平面上有限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)和隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性

曹月波,倪科社

(石河子大學(xué)師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,石河子832003)

平面上有限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)和隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性

曹月波,倪科社

(石河子大學(xué)師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,石河子832003)

利用型函數(shù)及Newton多邊形討論了平面上有限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)和隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性和系數(shù)間的關(guān)系。通過引理得出:當(dāng)時(shí),Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性和系數(shù)間的重要關(guān)系,以及對(duì)于隨機(jī)變量序列滿足條件:存在α＞0,使得snu≥p0E(|Xn|α) ＜ ∞;存在β＞ 0,使得的隨機(jī) Dirichlet級(jí)數(shù) f(s,ω)和 Dirichlet級(jí)數(shù)有幾乎相同的關(guān)于型函數(shù)的增長(zhǎng)性。

Dirichlet級(jí)數(shù);增長(zhǎng)性;有限級(jí);型函數(shù);下級(jí)

ey words:Dirichlet Series;growth;finite-order;type-function;lower-order

這種級(jí)數(shù)是Dirichlet在研究數(shù)論時(shí)引進(jìn)的。特別地,當(dāng)λn=n,e-s=z時(shí),Dirichlet級(jí)數(shù)變成了 Taylor級(jí)數(shù),因此,Dirichlet級(jí)數(shù)可看做是 Taylor級(jí)數(shù)的推廣。對(duì)Dirichlet級(jí)數(shù)增長(zhǎng)性的研究具有重大的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性和它的指數(shù)及系數(shù)之間有著密切的聯(lián)系,在這方面國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家作了大量研究[1～13]。其中,余家榮等[1]引入了概率中的一些重要結(jié)論和不等式,研究了滿足一定條件的獨(dú)立同分布的隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的收斂性和增長(zhǎng)性;田宏根等[2,3]對(duì)平面上零級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性進(jìn)行了研究;劉名生[4]對(duì)半平面上有限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)的正規(guī)增長(zhǎng)進(jìn)行了深入研究得到了重要結(jié)果;羅仕樂[5]對(duì)半平面上無限級(jí) Dirichlet級(jí)數(shù)與隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性進(jìn)行了研究;尚麗娜[6]對(duì)全平面上零級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性進(jìn)行了研究;而金其余等[7]對(duì)左半平面上的無限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)的上下級(jí)進(jìn)行了研究。

本文對(duì)平面上有限級(jí)的Dirichlet級(jí)數(shù)及隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)下級(jí)的情況進(jìn)行討論。

1 定義及引理

設(shè)Dirichlet級(jí)數(shù)

式(1)、(2)中{bn}為復(fù)數(shù)序列,σ和‘t為實(shí)變量。

級(jí)數(shù)(1)在全平面上是收斂與絕對(duì)收斂的,由它表示的函數(shù) f(s)為一整函數(shù)。令稱為級(jí)數(shù)(1)的級(jí),稱為級(jí)數(shù)(1)的下級(jí) ,稱υ(σ)為f(s)的最大項(xiàng)指標(biāo)。

當(dāng)級(jí)數(shù)(1)滿足式(2)時(shí),在oxy直角坐標(biāo)平面上作點(diǎn)列,任取σ＞0,過點(diǎn)An作斜率為σ的直線與y軸的交點(diǎn)為y=-λnσ-ln|bn|,即取定σ＞ 0,L(σ)與 y 軸的交點(diǎn)越低,對(duì)應(yīng)項(xiàng)的對(duì)數(shù)值就越大。因此,過最大項(xiàng)指標(biāo)υ決定的點(diǎn)斜率為的直線的下方不會(huì)有{An}中的點(diǎn)。

記W(f)={最大項(xiàng)指標(biāo)集合},H(f)={最大項(xiàng)指標(biāo)決定的點(diǎn)集}。連接 H(f)中的點(diǎn),得到一個(gè)以最大項(xiàng)指標(biāo)決定的點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸多邊形Y(f),稱其為牛頓多邊形。?σ＞0,斜率為σ的直線L(σ)與Y(f)相切,即 L(σ)在 Y(f)的下方 ,且與 Y(f)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),所過點(diǎn)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)必是最大項(xiàng)。L(σ)與Y(f)的一條邊重合時(shí),L(σ)上至少有{An}中的兩個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)σ的最大項(xiàng),但只有頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的指標(biāo)λn且n最大時(shí)才為最大項(xiàng)指標(biāo)。

最大項(xiàng)指標(biāo)是單調(diào)上升左連續(xù)的階梯函數(shù),記υ(σ)的間斷點(diǎn)為它滿足＞ 0,k=1,2,…,稱{λNk}為最大項(xiàng)指標(biāo)序列,且對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是 Y(f)的頂點(diǎn)。

本文中C表示常數(shù),且先后出現(xiàn)表示不同的意義,不再一一說明。在以上規(guī)定下,本文得到以下關(guān)于平面上有限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)的重要結(jié)果。

2017年12月，廣東發(fā)改委就曾開展港珠澳大橋車輛通行收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)聽證會(huì)，對(duì)比當(dāng)時(shí)的兩個(gè)聽證方案，最終正式公布的收費(fèi)方案主要是降低了穿梭巴士的通行費(fèi)，由原來的450元/車次降至300元/車次，這也大大降低了來往游客的消費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)。

引理1[1]在前述最大項(xiàng)指標(biāo)及牛頓多邊形的規(guī)定下,存在正整數(shù) M,使當(dāng) k＞M時(shí),有:

引理2[1]在條件(2)及前述最大項(xiàng)與最大項(xiàng)指標(biāo)的規(guī)定下,有:

引理3[2]設(shè)Dirichlet級(jí)數(shù)(1)滿足條件(2),則對(duì)有

引理4[3]設(shè)Dirichlet級(jí)數(shù)的級(jí)ρ為有限正數(shù) ,引進(jìn)函數(shù) U(σ)=rρ(σ),其中ρ(σ)在σ≥σ0上非負(fù)、連續(xù)、單調(diào),且滿足=0;③對(duì)于任意正數(shù)

引理5設(shè)U(σ)是型函數(shù),若Dirichlet級(jí)數(shù)滿足(2),則

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)U(σ)是型函數(shù),若Dirichlet級(jí)數(shù)滿足條件(2)

而由型函數(shù)的性質(zhì)知:對(duì)任意的ε＞0,當(dāng)σ足夠大時(shí)有:

對(duì)充分大的σ＞ 0,存在 k使得σ ∈[σk-1,σk),此時(shí)υ(σ)=λNk-1,故有

而由引理1知,存在正整數(shù) M,使當(dāng) k＞ M時(shí),有:

上述證明結(jié)合引理5可知本定理結(jié)論成立。

設(shè)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)

記 f(s,ω)的最大模和最大項(xiàng)分別為

引理6若{Xn(ω)}是概率空間中獨(dú)立復(fù)隨機(jī)變量列,且滿足式(4),則對(duì)存在 N(ω) ∈N,當(dāng) n ＞ N(ω)時(shí),有

定理2設(shè)U(σ)是Dirichlet級(jí)數(shù)的型函數(shù),隨機(jī)變量序列{Xn(ω)}滿足引理6的條件。若隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)滿足條件(2),則下式成立:

由引理6知,當(dāng) n充分大時(shí),有

由以上討論可知本定理2成立。

3 小結(jié)

研究有限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)和隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)關(guān)于型函數(shù)的下級(jí)是研究Dirichlet級(jí)數(shù)的一個(gè)重要方面。本文利用型函數(shù)及Newton多邊形,對(duì)平面上有限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性進(jìn)行了研究,并得出了當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性和系數(shù)及指數(shù)間的重要關(guān)系,得出了在 Xn滿足一定條件下兩類級(jí)數(shù)有幾乎相同的關(guān)系型函數(shù)的增長(zhǎng)性。

[1]田宏根,孫道椿,鄭承民.平面上零級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2006,26(3):270-276.

[2]余家榮,丁曉慶,田范基.Dirichlet級(jí)數(shù)與隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的值分布[M].武漢大學(xué)出版社,2004:39-41.

[3]劉名生.半平面上有限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)的正規(guī)增長(zhǎng)[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2002,22(2):229-238.

[4]羅仕樂,孫道椿.半平面上無限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)與隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào):A輯,2009,29(2):475-485.

[5]尚麗娜.全平面上零級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2007,37(18):151-154.

[6]Tian Hong-gen,Sun Dao-chun.The Growth of the Zero Dirichlet Series in Right Half Plane[M].Chin.Quart J of Math,2007,22(4):512-517.

[7]金其余,鄧冠鐵,郭曉晶.左半平面上的無限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)的上下級(jí)[J].北京師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,44(4):354-359.

[8]丁曉慶,劉軍霞,孫華杰.整Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性[J].西安工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2007,27(6):588-590.

[9]曹月波,田宏根.雙隨機(jī) Taylor級(jí)數(shù)的收斂性和增長(zhǎng)性[J].濟(jì)南大學(xué)學(xué)報(bào),2008,22(2):203-205.

[10]HUO Ying Ying,SUN Dao Chun.The Growth of Random DirichletSeries[J].Journal ofMathematical Research&Exposition,2008,28(4):1027-1030.

[11]Sun Daochun,Yu Jiarong.On the Distribution of Values of Random Dirichlet Serie(II)[J].Chin Ann of Math:series B,1990,11(1):28-41.

[12]陳聚峰,劉名生.有限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)及隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào):A輯,2005,25(7):965-973.

[13]楊祺.零級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)和隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性[J].石河子大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,26(2):261-264.

The Growth of Finite-order Dirichlet Series and Random Dirichlet Series on the Plane

CAO Yuebo,NI Keshe
(Department of Mathematics,Teachers College,Shihezi University,Shihezi 832003,China)

O174.52 < class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

A

The relations between the cofficient and the growth of the finite-order Dirichlet series and random Dirichlet series on the plane are studied in the use of Newton polygon.It gains some lemmas and relations bettween the cofficient and the growth of the finite-order Dirichlet series whenr=eσ(σ→+ ∞),and further proves that the growth of random Dirichletis almost surely equal to the growth of Dirichlet serieswhen the random variable sequencesatisfies the condition: ?α＞0 andβ＞0,making snu≥p0and snu≥p0K

2009-12-11

曹月波(1980-),男,講師,從事復(fù)分析研究;e-mail:caoyuebo?tea@shzu.edu.cn。