楊潔榮,宋向東,明喆,胡蓓蓓,王樹力
(燕山大學(xué)理學(xué)院,河北秦皇島066004)
基于兩種轉(zhuǎn)換的非正態(tài)過程能力研究的比較
楊潔榮,宋向東,明喆,胡蓓蓓,王樹力
(燕山大學(xué)理學(xué)院,河北秦皇島066004)
文章應(yīng)用Box-Cox轉(zhuǎn)換和Johnson轉(zhuǎn)換對幾種非正態(tài)分布進(jìn)行了研究,并計算出了其過程能力指數(shù),通過大量的重復(fù)模擬研究了該方法在過程能力分析中的適用性和效果。結(jié)果顯示,Johnson轉(zhuǎn)換比Box-Cox轉(zhuǎn)換更有效。文章用相應(yīng)的matlab分析軟件來輔助實(shí)現(xiàn)這個方法,具有可操作性,可以用于指導(dǎo)生產(chǎn)實(shí)踐。
非正態(tài);過程能力指數(shù);Box-Cox轉(zhuǎn)換;Johnson轉(zhuǎn)換
在許多統(tǒng)計過程控制(SPC)技術(shù)的應(yīng)用中,要求所關(guān)心的質(zhì)量特性服從正態(tài)分布。然而,實(shí)際中存在大量不符合正態(tài)假設(shè)的質(zhì)量特性。此時若應(yīng)用正態(tài)假設(shè)下的SPC技術(shù),則會增加第1類風(fēng)險。研究表明:正態(tài)性的明顯偏離會嚴(yán)重影響與控制圖相關(guān)的平均運(yùn)行長度。解決該問題的方法是:一是找到這種質(zhì)量特性本身的分布函數(shù),則可通過函數(shù)間的轉(zhuǎn)換將非正態(tài)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為正態(tài)數(shù)據(jù),即基于非正態(tài)分布的過程能力指數(shù)的計算方法;二是將非正態(tài)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為“正態(tài)分布”的數(shù)據(jù),然后用傳統(tǒng)方法計算過程能力指數(shù)[1]。
設(shè)X表示的是質(zhì)量特性,則
這里要求變量取值為正,如果數(shù)據(jù)有負(fù),可同時增加一個常數(shù)使其為正值。λ的估計值采用極大似然估計法。
針對一個具體的非正態(tài)應(yīng)用場合,如何根據(jù)樣本選擇合適的Johnson曲線類型是首要的問題,其步驟如下:
選擇一個合適的z,通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表找出對應(yīng)于{-SZ,-Z, Z,SZ}的分布概率p-sz、p-z、pz、psz。在樣本數(shù)據(jù)中找出對應(yīng)的分位數(shù)x-sz、x-z、xz、x3z,并令m=xsz-xz,n=x-z-x-sz,p=xz-x-z定義分位數(shù)比率QR=mn/p2。Bowman和Shenton根據(jù)QR提供了選擇SB、 SU的一般規(guī)則:如果則選擇SB;如果,s≥,則選擇SU。
結(jié)果發(fā)現(xiàn),只有在s=3時才能找到區(qū)分SB、SL和SU的規(guī)則:
當(dāng)QR<1時,選擇SB分布;當(dāng)QR=1時,選擇SL分布,當(dāng)QR>1時,選擇SU分布。
而在s=3的情況下,只有確定合適的z值,就可以確定需要擬合數(shù)據(jù)的Johnson系統(tǒng)。在轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上,就可以應(yīng)用正態(tài)假設(shè)下的質(zhì)量控制技術(shù)了。
接下來討論以下三種轉(zhuǎn)換類型的具體參數(shù)的確定方法:
(1)對于SB曲線:
(2)對于SU曲線:
表1 Johnson分布系統(tǒng)
一旦求得Johnson曲線的位置參數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)(ε,γ,λ,η),便可以求得概率為0.5,0.0135和0.99865所對應(yīng)的百分位數(shù)x0.5,x0.00135和x0.99865[4]。從而可以求出相應(yīng)的過程能力指數(shù)。
(1)生成一組服從自由度為10和20的分布的隨機(jī)數(shù)(100行1列),求得其0.00135分位數(shù)為0.1188,0.99865分位數(shù)為4.0931,將其分別作為公差下限和公差上限,即其USL=4.0931,LSL=0.1188。
轉(zhuǎn)換前:其過程能力指數(shù)為0.9019,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn),求得檢驗(yàn)統(tǒng)計量為0.1234,臨界值為0.0890,其檢驗(yàn)的p值為0.0010,可判斷它不服從正態(tài)分布。
Box-Cox轉(zhuǎn)換后:
其過程能力指數(shù)為0.8838,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn),求得檢驗(yàn)統(tǒng)計量為0.0520,臨界值為0.0890,其檢驗(yàn)的p值為0.5000,可判斷它服從正態(tài)分布。
Johnson轉(zhuǎn)換后:
其過程能力指數(shù)為0.7482,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn),求得檢驗(yàn)統(tǒng)計量為0.0502,臨界值為0.0890,其檢驗(yàn)的p值為0.5000,可判斷它服從正態(tài)分布。
(2)生成參數(shù)為a=1.5和b=2的Γ分布的隨機(jī)數(shù)(100行1列),求得其0.00135分位數(shù)為0.1084,0.99865分位數(shù)為10.9457,將其分別作為公差下限和公差上限,即USL= 10.9457,LSL=0.1084。
轉(zhuǎn)換前:其過程能力指數(shù)為0.8776,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn),求得檢驗(yàn)統(tǒng)計量為0.1131,臨界值為0.0890,其檢驗(yàn)的p值為0.0031,可判斷它不服從正態(tài)分布。
Box-Cox轉(zhuǎn)換后:
其過程能力指數(shù)為0.7973,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn),求得檢驗(yàn)統(tǒng)計量為0.0469,臨界值為0.0890,其檢驗(yàn)的p值為0.5000,可判斷它服從正態(tài)分布。
Johnson轉(zhuǎn)換后:
其過程能力指數(shù)為0.7864,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn),求得檢驗(yàn)統(tǒng)計量為0.0429,臨界值為0.0890,其檢驗(yàn)的p值為0.5000,可判斷它服從正態(tài)分布。
(3)生成自由度為5的χ2分布的隨機(jī)數(shù)(100行1列)求得其0.00135分位數(shù)為0.4737,0.99865分位數(shù)為13.9823,將其分別作為公差下限和公差上限,即USL=13.9823,LSL= 0.4737。
轉(zhuǎn)換前:其過程能力指數(shù)為0.7223,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn),求得檢驗(yàn)統(tǒng)計量為0.1513,臨界值為0.0890,其檢驗(yàn)的p值為0.0010,可判斷它不服從正態(tài)分布。
Box-Cox轉(zhuǎn)換后:
其過程能力指數(shù)為0.7444,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn),求得檢驗(yàn)統(tǒng)計量為0.0614,臨界值為0.0890,其檢驗(yàn)的p值為0.4628,可判斷它服從正態(tài)分布。
Johnson轉(zhuǎn)換后:
其過程能力指數(shù)為0.7202,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn),求得檢驗(yàn)統(tǒng)計量為0.0564,臨界值為0.0890,檢驗(yàn)的p值為0.5000,可判斷它服從正態(tài)分布。
(4)生成參數(shù)為a=0.5和b=0.6的β分布的隨機(jī)數(shù)(100行1列)求得其0.00135分位數(shù)為0.0001,0.99865分位數(shù)為0.9999,將其分別作為公差下限和公差上限,即USL=0.9999,LSL=0.0001。
轉(zhuǎn)換前:其過程能力指數(shù)為0.4857,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn),求得檢驗(yàn)統(tǒng)計量為0.1602,臨界值為0.0890,其檢驗(yàn)的p值為0.0010,可判斷它不服從正態(tài)分布。
Box-Cox轉(zhuǎn)換后:
其過程能力指數(shù)為0.5659,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn),求得檢驗(yàn)統(tǒng)計量為0.0948,臨界值為0.0890,檢驗(yàn)的p值為0.0275,可判斷它不服從正態(tài)分布。
Johnson轉(zhuǎn)換后:
其過程能力指數(shù)為0.5937,通過Lilliefors正態(tài)性檢驗(yàn),求得檢驗(yàn)統(tǒng)計量為0.0611,臨界值為0.0890,檢驗(yàn)的p值為0.4714,可判斷它服從正態(tài)分布。
從上面的四種分布的各自隨機(jī)模擬的100個數(shù)據(jù)來看,兩種轉(zhuǎn)換基本都能實(shí)現(xiàn)正態(tài)轉(zhuǎn)換,但轉(zhuǎn)換效果不明顯。
下面我們通過多數(shù)據(jù)大量重復(fù)試驗(yàn):每次產(chǎn)生1000個隨機(jī)數(shù),重復(fù)模擬1000次,比較兩種轉(zhuǎn)換的過程能力指數(shù)Cp的平均值,更接近于1的轉(zhuǎn)換效果較好。
(1)F分布
通過Box-Cox轉(zhuǎn)換對應(yīng)的Cp的平均值為1.0287,Johnson轉(zhuǎn)換對應(yīng)的的平均值為1.0244,可見對于F分布,Johnson轉(zhuǎn)換較好。
(2)Γ分布
通過Box-Cox轉(zhuǎn)換對應(yīng)的Cp的平均值為0.9489,Johnson轉(zhuǎn)換對應(yīng)的的平均值為1.0040,可見對于F分布,也是Johnson轉(zhuǎn)換較好。
(3)χ2分布
通過Box-Cox轉(zhuǎn)換對應(yīng)的Cp的平均值為0.9712,Johnson轉(zhuǎn)換對應(yīng)的的平均值1.0150,可見對于χ2分布,也是Johnson轉(zhuǎn)換較好。
(4)β分布
對于β分布,通過兩種轉(zhuǎn)換對應(yīng)的Cp的平均值都比較小,分別為0.5551和0.6743,與理論值1的差距較大,說明將兩種轉(zhuǎn)換用于β分布是不合適的。
綜上評價,認(rèn)為Johnson轉(zhuǎn)換效果好。
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(責(zé)任編輯/易永生)
F273.2
A
1002-6487(2011)06-0165-02
楊潔榮(1984-),山西臨汾人,碩士研究生,研究方向:質(zhì)量控制理論。