以數(shù)學建模分析為基礎的運籌學案例教學

陳照輝

以數(shù)學建模分析為基礎的運籌學案例教學

陳照輝

數(shù)學建模在“運籌學”課程教學內(nèi)容中占有重要位置?！斑\籌學”課程可以數(shù)學建模分析為基礎采用案例教學法，從而激發(fā)學生學習興趣，增強學生的數(shù)學應用意識，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和建模能力。

課程教學；運籌學；數(shù)學建模；案例教學

“運籌學”課程是數(shù)學專業(yè)和管理類專業(yè)的核心課程之一，該課程教學的主要任務是使學生理解運籌學中優(yōu)化決策的思想，在掌握基本的數(shù)學理論的基礎上，具備建模和計算的能力。數(shù)學建模是運籌學中不可或缺的一部分，課程教學中應當突出數(shù)學建模的思想。

一、數(shù)學建模與運籌學

數(shù)學建模是通過對具有實際背景的問題的分析，了解研究對象的內(nèi)在規(guī)律，然后用數(shù)學的語言和方法把這種規(guī)律描述出來，并對其進行求解運算得出結果，為決策者提供量化決策依據(jù)的過程［2］。如今數(shù)學建模在各行各業(yè)中得到了廣泛的應用，在當代數(shù)學中的地位也日益突現(xiàn)。隨著計算機技術的發(fā)展，產(chǎn)生了更多的數(shù)學方法用于解決實際問題。一般只需給出問題的數(shù)值解或近似最優(yōu)解便達到了應用的目的。

運籌學是研究解決實際問題的數(shù)學方法的一門應用科學。運籌學在解決實際問題的過程中形成了自己的工作步驟：（1）提出和形成問題；（2）建立模型；（3）求解；（4）解的檢驗；（5）解的控制；（6）解的實施。要解決問題，首先要通過分析引入決策變量，然后構建目標函數(shù)和約束條件，建立相應的數(shù)學模型。所以，建立模型是運籌學解決問題過程中關鍵的一步。數(shù)學模型從研究對象上看，可分為確定性模型和隨機性模型；從決策變量之間的關系看，可分為線性模型和非線性模型，以及靜態(tài)模型和動態(tài)模型。運籌學中針對不同類型的模型提出了相應的算法，例如求解線性規(guī)劃的單純形法，求解最短路問題的Dijkstra算法等。隨著運籌學的發(fā)展，有些分支逐步發(fā)展起來，其中很多理論和方法已廣泛應用于包括生產(chǎn)管理、工程技術、經(jīng)濟分析、軍事作戰(zhàn)等領域［3］。

二、運籌學與案例教學

運籌學具有較強應用性及研究內(nèi)容的多樣性、交叉性等特點，案例教學是比較適合它的一種教學方法。

案例教學是一種以學生為中心對現(xiàn)實問題和某一特定事實進行交互式探索的過程［4］。進行案例教學，首先要建立相應的案例庫，通過選擇具有代表性的案例，激發(fā)學生的興趣，引導學生積極思考。案例教學的實施過程中始終要保持以學生為主體，使得學生有動力發(fā)揮他們的主觀能動性去思考問題。給出的案例背景要易于理解，讓學生經(jīng)過思考討論后能夠建立數(shù)學模型。要注重學生計算機應用能力的培養(yǎng)，給學生利用計算機進行求解的時間條件和硬件條件。教學中發(fā)現(xiàn)在建立問題的數(shù)學模型之后大多數(shù)學生都希望立即進行求解，以驗證自己建立的模型是否能得到合理的結果，這就達到了以數(shù)學建模分析為基礎，激發(fā)學生求知欲的目的。學生會在求解中發(fā)現(xiàn)問題，從而進一步思考。此時老師要給予適當?shù)囊龑?，使其最終能夠得到最為合理的結果。

在運籌學案例教學實施過程中，計算機輔助教學是一個重要的環(huán)節(jié)。運籌學課程是數(shù)學實驗或數(shù)學軟件課程的后續(xù)課程，數(shù)學實驗一般只學習應用一種軟件如Matlab或Mthematica。在本課程教學中應當介紹其它的一些軟件的應用，如Excel中的規(guī)劃求解，Lingo和1stopt，這幾種軟件具有易于編程的特點。

三、案例教學法的應用

教材的整數(shù)規(guī)劃一章介紹了0-1規(guī)劃。很多實際問題都可以抽象為0-1整數(shù)規(guī)劃模型，如任務分配問題、背包問題、線路設計等。課堂教學中，在介紹了0-1規(guī)劃的基本內(nèi)容之后，給出一案例，讓學生完成建模。把學生分成若干學習小組，每組的幾個同學自己去分工配合，共同完成，最后提交一篇短文，內(nèi)容包括問題描述、模型建立、求解、結論四部分。

案例描述為：有n捆線圈，每捆的長度是p1、p2、……pn；有m個需要被繞的圈子，每一個被繞圈子需要長度是q1，q2，……qm。用這n捆線圈去繞m個被繞圈子。要求：（1）最多2捆線圈繞一個圈子；（2）繞制過程中會有剩余的線，要求剩余線中單根最長的繞法最好。

該問題為一組合優(yōu)化問題，根據(jù)運籌學中所學，學生易想到建立0-1整數(shù)規(guī)劃模型。引入決策變量

建立模型如下：

其中，式（1）為決策變量；式（2）為目標函數(shù)，表示使?jié)M足條件的繞制方案中剩余線中單根最長的取到最大；式（3）使?jié)M足最多兩捆線繞一個圈子；式（4）使?jié)M足每個空圈子的需要；式（5）表示一捆線圈最多繞到一個圈子上。

該問題的數(shù)據(jù)給定之后，同學們在用計算機軟件編程進行求解時會遇到困難，因為目標函數(shù)是一個最大化問題，不論用Matlab或Lingo進行編程，還是用Excel中的規(guī)劃求解工具進行求解，直接表示出目標函數(shù)都不能給出結果。經(jīng)過提示，有的同學就想到把問題分解為m個線性規(guī)劃問題，即求解目標函數(shù)：

其約束條件均為式（3）～（6）的m個線性規(guī)劃問題。通過求解m個問題的最優(yōu)解，最后給出問題的最優(yōu)解。實際上，以式（2）為目標函數(shù)的問題，也可以調(diào)用1stopt軟件中的MinMax函數(shù)進行求解。這些軟件都有其各自的優(yōu)勢，課程中介紹這些軟件是有必要的。

有的同學提出，既然n捆線圈最后剩余線的總長度是一定的，那么要使得剩余最長的單根線的長度最大，就要使其它單根線剩余的盡量短。所以，可以想到類似于運輸問題的表上作業(yè)法構造一種算法，盡量先把使得無剩余或剩余很短的進行繞線。這可謂是一種巧妙的嫁接，達到了學以致用的效果。

四、結語

教學過程中通過案例分析培養(yǎng)學生數(shù)學建模的能力，在建模過程中激發(fā)學生學習興趣，取得了較好的效果。筆者體會，“運籌學”課程教學中以數(shù)學建模分析為基礎采用案例教學法，可以加強學生的數(shù)學應用意識，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和建模能力，增強學生學習的興趣和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學生寫作能力及團隊協(xié)作能力。

[1]張杰，郭麗杰.運籌學課程的改革與數(shù)學建模教育[J].高等數(shù)學研究，2007（1）.

[2]運籌學教材編寫組.運籌學[M].北京：清華大學出版社，2005.

[3]張兵.案例教學在運籌學教學中的運用[J].徐州教育學院學報，2008（3）.

G642.4

A

1673-1999（2011）23-0170-02

陳照輝（1980-），男，河南周口人，碩士，重慶科技學院數(shù)理學院講師，研究方向為智能優(yōu)化算法及其應用。

2011-10-17

重慶科技學院教改項目（201049）。