擴(kuò)散方程的一種跳點(diǎn)格式

馬菊香

(石河子大學(xué)師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,石河子832003)

擴(kuò)散方程的一種跳點(diǎn)格式

馬菊香

(石河子大學(xué)師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,石河子832003)

通過(guò)求解泥沙擴(kuò)散方程研究泥沙沿水深的分布和含沙量分布沿程的變化規(guī)律,構(gòu)造了一種新的差分格式——跳點(diǎn)格式,并對(duì)其理論性質(zhì)作了分析驗(yàn)證,結(jié)果表明:這種格式計(jì)算簡(jiǎn)便,算法簡(jiǎn)單,穩(wěn)定性好、精度較高,體現(xiàn)了這種格式的實(shí)用性和優(yōu)越性。

擴(kuò)散方程;差分格式;穩(wěn)定性

1 泥沙擴(kuò)散方程的新的差分格式及算法

1.1 差分格式的構(gòu)造

泥沙擴(kuò)散方程經(jīng)過(guò)一定程度的簡(jiǎn)化和變形,可以化為如下的微分方程[1]:

偏微分方程(1)是一個(gè)二維變系數(shù)的拋物型方程,對(duì)于多維方程,顯格式穩(wěn)定性要求很高,隱格式雖然穩(wěn)定性較好,但要解大型的代數(shù)方程組,并且這些方程組又不是三角形方程組,工作量也非常大。為了克服上面2種格式的不足,筆者建立了一種實(shí)用的跳點(diǎn)格式。

為了對(duì)擴(kuò)散方程(1)建立差分格式,先引入差分算子[2-3]:

對(duì)方程(1)先構(gòu)造顯式差分格式,有:

則上式顯格式可以化簡(jiǎn)為:

相應(yīng)地,其隱格式為:

對(duì)顯、隱格式(2)、(3)引入一個(gè)奇偶函數(shù)[4]

可以對(duì)(1)建立跳點(diǎn)格式[5-6]為:

1.3.1 相容性分析

對(duì)式(11)進(jìn)行 Taylor展開,可得到

由上式可知:在相鄰的時(shí)間層上,對(duì)固定的空間點(diǎn)(xj,yt)上的算法是改變的。下面給出相鄰時(shí)間層上的計(jì)算公式:

由此可看出,相容性就要求當(dāng)τ→0,h→0時(shí),τ/h→0,即差分方程與微分方程相容的充分必要條件是:τ→0的速度比 h→0的速度快,使τ/h→0,反之,若τ/h不趨向0,那么差分方程就不與擴(kuò)散方程相容了,所以跳點(diǎn)格式是條件相容的。

1.3.2 穩(wěn)定性分析

由于式(10)是一個(gè)三層格式,因此首先把它化成與其等價(jià)的二層差分方程組:

1.2 跳點(diǎn)格式的算法

設(shè)在第 n層上,Snj,l已知,求 n+1層上的 Sn+1j,l值有以下三步:

第3步:在上面的基礎(chǔ)之上,代入式(6)即可求出n+2時(shí)間層上的值。

由上可見,這種跳點(diǎn)法非常節(jié)省工作量。

1.3 相容性和穩(wěn)定性的理論分析

跳點(diǎn)格式

當(dāng)利用式(8)算出奇數(shù)網(wǎng)格點(diǎn)上的Sn+1j,l時(shí),n+2+j+l必為偶數(shù),此時(shí)利用式(7)可以得到

式(8)與(7)相減得到:

式(10)中,n+2+j+l為偶數(shù)。

從式(10)與(8)中消去 Sn+1j,l可以得到:

下面給出增長(zhǎng)矩陣 G的特征值估計(jì),為此引入一個(gè)引理,即

Miller定理[8]:若 G的特征方程為Aλ2+Bλ+C=0,則 G的特征值λ滿足

由于,τ≤≤h,且參數(shù) u,ω的取值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1,所以在上面的情況下,在差分格式相容的條件下,對(duì)于任意的τ和h,此式是絕對(duì)成立的。

定理:跳點(diǎn)格式是一個(gè)條件相容、絕對(duì)穩(wěn)定的差分格式。B=-λ,C=-k,根據(jù)上面的定理,下面驗(yàn)證(10)的穩(wěn)定性。經(jīng)計(jì)算的一般規(guī)律:水面濃度相對(duì)較小,近底濃度相對(duì)較大,含沙量沿程衰減的特性較為明顯。在距進(jìn)口300 m處,泥沙的分布調(diào)整到一種不平衡輸沙狀態(tài),隨著泥沙的沿程淤積,水流輸沙向平衡方向發(fā)展,垂線平均含沙量趨于水流挾沙力,而含沙量沿垂線分布向平衡時(shí)的分布狀態(tài)發(fā)展。計(jì)算結(jié)果表明,本文提出的計(jì)算方法是合理可行的。

2 實(shí)例及分析

圖1 數(shù)值模擬結(jié)果Fig.1 figure of numerical result

其中參數(shù)的確定參見文獻(xiàn)[1]。

用跳點(diǎn)格式對(duì)上面的例子進(jìn)行模擬,主要數(shù)據(jù)為:水深 h=1.53 m,平均流速 u=0.12 m/s,泥沙沉速ω=0.0176 cm/s,懸浮指標(biāo)z=0.01,計(jì)算時(shí)取卡門常數(shù) k=0.4,a=0.05h。

圖1是用跳點(diǎn)格式的數(shù)值模擬結(jié)果,其中 y表示相對(duì)水深,S表示沿水深含沙量的變化規(guī)律,曲線旁的數(shù)字表示斷面距進(jìn)口的距離。

由圖1可見,計(jì)算結(jié)果符合含沙量沿垂線分布

圖2是用Douglas差分格式和交替方向隱格式模擬出的曲線變化。

由圖2可知,本文的跳點(diǎn)格式比Douglas差分格式計(jì)算精度高,更加符合泥沙沿程變化規(guī)律,且光滑性較好;而與交替方向隱格式比較,后者需要求解大型的代數(shù)方程組。

本文構(gòu)造的跳點(diǎn)格式實(shí)質(zhì)上是一個(gè)顯式算法,簡(jiǎn)單易算,其計(jì)算量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于交替方向隱格式,并且模擬效果很好。

圖2 不同格式模擬出的泥沙沿程變化Fig.2 Changes along the river simulated by different patterns

3 結(jié)論

本文在顯、隱格式的基礎(chǔ)上加入了一個(gè)0-1函數(shù),把節(jié)點(diǎn)分為奇、偶兩組點(diǎn)分別計(jì)算,構(gòu)造了它的跳點(diǎn)格式。經(jīng)過(guò)理論分析和實(shí)例驗(yàn)證,跳點(diǎn)格式在計(jì)算上比交替方向隱格式要簡(jiǎn)單易算,在精度上要比Douglas差分格式[9]高,是一個(gè)實(shí)用有效的計(jì)算格式。

[1]馬菊香,阿不都熱西提.阿不都外力.剖面二維非恒定懸移質(zhì)泥沙擴(kuò)散方程的數(shù)值方法[J].新疆大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,24(2):171-174.

[2]馬菊香.泥沙擴(kuò)散方程的Douglas差分格式[J].通化師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008,29(10):7-8.

[3]張杰,李永紅.平面二維河床沖淤計(jì)算有限體積法[J].長(zhǎng)江科學(xué)院院報(bào),2002,19(5):17-20.

[4]陳煥幀.平面二維水沙模型的特征有限元數(shù)值模擬[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2007,29(3):245-256.

[5]梁國(guó)亭,高懿堂,等.非恒定流泥沙數(shù)學(xué)模型原理及其應(yīng)用[J].泥沙研究,1999(4):44-48.

[6]韓其為,胡春宏.50年來(lái)泥沙研究所主要研究進(jìn)展[J].中國(guó)水利水電科學(xué)研究院學(xué)報(bào),2008,6(3):170-182.

[7]陸金甫,關(guān)治.偏微分方程數(shù)值解法[M].北京:清華大學(xué)出版社,1987.

[8]崔俠.剖面二維數(shù)學(xué)模型的研究[D].武漢:武漢水利電力學(xué)院,1988.

[9]胡健偉,湯懷民.微分方程數(shù)值方法[M].北京:科學(xué)出版社,1999.

A Jumped Node Different Format of Diffusion Equation

MA Juxiang
(Department of Mathematics,Teachers College,Shihezi University,Shihezi,832003,China)

In this paper,through solving sediment diffusion equation to study the distribution of sediment concentration along with depth,creating a new difference format—a jumped node different format.The theory of its nature and analyzed validation:This method is simple and convenient,highly accurate and stable.This format embodies practicability and superiority.

diffusion equation;different format;stability

O241.82 < class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

A

2009-07-26

馬菊香(1979-),女,講師,從事偏微分方程數(shù)值解研究;e-mail:majuxiang@shzu.edu.cn。