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    具有種群擴(kuò)散的包蟲病傳播模型的研究

    2018-01-29 02:23:51劉俊利劉璐菊馮進(jìn)鈐
    關(guān)鍵詞:染病包蟲病行波

    劉俊利, 劉璐菊, 馮進(jìn)鈐

    (1. 西安工程大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安 710048; 2. 河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 洛陽 471023)

    0 引 言

    包蟲病也叫棘球蚴病, 是一種人獸共患寄生蟲病, 如狗、 豬、 牛等家禽都可能被感染, 嚴(yán)重危害著人民的身體健康和生命安全, 是影響社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重大傳染病之一. 我國包蟲病發(fā)病率最高的地區(qū)主要集中在西北部的牧業(yè)、 半農(nóng)牧地區(qū), 包括新疆、 甘肅、 寧夏、 內(nèi)蒙古、 青海、 西藏、 四川[1-4]. 每年包蟲病手術(shù)率超過1%, 高危人群高達(dá)5 000萬人, 受包蟲病威脅的家畜數(shù)量上億, 其中犬類至少達(dá)500萬只, 而羊的感染率高于50%[5,6]. 包蟲病在世界很多國家都存在, 如意大利、 澳大利亞、 伊朗等, 威脅著人類的健康, 為社會(huì)造成了一定經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)[7-9].

    包蟲病的傳播需要中間宿主(羊、 牛、 豬、 馬、 駱駝、 多種野生動(dòng)物和人)和終末宿主(犬、 狼、 狐貍等肉食動(dòng)物). 感染來源一般為患病或帶蟲犬等肉食動(dòng)物.易感動(dòng)物常因食入被犬糞便污染的飼草或飲水而感染; 將廢棄的患病臟器喂犬, 可造成犬與羊等動(dòng)物之間循環(huán)感染,人接觸包蟲卵也可被感染[10].

    目前, 對(duì)包蟲病的研究文獻(xiàn)大多是醫(yī)學(xué)方面的, 從數(shù)學(xué)建模方向研究包蟲病的文獻(xiàn)較少. 文獻(xiàn)[11] 建立了包蟲病在人畜之間傳播的數(shù)學(xué)模型, 分析了影響疾病傳播和控制的關(guān)鍵因素. 文獻(xiàn)[12]研究了一類具有飽和發(fā)生率的包蟲病模型, 討論了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性, 對(duì)疾病給出一些控制策略. 文獻(xiàn)[13]提出了一個(gè)確定性常微分方程傳染病模型, 研究了新疆地區(qū)包蟲病的傳播. 文獻(xiàn)[14]建立了一個(gè)具有兩個(gè)斑塊的常微分方程模型, 研究了狗在兩斑塊間的擴(kuò)散對(duì)包蟲病傳播的影響. 文獻(xiàn)[15]研究了包蟲病在紅狐貍中的傳播. 文獻(xiàn)[16] 表明如果對(duì)帶狂犬病病毒的犬類不進(jìn)行控制, 將會(huì)對(duì)包蟲病非流行區(qū)帶來危害. 帶病的狗是包蟲病非流行地區(qū)的一個(gè)主要危害, 因此研究狗的擴(kuò)散對(duì)包蟲病的影響非常重要.不同于文獻(xiàn)[14], 本文考慮某區(qū)域內(nèi)狗的擴(kuò)散, 建立偏微分方程模型. 由文獻(xiàn)[13]知, 人的加入并不影響模型的動(dòng)力學(xué)行為, 人是最終中間宿主, 人感染包蟲病之后, 不會(huì)再傳染給其他人或動(dòng)物, 因此該模型只考慮狗和家禽兩個(gè)種群, 而不考慮人的因素. 利用線性化方法, 參考文獻(xiàn)[17], 研究了連接無病平衡點(diǎn)與地方病平衡點(diǎn)的最小波速問題, 證明了地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性.

    1 模型的建立

    把狗和家禽兩個(gè)種群均分成兩個(gè)倉室: 易感者類和染病者類.SD(x,t)和ID(x,t)分別表示點(diǎn)x處,t時(shí)刻狗的易感者和染病者數(shù)量.SL(x,t)和IL(x,t)分別表示點(diǎn)x處, 時(shí)刻t時(shí)家禽的易感者和染病者數(shù)量, 并假設(shè)包蟲卵的數(shù)量與染病狗的數(shù)量成正比. 假設(shè)A1,A2分別為新生狗和家禽的數(shù)量,β1為染病家禽對(duì)易感狗的傳染率,β2為染病狗對(duì)易感家禽的傳染率,m1,m2分別為狗和家禽的自然死亡率,σ為染病狗的恢復(fù)率,α1,α2分別為易感狗和染病狗的擴(kuò)散率. 建立包蟲病傳播模型

    (1)

    其中,t>0,x∈Ω. 具有Neumann 邊界條件

    t>0,x∈?Ω.(2)

    如果模型(1)存在行波解, 則其形式為

    (SD(x,t),ID(x,t),SL(x,t),IL(x,t))=

    (SD(z),ID(z),SL(z),IL(z)),

    z=x-ct.

    故模型(1)滿足方程組(3)

    (3)

    (4)

    2 最小波速

    研究連接E0與E*的最小波速問題, 假設(shè)R0>1, 則式(4)的解應(yīng)滿足邊界條件

    與同時(shí)代人相比,何晏留存到今天的文字并不算少,除了這封奏章,他還寫過一篇《景福宮賦》,同樣是四平八穩(wěn),文筆辭藻樣樣都到位,只不過讀起來跟炒菜沒放鹽似的,總感覺缺點(diǎn)什么。

    特征方程為

    Q(λ)P(λ)=0,(5)

    (6)

    3 穩(wěn)定性分析

    研究地方病平衡點(diǎn)E*的穩(wěn)定性, 首先做變換, 令

    并設(shè)

    S1(x,t)=s1eαt+in x,I1(x,t)=i1eαt+in x,

    S2(x,t)=s2eαt+in x,I2(x,t)=i2eαt+in x,(7)

    式中:s1,i1,s2,i2為常數(shù); ein x為有界周期函數(shù);n為波數(shù).α的實(shí)部Reα的符號(hào)決定平衡點(diǎn)E*的穩(wěn)定性. 如果Reα<0, 則E*是穩(wěn)定的, 如果Reα>0, 則E*不穩(wěn)定. 把式(7)代入式(1)中得

    (α+m2)(α3+b1α2+b2α+b3)=0,(8)

    其中

    顯然式(8)有一負(fù)根α=-d, 且bi>0(i=1,3). 記

    由Routh-Hurwitz 判據(jù)知式(8)的所有根均具有負(fù)實(shí)部, 即地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定.

    4 數(shù)值模擬

    通過數(shù)值擬合來研究參數(shù)對(duì)包蟲病傳播及最小波速的影響.選取參數(shù)β1=5.8×10-8,β2=6.89×10-8,α1=0.005,α2=0.01,A1=2×105,A2=1.05×108,m1=0.08,m2=0.33,σ=2. 計(jì)算得最小波速為c*=0.108 7 km·year-1. 行波解見圖 1.

    圖 1 ID(x,t)的行波圖Fig.1 The traveling wave of ID(x,t)

    圖 2 顯示了參數(shù)A1,σ,α1,α2對(duì)包蟲病傳播速度的影響. 由圖 2 可以看出A1和σ的影響比α1和α2的要大.α1與α2僅影響行波的傳播速度, 而A1和σ不僅影響行波的傳播速度, 還影響行波的級(jí)數(shù). 圖 2 表明限制狗的擴(kuò)散能減小包蟲病的擴(kuò)散速度, 但是不能消滅包蟲病.

    圖 2 不同參數(shù)對(duì)ID(x,t)的影響Fig.2 The influence of different parameter values on ID(x,t)

    圖 3 顯示α2比σ,A1,A2對(duì)最小波速c*的影響大, 即染病狗的擴(kuò)散率是影響包蟲病傳播的最重要因素, 因此限制狗的活動(dòng)對(duì)控制包蟲病至關(guān)重要.σ對(duì)c*的影響僅次于α2, 隨著σ的連續(xù)增加,c*不斷減少. 通過增加對(duì)狗打驅(qū)蟲劑的頻率, 可以減少c*的值, 從而減小包蟲病的擴(kuò)散速度. 降低狗的出生率A1也有利于控制疾病傳播.

    圖 3 不同參數(shù)對(duì)最小波速c*的影響Fig.3 The influence of different parameter values on the minimum wave speed c*

    5 結(jié) 論

    本文研究了狗的擴(kuò)散對(duì)包蟲病傳播的影響, 建立了反應(yīng)擴(kuò)散模型. 給出了行波解的最小波速和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性, 并對(duì)參數(shù)做了敏感性分析. 數(shù)值模擬表明控制染病狗的擴(kuò)散, 增加對(duì)狗打驅(qū)蟲劑的頻率, 降低狗的出生率都對(duì)控制包蟲病有利, 所得結(jié)論與文獻(xiàn)一致.

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