素環(huán)上的導(dǎo)子的性質(zhì)

吳毅清, 熊艷清

(1.懷化學(xué)院數(shù)學(xué)系,湖南懷化 418008; 2.湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,湖南長(zhǎng)沙 410081)

素環(huán)上的導(dǎo)子的性質(zhì)

吳毅清1, 熊艷清2

(1.懷化學(xué)院數(shù)學(xué)系,湖南懷化 418008; 2.湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,湖南長(zhǎng)沙 410081)

討論素環(huán)李理想上的導(dǎo)子的性質(zhì).設(shè)R是特征不為2的素環(huán),U為R的滿足對(duì)任意u∈U,u2∈U的Lie理想1如果R中存在非零導(dǎo)子d使d(u2)ΑZ或[d(u),u2]ΑZ,對(duì)任意u∈U,則UΑZ1

素環(huán); 李理想; 導(dǎo)子

1 引 言

隨著科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展,環(huán)理論進(jìn)展越來越精確和完善,并且環(huán)的初步結(jié)果已要實(shí)踐中得到應(yīng)用1交換性是環(huán)的重要性質(zhì)之一,交換環(huán)的研究有助于其它性質(zhì)的探討和研究,同時(shí)交換代數(shù)本質(zhì)上是研究交換環(huán)的,這就使得有關(guān)環(huán)的交換性的研究變得很重要1素環(huán)是一類應(yīng)用很廣泛的環(huán),像我們常見的單環(huán)、整環(huán)、本質(zhì)環(huán)等都是素環(huán),因此素環(huán)交換性的研究成為其中極其重要的一個(gè)研究課題1

本文中的R始終表示中心為Z(R)的結(jié)合環(huán), [x,y]表示交換子xy-yx,x·y=xy+yx.給定R的兩個(gè)子集U,V,則[U,V]表示所有形如uv-vu的元素生成的加法子群,其中任意的u∈U,v∈V1則有下列重要等式:[x,yz]=y[x,z]+[x,y]z,[xy, z]=x[y,z]+[x,z]y,x·(yz)=(x·y)z-y[x, z]=y(x·z)+[x,y]z和(xy)·z=x(y·z)-[x, z]y=(x·z)y+x[y,z]1

如果由aRb=(0)可以推出a=0或b=0,那么稱R為素環(huán)1

稱R到R的映射d為R上的一個(gè)導(dǎo)子,如果對(duì)任意x,y∈R,有d(x+y)=d(x)+d(y),且d(xy) =d(x)y+xd(y)1

R的加法子群U稱為R的理想,如果[u,x]∈U,對(duì)任意的u∈U,x∈R1特別,若對(duì)所有u∈U,有u2∈U,則稱U是平方封閉的;定義R的非空子集A的中心化子為

顯然CR(A)是R的一個(gè)子環(huán).

R的加法子群U如果滿足對(duì)任意R有Lie,則U稱為R的Lie理想.由這個(gè)定義可以看出,每個(gè)理想一定是Lie理想,反之,即使對(duì)于具有性質(zhì)u2∈U,對(duì)任意u∈U也未必成立.

例如,設(shè)R是任意一個(gè)環(huán),U是由R的冪等元生成的加法子群,如果e是R的冪等元,x是R的任意元,則容易得出u=e+ex-exe和v=e+xe-exe都是R的冪等元,因此[e,x]=ex-xe=u-v∈U是R的Lie理想.并且滿足u2∈U.

2 引 理

引理2.1[1]設(shè)R是任意一個(gè)環(huán),U是R的Lie理想,且滿足u2∈U,對(duì)任意u∈U,則2uv∈U,對(duì)任意u,v∈U1

引理2.2[2]設(shè)R是特征不為2的素環(huán),U?Z是R的Lie理想.如果存在a,b∈R,使得aUb=0,則a=0或b=0.

引理2.3[1]設(shè)R是特征不為2的素環(huán),U是R的Lie理想,如果[U,V]ΑZ,則UΑZ.

引理2.4[3]設(shè)R是特征不為2的素環(huán),d是R的非零導(dǎo)子,若R的Lie理想U(xiǎn)滿足d(U)ΑZ,則UΑ Z.

引理2.5[2]設(shè)R是特征不為2的素環(huán),U是R的Lie理想,滿足u2∈U,對(duì)任意u∈U,若R的非零導(dǎo)子d使得d2(u)=0,對(duì)任意u∈U,則UΑZ.

引理216[3]設(shè)R是特征不為2的素環(huán),U?Z是R的Lie理想.則CR(U)=Z.

引理217[4]設(shè)R是特征不為2的素環(huán),U是R的Lie理想,則CR([U,U])=CR(U)1

引理218[3]設(shè)R是特征不為2的素環(huán),U是R的Lie理想,假定V={u∈U|d(u)∈U},則V是R的Lie理想,且如果VΑZ,則UΑZ1

引理219[4]設(shè)R是素環(huán),a,ab∈Z,如果a≠0,那么b∈Z.

引理2110[5]設(shè)R是特征不為2的素環(huán),d是R的非零導(dǎo)子,U是R的Lie理想,如果對(duì)任意u∈U,滿足[u,d(u)]ΑZ,則UΑZ1

引理2111[4]設(shè)R是特征不為2的素環(huán),U是R的Lie理想,d1,d2是R的非零導(dǎo)子,使得d1d2(U)Α Z,則UΑZ.

引理2112[5]設(shè)R是特征不為2的素環(huán),U是R的Lie理想,若d是R的非零導(dǎo)子且a∈R使得, ad(u)ΑZ,則a=0或UΑZ1

3 素環(huán)上的Lie理想和導(dǎo)子的性質(zhì)

定理311 設(shè)R是特征不為2的素環(huán),U是R的Lie理想,且滿足u2∈U,對(duì)任意u∈U,若R的非零導(dǎo)子d使得d2(u)∈Z,對(duì)任意u∈U,則UΑZ.

證明 由已知條件,d2(u)∈Z,對(duì)任意u∈U,特別地,對(duì)于u∈V={x∈u|d(x)∈u}上式成立1

由于d(2u2)=2ud(u)+2ud(u)∈Z及d(2u2) =d(u2)+d(u2)∈Z,對(duì)任意u∈V成立.因此Z∩R≠{0}1

對(duì)任意λ∈Z∩R,在上式中用2λv代替v,得uv +vu=d(λ)∈Z.

由于d(λ)∈Z,由引理得,d(λ)=0.或者uv+ vu∈Z.

如果d(λ)=0,則在(1)中取0≠u∈Z∩U,得2ud(U)ΑZ.

由引理,d(U)ΑZ,于是得UΑZ.

如果uv+vu∈Z,取0≠u∈Z∩U,得2vu∈U.由引理得UΑZ.

定理3.2 設(shè)R是特征不為2的素環(huán),U是R的Lie理想,且滿足u2∈U,對(duì)任意u∈U,若R的非零導(dǎo)子d使得[d(u),u2]∈Z,對(duì)任意u∈U,則UΑ Z.

證明 假設(shè)U?Z,顯然[d(u),u2]∈Z成立1由假設(shè)有

如果U∩Z={0},此時(shí)[d(u),u2]=0,

可線性化為

用-u代替u得

比較上面兩式,并利用R是特征不為2的素環(huán),得

用2vu2代替v,化簡(jiǎn)得[v,u2]d(u2)=0,對(duì)任意u,v∈U.

用2wv代替v,化簡(jiǎn)得[w,u2]d(u2)=0.

由引理,[w,u2]=0或者d(u2)=0,對(duì)任意u, w∈U.

若[w,u2]=0,則由引理得u2∈CR(U)=Z,因此d(u2)∈Z1

若d(u2)=0,則d(u2)∈Z.

于是由定理311得UΑZ,這與假設(shè)矛盾.

如果U∩Z≠{0},同樣可得

在上式中用2wv代替v,可得d(w)[v,u2]∈Z.

由引理得d(w)=0或者[v,u2]=01

若d(w)=0,則在(2)中取0≠v∈U∩Z,得v[d(u),u]∈Z,由引理得[d(u),u]∈Z.于是由引理得UΑZ,這與假設(shè)矛盾.

若[v,u2]=0,則由引理得u2∈CR(U)=Z,因此d(u2)∈Z1于是由定理311得UΑZ,這與假設(shè)矛盾.定理得證.

定理313 設(shè)R是特征不為2的素環(huán),U是R的Lie理想,且滿足u2∈U,對(duì)任意u∈U,若R存在導(dǎo)子d使得d(u)·d(v)=u·v,對(duì)任意u,v∈U,則UΑZ.

證明 (1)若d=0,則u·v=0,對(duì)任意u,v∈U1用2vw代替v,得u·(2vw)=0,即2((u·v)wv[u,w])=0,對(duì)任意u,v,w∈U1但u·v=0且特征不為2,所以v[u,w])=0,對(duì)任意u,v,w∈U.

再用[v,r]代替v,有

[v,r][u,w]=0,對(duì)任意u,v,w∈U和r∈R.

用rs代替r得[v,r]R[u,w]=0,對(duì)任意u,v,w∈U和r∈R.R是素環(huán)使得[v,r]=0或者[u,w]= 0.

現(xiàn)設(shè)U1={u∈U|[u,r]=0,/r∈R},U2={u∈U|[u,w]=0,/w∈U},則U1,U2均為U的加法子群且U=U1∪U2.但一個(gè)群不能是兩個(gè)真子群的并,故U=U1或者U=U2.

若U=U1,得[u,r]=0,對(duì)任意u∈U,r∈R,顯然UΑZ.

若U=U2,則[u,w]=0,對(duì)任意u,w∈U,用[u,r]代替w,得

[u,[u,r]]=0,對(duì)任意u∈U和r∈R1(3)

用rs代替r得

[u,[u,r]]s+r[u,[u,s]]+2[u,r][u,s]= 0,對(duì)任意u∈U和r,s∈R.

由(3)和特征不為2,上式可化為

[u,r][u,s]=0,對(duì)任意u∈U和r,s∈R.

用rs代替s有[u,r]R[u,r]=0.因R是素環(huán), [u,r]=0,對(duì)任意u∈U和r∈R.即UΑZ.

(2)若d≠0,則d(u)·d(v)=u·v,對(duì)任意u, v∈U.

用2vw代替v得

d(u)·d((2v)w+2vd(w))=u·(2vw),對(duì)任意u,v,w∈U.因特征不為2,上式可化簡(jiǎn)為

(d(u)·d(v))w-d(v)[d(u),w]+(d(u)· v)d(w)-v[d(u),d(w)]=(u·v)w-v[u,w],

利用d(u)·d(v)=u·v,有

(d(u)·v)d(w)-d(v)[d(u),w]-v[d(u), d(w)]+v[u,w]=0,對(duì)任意u,v,w∈U1

用2vu1代替v得

[d(u),v]u1d(w)-d(v)u1[d(u),w]=0,對(duì)任意u,u1,v,w∈U1

取u∈V,則d(u)∈U,可用d(u)代替w得

[d(u),v]u1d2(u)=0,對(duì)任意u1,v∈U,u∈V1

從而[d(u),v]Ud2(u)=0,對(duì)任意v∈U,u∈V.

假設(shè)U?Z,由引理得V?Z1由引理得[d(u), v]=0或者d2(u)=0.

若[d(u),v]=0,對(duì)任意v∈U,u∈V,則由引理得d(V)ΑCR(U)=Z,由引理有d=0,與假設(shè)矛盾1故d2(u)=0,對(duì)任意u∈V,由引理得d=0,矛盾1故UΑZ.

同理可證

定理314 設(shè)R是特征不為2的素環(huán),U是R的Lie理想,且滿足u2∈U,對(duì)任意u∈U,若R存在導(dǎo)子d使得d(u)·d(v)+u·v=0,對(duì)任意u,v∈U,則UΑZ.

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[2]Bergen J.Herstein I N,kerr J W.Lie iderls and derivations of prime rings[J].J Algebra.1981,71:259-267.

[3]Huang Yunbao.On derivations of prime rings[J].1994,4.

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[5]J1H1Mayne,Centralizing mapping ofprimerings[J]. Canadian Math.Bull.1984,27.

Abstract:In this paper,we discuss the propertyof iderls in prime ring with derivations.LetRbe a prime ringof CharR≠2 and letUbe a Lie iderl ofR,that is satisfiedu2∈Ufor allu∈U.if there exists a nonzero derivation d inRsuch that d(u2)ΑZor[d(u),u2]ΑZor allu∈U,thenUΑZ.

Key words:prime ring; Lie iderl; derivation

The Property in Pprime Ring with Derivations

WU Y i-qing1, XIONG Yan-qing2

(1.Dept.of Math1,Huaihua University,Huaihua,Hunan 418008;
2.Dept of Math.,Hunan Normal University,Changsha,Hunan 410081)

O153

A

1671-9743(2011)02-0016-03

2011-02-21

湖南省教育廳項(xiàng)目(04C470).

吳毅清(1964-),男,湖南長(zhǎng)沙人,懷化學(xué)院副教授,主要研究代數(shù);

熊艷清(1983-),女,湖南邵陽人,湖南師范大學(xué)碩士研究生,主要研究矩陣論.