角三角形的斜邊就是所求線段的實(shí)長(zhǎng)，而此斜邊與投影的夾角，就是該線段對(duì)該投影面的傾角。

[1]黎孟珠,石相莉.用換面法與直角三角形法求一般位置平面實(shí)形的比較.桂林航天工業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)[J].2006;(2):13～14

[2]楊衛(wèi)紅.直角三角形法求作直線實(shí)長(zhǎng)和投影的應(yīng)用.山西建筑[J].2005;31(8):16～17

[3]何銘新,千克強(qiáng).機(jī)械制圖[M].第四版.北京：高等教育出版社.1997

[4]朱淑芳,蔡雨林.機(jī)械制圖[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社.1992

[5]李澄,吳天生,聞百橋.機(jī)械制圖[M].北京:高等教育出版社.1996

A novel instruction way for solving general line’s length and its obliquity angle between projection planes

HU Shaoxing1ZHANG Aiwu2LIU Jinghua1WANG Yunqiao1
1.School of Mechanical Engineering and Automation, Beihang University, Beijing 100191,China; 2. Ministry of Education Key Laboratory of 3D Information Acquisitionand Application,Capital Normal University, Beijing 100037,China

Basing on numerous observation of many mechanical parts and components, the importance of solving general line’s length and its obliquity angle between projection planes is discussed. A novel method for solving general line’slength and its angles between projection planes and projection axle is proposed. A generalized method for solving space line’s length and its angles between projection planes and axles is also given. Author’s teaching experiments indicate that this method can not only make students understand and master right triangle method but also can stimulate students’ interests of engineering drawing.

O221

A

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.16.123

胡少興(1972~),男,副教授,博士。主要研究方向三維激光、逆向工程及智能控制等。