關于環(huán)交換性的兩個定理

李 萍

(哈爾濱師范大學數學科學學院，哈爾濱150500)

由文獻[1]可知:設R為一個環(huán)，若對?x，y∈R，有依賴于x，y的整系數多項式p(t)使得[x-x2p(x)，y]=0，則R為交換環(huán).

由文獻[2]可知:設R為一個kothe半單純環(huán)，若對?a，b，c∈R，有依賴a，b，c于的整系數多項式f(x，y)，f(x，y)形如，其中f1(x，y)為一整系數多項式，其每一項關于x的次數2≥ ，關于y的次數≥K=K(a，b)， ，使得[f(a，b)，c]=0，則R為交換環(huán).

本文在這兩個文獻的基礎上，證明了如下兩個定理:

定理1:設R為一個半質環(huán)，若對?x1，x2，…，xn∈R，有依賴于x1，x2的整系數多項式p(t)使得)，則R為交換環(huán).

定理2:設R為一個kothe半單純環(huán)，若對?a，b，…，xn∈R，都有一正整數K=K(a，b)，一含有x2和n=n(a，b)(≥K)個y的字fx(x，y)及一整系數多項式 φx(x，y)使得

為了證明這兩個結論，我們先引進導子的概念:設R為一個中心為Z(R)的環(huán)，d是R到R的一個映射.若對任意x，y∈R，有

d(x+y)=d(x)+d(y)，

且d(xy)=d(x)y+xd(y)成立，則稱d是R上的一個導子.

對?x，y∈R，[x，y]表示換位子xy-yx，對a∈R，Ia表示由a決定的內導子，即

這里Ia(x+y)=[a，x+y]=[a，x]+[a，y]=Ia(x)+Ia(y)，

從而，內導子Ia必為導子.

引理1:設R為質環(huán)，若對?x，y∈R，有依賴于x，y的整系數多項式p(t)使得[x-x2p(x)，y]∈Z(R)，則R為交換環(huán).

證明:任意a，b∈R，有依賴于a，b的整系數多項式p(t)使得

則有

對c，ab有整系數多項式f(x)使得

從而

若[b，c]=0，則由文獻[3]知R為交換環(huán).否則由[b，c]∈Z(R)知(a-a2g(a))∈Z(R)，從而R為交換環(huán).

引理2:滿足引理1條件的J半單環(huán)R為交換環(huán).

證明:由J半單環(huán)同構于體上的階全陣環(huán)

令

結合工學結合的思想，我們從課堂教學理論與現(xiàn)實工作實際、現(xiàn)代教育技術的應用、上課方式(教學模式、教學方法)的改變三個方面做了分析。

矛盾.故n=1，R可嵌入體.由引理1知R為交換環(huán).

引理3:設R為一個質環(huán)，若對?x，y∈R，有[x，y]∈Z(R)，則R為交換環(huán).

證明:對任意x，y∈R，有[x，y]∈Z(R)，從而對xy，y有

由文獻[4]及[x，y]∈Z(R)知y∈Z(R)，故R為交換環(huán).

引理4:若對a∈R，有Ia∈Z(R)，則對?x，y∈R有[x，y]Ia(y)=0.

證明:由Ia∈Z(R)，對?x，y∈R有

故[x，y]Ia(y)=0.

引理5:設R為一個質環(huán)，Z(R)≠0，若對a∈R及任意y∈R，有[a，y]∈Z(R)，則a2≠0.

證明:任意y∈R，有[a，y]∈Z(R)，即Ia∈Z(R).從而對?x，y∈R有

由Ia∈Z(R)及質環(huán)的中心無零因子知[x，y]=0或Ia(y)=0.

若[x，y]=0，則R為交換環(huán)，a2≠0.

若Ia(y)=0，則a∈Z(R)，a2≠0.

引理6[5]:設R為一個質環(huán)，I是R的非零理想，若I是交換環(huán)，則R也是交換環(huán).

引理7:滿足引理1條件的半質環(huán)R為交換環(huán).

證明:半質環(huán)同構于質環(huán)的亞直和，我們設R為質環(huán)

對?x，y∈R有依賴于x，y的整系數多項式p(t)使得

由引理1知R為交換環(huán).

定理1的證明:n=1時，對?x∈R，有依賴于x的整系數多項式p(t)使得

由文獻[3]知R為交換環(huán).

n=2時，對?x1，x2∈R有依賴于x1，x2的整系數多項式p(t)使得

由引理6知R為交換環(huán).

設n=k時定理1成立，則n=k+1時

記為It，即It∈Z(R).

由It∈Z (R)及質環(huán)的中心無零因子知[x，y]=0或It(y)=0.

若[x，y]=0，則R為交換環(huán).若It(y)=0，則由歸納假設知R為交換環(huán).

定理2的證明:n=1時，由文獻[6]知定理成立;

引理6知R為交換環(huán).

設n=k時定理1成立，則n=k+1時

記為It，即It∈Z(R).

由It∈Z(R)及質環(huán)的中心無零因子知[x，y]=0或It(y)=0.

若[x，y]=0，則R為交換環(huán).若It(y)=0，則由歸納假設知R為交換環(huán).

推論:滿足下列任一條件的半質環(huán)R為交換環(huán):

1)若對任意x，y∈R，有依賴于x，y的整系數多項[x-x2p(x)，y]∈Z(R);

至此，定理1和定理2得證，但這里的整系數多項式p(t)，fx(x，y)及 φx(x，y)是不依x3，…，xn而變化的，否則It就會發(fā)生變化.我們試圖證明:當整系數多項式p(t)，fx(x，y)及 φx(x，y)依x1，x2，…，xn而變化時結果又將怎樣，例如，對?a，b，c∈R，有依a，b，c于的整系數多項式p(x)，使得[[a-a2p(a)，b]，c]∈Z(R)的環(huán)的交換性.

[1]HERSTEIN IN.Two remarks on the commutativity of rings[J].Canad.J.Math，1955，7:411-412.

[2]陳光海.環(huán)的交換性定理[J].數學的實踐與認識，2006，36(4):246-249.

[3]HERSTEIN IN.The Structure of A Certain Class of Rings[J].Amer.J.Math，1953，75:864-877.

[4]JACOBSON N.Structure of Rings[J].Amer.Math.Soc.Colloq.Publ，1964，37:217.

[5]戴躍進.半素環(huán)的一個交換性定理[J].福建師范大學學報，1995，11(2):21-25.

[6]戴躍進.某些環(huán)的交換性條件[J].數學雜志，1994，14(3):246-249.

[7]傅昶林，楊新松.任意環(huán)的兩個交換性定理[J].數學學報，2002，45(4):635-638.

[8]李 萍，杜君花.半質環(huán)的兩個交換性定理[J].哈爾濱商業(yè)大學學報:自然科學版，2009，25(1):114-116.