RN上一類p-Kirchhoff型方程正解的存在性

惠艷梅， 劉進(jìn)生

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

本文研究p-Kirchhoff型方程

(1)

正解的存在性. 其中常數(shù)a,b>0, 1

由于Kirchhoff型方程的重要性, 近年來(lái), 很多學(xué)者研究了如式(2)的Kirchhoff型問題

(2)

非平凡解的存在性[1-5]. 最近, 文獻(xiàn)[6]又研究了非線性項(xiàng)f具有臨界增長(zhǎng)的Kirchhoff型問題

(3)

正解的存在性.本文主要將問題(3)中p=2的情形推廣到任意p的情況,并且對(duì)空間維數(shù)N沒有限制.

f1)f∈C(R,R ) 是奇函數(shù)；

f4) ?D>0,q∈(p2,p*)使得當(dāng)s>0時(shí),f(s)+msp-1≥sp*-1+Dsq-1；

本文主要結(jié)論為

定理[8]假設(shè)p2

1)p2

1 基本引理

對(duì)任意的1≤s≤+∞, |·|s表示通常的Lebesgue 空間Ls(RN)上的范數(shù). 對(duì)固定的常數(shù)a,m>0, 在W1,p(RN)中引入等價(jià)范數(shù), 即u∈W1,p(RN)時(shí)定義

可以證明問題(1)所對(duì)應(yīng)的能量泛函是

引理1[8]設(shè)E是實(shí)Banach空間,I∈C1(E,R), 滿足條件

1)I(0)=0, 并且存在ρ>0， 使得I|?Bρ(0)≥α>0；

令

Γ={γ∈C([0,1],E)|γ(0)=0,γ(1)=e},

記

那么c≥α， 并且I關(guān)于c存在臨界序列. 若I還滿足(PS)c條件, 則c是I的臨界值.

RN)=

{u∈W1,p(RN)∶u(x)=u(|x|)}.

進(jìn)而由對(duì)稱臨界原理知道, 我們只需證明由式(4)定義的泛函I在E中存在正臨界點(diǎn)即可.

引理2 當(dāng)p2

證明I(0)=0顯然成立. 記g(s)=f(s)+m|s|p-2s, 由條件f1)～f3)可知, 對(duì)任意的ε>0, 存在Cε>0使得

|g(s)|≤ε|s|p-1+Cε|s|p*-1.(5)

注意到p0,α>0, 使得I|?Bρ(0)≥α>0. 當(dāng)t>0時(shí), 由f4)有

根據(jù)引理1及引理2, 我們知道由式(4)定義的泛函I在E中存在(PS)c序列{un}. 為了證明{un}在E中滿足(PS)c條件, 我們需要給出c的一個(gè)上界并證明{un}在E中是有界的.

記空間D1,p(RN)={u∈Lp*(RN)∶u∈Lp(RN)}, Sobolev最佳嵌入常數(shù)

注意到p2

(6)

有唯一的正實(shí)根, 記為μ. 定義

(7)

由式(6)得

引理3 若定理1的假設(shè)條件成立, 則c

證明對(duì)任意的ε,r>0, 取Uε(x)=φ(x)U(x,ε), 其中

直接計(jì)算得

且當(dāng)p2≥N時(shí), 有

(9)

當(dāng)p2

t∈[p,p*).(10)

將t分段進(jìn)行討論：

3) 當(dāng)t′

定義

t≥ 0，

則有

y′(t)=

由此容易證明y(t)存在唯一的最大值點(diǎn)tε>0, 并且y′(tε)=0. 令

F(t,Aε,Bε,Cε)=Aεtp+Bεtp2-Cεtp*.

又

結(jié)合式(8)， 可知當(dāng)ε→0時(shí), 有

所以由式(6)可知

F(μ,A0,B0,C0)=0,

而

(p2-p*)bSNμp2-p<0.

由隱函數(shù)定理可知, 在點(diǎn)(μ,A0,B0,C0)附近方程F(tε,Aε,Bε,Cε)=0可以確定隱函數(shù)

tε=g(Aε,Bε,Cε),

從而由隱函數(shù)的連續(xù)性知當(dāng)ε→0時(shí),tε→μ, 將其在點(diǎn)(A0,B0,C0)處Taylor展開得到

tε=g(A0,B0,C0)+

其中

由式(8)～式(10)知

tε=μ+O(εα),

其中

(11)

于是， 將函數(shù)y(t)中的每一項(xiàng)都在t=μ點(diǎn)Taylor展開, 計(jì)算得到

y(tε)=c*+O(εα),

而當(dāng)t′0使得

綜合(1), (2), (3)可知在定理1的假設(shè)條件下c

引理4 當(dāng)p2

證明一方面, 當(dāng)n→∞時(shí),I(un)→c,I′(un)→0, 則

(12)

式中：εn→0(n→∞).

另一方面， 有

注意到p>1, 故由式(12)與式(13)知{un}是有界的.

2 主要結(jié)論的證明

定理的證明我們只需證明由式(4)定義的泛函I滿足(PS)c條件即可. 假設(shè){un}?E, 滿足I(un)→c,I′(un)→0. 由引理4知{un}是有界的, 于是對(duì){un}的某個(gè)子列仍記為{un}, 存在u∈E, 使得

(14)

由集中緊性原理[9], 結(jié)合空間E的特性知對(duì)于{un}, 存在η0,v0≥0使得在測(cè)度意義下有

|un|p?dη≥|u|p+η0δ0,(15)

|un|p*?dv=|u|p*+v0δ0,(16)

(17)

從而η0,v0>0, 再結(jié)合收斂性結(jié)論(14)和條件f5), 計(jì)算得到

對(duì)于函數(shù)

結(jié)合式(18)得到c≥c*這與引理3的結(jié)論矛盾, 故η0=v0=0. 而由文獻(xiàn)[10]可知

其中

仍然利用方程(6), 結(jié)合c

結(jié)合Fatou引理, 可得

得

記h(u)=g(s)-|u|p*-2u. 由I′(un)→0, {un}的有界性以及式(14)可得

o(1)=〈I′(un)-I′(u),un-u〉=

由H?lder不等式、 {un}的有界性、 式(21)以及文獻(xiàn)[12]中的引理2可得

(23)

因?yàn)閡n?u, 且{un}有界, 又得

由文獻(xiàn)[11]知存在正常數(shù)Cp, 使得對(duì)任意的ξ,η∈RN, 有

(|ξ|p-2ξ-|η|p-2η)(ξ-η)≥

由式(26)、 H?lder不等式及{un}的有界性知存在正常數(shù)C， 使得

且

(28)

則由式(22)～(28)可知

所以

因此‖un-u‖→0, 結(jié)合un?u, 可得un→u.

按照上面的計(jì)算, 用I+(u)代替I(u), 有

由f1)知,h是奇函數(shù), 且當(dāng)t>0時(shí),h(t)>0, 則式(30)變?yōu)?/p>

[1] He Xiaoming, Zou Wenming. Existence and concentration behavior of positive solutions for a Kirchhoff equation in R3[J]. Journal of Differential Equations, 2012, 252(2): 1813-1834.

[2] Cheng Bitao. New existence and multiplicity of nontrivial solutions for nonlocal elliptic Kirchhoff type problems[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2012(394): 488-495.

[3] Cheng Bitao, Wu Xian. Existence results of positive solutions of Kirchhoff type problems[J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 2009, 71: 4883-4892.

[4] Liu Zhisu, Guo Shangjiang. Existence of positive ground state solutions for Kirchhoff type problems[J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 2015, 120: 1-13.

[5] Wu Yue, Liu Shibo. Existence and multiplicity of solutions for asymptotically linear Schr?dinger-Kirchhoff equations[J]. Nonlinear Analysis Real World Applications, 2015, 26: 191-198.

[6] Liu Zhisu, Guo Shangjiang. On ground states for the Kirchhoff-type problem with a general critical nonlinearity[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2015(426): 267-287.

[7] Liu Jiu, Liao Jiafeng, Tang Chunlei. Positive solutions for Kirchhoff-type equations with critical exponent in RN[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2015(429): 1153-1172.

[8] Rabinowitz P H. Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations[M]. New York: American Mathematical Soc, 1986.

[9] Xuan Benjin. Variational Methods-Theory and Applications[M]. Hefei: University of Science and Technology of China Perss, 2006.

[10] Chabrowski J. Concentration-compactness principle at infinity and semilinear elliptic equations involving critical and subcritical Sobolev exponents[J], Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 1995(3): 493-512.

[11] Júlio F, Corrêa S A, Figueiredo G M. On an elliptic equation ofp-Kirchhoff type via variational methods[J]. Bulletin of the Australian Mathematical Society, 2006, 74(2): 263-277.

[12] Strauss W. Existence of solitary waves in higher dimensions[J]. Communications in Mathematical Physics, 1977(55): 149-162.