基于分目標(biāo)乘除法的雙目標(biāo)投資組合模型

鄧 雪，趙俊峰，李榮鈞

Markowitz[1]于1952年最早提出了關(guān)于投資組合的均值-方差模型，它是金融投資定量化研究的開(kāi)端，成為金融投資理論研究的主要論題和決策實(shí)踐的重要工具。在該模型中，用預(yù)期收益來(lái)衡量投資組合的收益，用預(yù)期收益的方差來(lái)衡量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。Sharpe[2]和Perold[3]研究了如何求解均值-方差模型，并提出了一些解決有效投資組合問(wèn)題的手段和算法。陳國(guó)華[4]等用區(qū)間數(shù)來(lái)描述證券的期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)損失率，建立區(qū)間數(shù)模糊證券投資組合模型，利用區(qū)間數(shù)知識(shí)把區(qū)間規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解。羅黨[5]等以灰色系統(tǒng)理論和概率論為基礎(chǔ)，探討了含有區(qū)間數(shù)的組合投資決策問(wèn)題，提出了具有交易費(fèi)用的灰色組合投資模型的有效解及其臨界最優(yōu)解和均值化最優(yōu)解的概念。而本文是在基于Markowitz投資組合的均值-方差理論下，構(gòu)建一個(gè)投資組合預(yù)期收益率在一定范圍的雙目標(biāo)混合投資組合摸型，同時(shí)采用分目標(biāo)乘除法來(lái)求解該模型。一實(shí)際算例表明：本文所構(gòu)建的模型和所采用的方法是有效的。

1 雙目標(biāo)投資組合模型

假設(shè)投資者選擇了n種可投資的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)進(jìn)行組合投資。為方便起見(jiàn)，記：

R=[r1r2…rn]T是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益向量；

V=(σij)n×n是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益的協(xié)方差陣；

x=[x1x2…xn]T是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例向量；

l=[1 1…1]T是分量全部為1的向量；

L,U分別表示投資比例向量的下限和上限．

這里，（T）表示矩陣的轉(zhuǎn)置，所有不帶有（T）的向量都是列向量，那么資產(chǎn)組合的期望收益是r(x)=RTx，風(fēng)險(xiǎn)是σ2(x)=xTVx。要求投資者的期望收益達(dá)到μ以上，那么可以構(gòu)建如下的雙目標(biāo)投資組合模型：

2 分目標(biāo)乘除法介紹[6]

2.1 分目標(biāo)乘除法基本思想

雙目標(biāo)混合最優(yōu)化模型如下：

其中，X為可行域．分目標(biāo)乘除法的主要特點(diǎn)是：將模型中的各分目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行相除處理后，在可行域上進(jìn)行求解。為了使模型（2）中的目標(biāo)函數(shù) f1(x)極小化，f2(x)極大化，可以考慮讓目標(biāo)函數(shù) f2(x)的倒數(shù)極小化。因此，求解模型（2）可以歸結(jié)為求解在可行域X上極小化乘除分目標(biāo)函數(shù)，即求解

的問(wèn)題。由上述數(shù)值極小化問(wèn)題所得的最優(yōu)解，顯然是使位于分子的目標(biāo)取盡可能小的值，并且使位于分母的目標(biāo)取盡可能大的值。

表1 參數(shù)μ的不同取值的最優(yōu)解

以上方法實(shí)際上是對(duì)模型（2）構(gòu)造了評(píng)價(jià)函數(shù)

圖1 投資組合模型（6）的有效邊界

為了使（4）是有意義的，一般要求各目標(biāo)函數(shù)在可行域X上均取正值。上述利用分目標(biāo)相除來(lái)求解模型（2）的方法叫做分目標(biāo)乘除法。

模型（1）中的兩個(gè)分目標(biāo)函數(shù)都是取正值的。分目標(biāo)乘除法運(yùn)用在模型（1）的求解上的經(jīng)濟(jì)意義為：?jiǎn)挝皇找嫠惺艿淖钚★L(fēng)險(xiǎn)。

2.2 分目標(biāo)乘除法計(jì)算步驟

Step1:分目標(biāo)乘除法．檢驗(yàn)各目標(biāo)函數(shù)在可行域X上是否取值為正。若大于零，則進(jìn)行step2；否則，選取某實(shí)數(shù)M＞0，使

并令 fi(x):=fi(x)+M(i=1,2)，進(jìn)行step2．Step2:極小化分目標(biāo)乘除問(wèn)題。求解模型（3）

的最優(yōu)解為x，則x即為模型（2）的有效解．

3 應(yīng)用研究

現(xiàn)考慮5種證券的投資組合問(wèn)題，其收益率的協(xié)方差矩陣為：

其中，

要求投資組合預(yù)期收益達(dá)到μ以上。那么應(yīng)用模型（1），得到如下的雙目標(biāo)規(guī)劃模型（5）。再根據(jù)分目標(biāo)乘除法來(lái)求解上述模型：

Step1:分目標(biāo)正值化：根據(jù)實(shí)際意義，分目標(biāo)函數(shù)在定義域上取值均大于零。

Step2:極小化分目標(biāo)乘除問(wèn)題。求解模型（6）．

對(duì)于參數(shù)μ的不同取值，可得不同的最優(yōu)解x（見(jiàn)表1）。根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，可得模型（6）的有效邊界（見(jiàn)圖1）。

4 結(jié)論

本文構(gòu)建了一個(gè)雙目標(biāo)投資組合模型，并采用分目標(biāo)乘除法求解該模型。最后給出一具體算例表明本文構(gòu)建的模型和所采用的算法是有效的，其經(jīng)濟(jì)意義為：?jiǎn)挝皇找嫦碌娘L(fēng)險(xiǎn)極小化。并且對(duì)于預(yù)期收益參數(shù)μ的不同值，有不同的最優(yōu)解。

表1的數(shù)據(jù)表明：

（1）當(dāng)μ≤0.10時(shí)，得到的最優(yōu)解和對(duì)應(yīng)的收益和風(fēng)險(xiǎn)值是不變的，即：

這個(gè)約束條件為冗余條件，對(duì)于求解沒(méi)有限定意義的。

（2）當(dāng)μ≥0.16時(shí)，在可行域范圍內(nèi)沒(méi)有可行解。

（3）當(dāng)μ在0.11和0.15之間取不同的值時(shí)，有不同的最2優(yōu)解。并且當(dāng)μ變大時(shí)，目標(biāo)函數(shù) ，風(fēng)險(xiǎn)σ，標(biāo)準(zhǔn)差σ，收益r都在變大，即都為μ的增函數(shù)。

（4）當(dāng)μ=0.13,0.14,0.15時(shí)，x1=0.0550和x5=0.1850都達(dá)到了投資比例的下限，而x4=0.2500達(dá)到了投資比例的上限。

（5）當(dāng)μ=0.11,0.12時(shí)，x2=0.3250達(dá)到了投資比例的上限，而x5=0.1850達(dá)到了投資比例的下限。

圖1表明模型（6）的有效邊界：隨著標(biāo)準(zhǔn)差σ的增加，收益r也在增加。并且圖1中的有效邊界類(lèi)似開(kāi)口向右的半根拋物曲線。

[1]Markowitz H.Portfolio Selection[J].Journal of Finance,1952,（7）.

[2]Sharpe W F.Capital Asset Process:a Theory of Marker Equilibrium Under Condition of Risk[J].Journal of Finance,1964,（19）.

[3]Perold A F.Large-scale Portfolio Optimization[J].Management Science,1984,（30）.

[4]陳國(guó)華,陳收,汪壽陽(yáng).區(qū)間數(shù)模糊投資組合模型[J].系統(tǒng)工程,2007,25(8).

[5]羅黨,陳東升.一類(lèi)灰色組合投資決策方法[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2005,35(5).

[6]胡毓達(dá).實(shí)用多目標(biāo)最優(yōu)化[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1990.