基于MATLAB算法的圓柱齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)

王 鳴

（福建交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 福州 350007）

0 引 言

圓柱齒輪傳動(dòng)是機(jī)械傳動(dòng)中最主要的一類傳動(dòng).齒輪傳動(dòng)利用輪齒相互嚙合傳遞動(dòng)力與運(yùn)動(dòng)，所以齒輪的設(shè)計(jì)對(duì)于齒輪傳動(dòng)的好壞及機(jī)器能否準(zhǔn)確的傳遞運(yùn)動(dòng)與動(dòng)力有很大影響.程友聯(lián)等［1］提出了參照等強(qiáng)度齒數(shù)確定齒輪齒數(shù)的方法，金花［2］以體積最小為目標(biāo)進(jìn)行齒輪傳動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，任繼華［3］對(duì)齒輪傳動(dòng)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).本文在保證齒根彎曲疲勞強(qiáng)度和齒面接觸疲勞強(qiáng)度的前提下研究圓柱齒輪的優(yōu)化設(shè)計(jì).

1 建立數(shù)學(xué)模型

1.1 已知參數(shù)

單級(jí)直齒圓柱齒輪減速器的結(jié)構(gòu)如圖1所示，現(xiàn)要求在保證承載能力的條件下，以體積最小為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).

已知：輸入功率P＝280kW，小齒輪轉(zhuǎn)速n＝980r／min，傳動(dòng)比i＝5，齒輪的許用接觸應(yīng)力［σH］＝855MPa，許用彎曲應(yīng)力［σF1］＝261MPa，［σF2］＝213MPa；軸的許用彎曲應(yīng)力［σb］＝55 MPa.配對(duì)齒輪的結(jié)構(gòu)和各部分尺寸的符號(hào)如圖2所示.

圖1 單級(jí)直齒圓柱齒輪減速器的結(jié)構(gòu)簡圖b－齒輪厚度；l1 －減速箱寬度；l2－輸入軸伸出長度；l3－輸出軸伸出長度

圖2 齒輪結(jié)構(gòu)圖b1－小齒輪厚度；b2－大齒輪厚度；d1－小齒輪分度圓直徑；ds1－小齒輪軸孔徑；d2－大齒輪分度圓直徑；ds2－大齒輪軸孔徑

1.2 選取設(shè)計(jì)變量

由于減速器箱體內(nèi)的零件（即齒輪和軸的尺寸）是決定減速器體積的依據(jù)，所以，根據(jù)齒輪幾何尺寸和結(jié)構(gòu)尺寸的計(jì)算公式.

大齒輪采用輻板式，輻板上有4個(gè)均布孔，箱體內(nèi)的齒輪和軸的總體積可近似地表示為

取l2＝25cm，l3＝30cm，并近似取b1＝b2＝b，則由上式可知，給定傳動(dòng)比i后，減速器體積V 取決于b，Z1，m，l1，ds1，ds26個(gè)參數(shù)，所以單級(jí)標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)變量為

1.3 建立目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的經(jīng)驗(yàn)公式，有：δ＝5m，D2＝d2－2δ，D1＝1.6ds2，d0＝0.25（D2－D1），c＝0.2b.參照?qǐng)D1，將經(jīng)驗(yàn)公式及數(shù)據(jù)代入公式且用設(shè)計(jì)變量來表示，可確定目標(biāo)函數(shù)為

根據(jù)下列經(jīng)驗(yàn)和原則，可確定每個(gè)變量的上下限：（1）根據(jù)工藝裝備條件，限制大齒輪直徑d2不超過160cm，故小齒輪直徑d1不應(yīng)超過32 cm；（2）按結(jié)構(gòu)關(guān)系，軸的支撐跨距應(yīng)滿足：l1≥b＋2Δ＋0.2ds2，現(xiàn)取箱體內(nèi)壁到軸承中心線的距離Δ＝2cm；（3）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，主、從動(dòng)軸直徑的取值范圍為：9cm≤ds1≤14cm，14cm≤ds2≤18 cm；（4）為保證齒輪承載能力同時(shí)又避免載荷沿齒寬分布嚴(yán)重不均，要求齒寬系數(shù)0.9≤ψ＝bdd1≤1.4；（5）對(duì)傳遞動(dòng)力的齒輪，一般模數(shù)m≥0.2 cm，且取標(biāo)準(zhǔn)系列值；（6）標(biāo)準(zhǔn)齒輪傳動(dòng)避免發(fā)生根切最少齒數(shù)zmin＝1.7.

各變量的上下限為：10≤x1≤42，17≤x2≤30，0.2≤x3≤1，20.5≤x4≤56，9≤x5≤14，14≤x6≤18.

1.4 確定約束條件［4－5］

1）齒面接觸強(qiáng)度條件

式中：接觸應(yīng)力為

式中：K為載荷系數(shù)，根據(jù)題意，可取K＝1.3；ZE為彈性系數(shù)，一對(duì)鋼質(zhì)齒輪ZE＝189.8 MPa；ZH為節(jié)點(diǎn)區(qū)域系數(shù)，ZH＝2.5；T1為小齒輪傳遞的名義轉(zhuǎn)矩，T1＝9.55×105P／n1≈273 000 N·cm.

2）工藝裝備條件

3）齒寬系數(shù)條件

4）軸的支撐跨距條件

式中：YF為齒形系數(shù)，小齒輪

6）主動(dòng)軸（即圖1所示小齒輪軸）剛度條件

式中：?。踶］＝0.003l1；ymax＝Fnl31／（48EJ）；Fn為作用在小齒輪齒面上的法向載荷，N；Fn＝2T1／（mZ1cos a），其中齒輪壓力角a＝20°；E 為軸的材料的彈性模量，E＝2×105MPa；J為軸的慣性矩，圓截面J＝πds41／64.

由上述可得到滿足軸的剛度條件的約束函數(shù)為

由此，可得到小齒輪軸和大齒輪軸滿足彎曲強(qiáng)度條件的約束函數(shù)

2 MATLAB優(yōu)化理論和程序

用MATLAB優(yōu)化工具箱解決工程實(shí)際問題可概括為以下過程［6］：

1）根據(jù)所提出的問題建立最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，確定變量，列出約束條件和目標(biāo)函數(shù).

2）分析建立的數(shù)學(xué)模型，選擇合適的最優(yōu)化方法，調(diào)用相應(yīng)的優(yōu)化工具函數(shù).

3）完成優(yōu)化設(shè)計(jì)，分析優(yōu)化結(jié)果.

齒輪優(yōu)化中的問題，屬于非線性的約束優(yōu)化問題.非線性多變量約束優(yōu)化問題在MATLAB里可做如下描述.

調(diào)用fmincon函數(shù)實(shí)現(xiàn)求解約束優(yōu)化問題.fmincon函數(shù)的調(diào)用格式：［x，fval］＝fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlco，options，P1，P2…）

根據(jù)減速箱優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型建立過程，運(yùn)用上述優(yōu)化理論，可得Aeq＝beq＝0，lb＝［10，17，0.2，20.5，9，14］；

ub＝［42，30，1，56，14，18］；

A＝［1，0，0，－1，0，0.5］，b＝［－4］；其MATLAB程序如下.

先定義其目標(biāo)函數(shù)的M文件：

function f＝gear（x）

f＝0.78539815＊（4.75＊x（1）＊x（2）＾2＊x（3）＾2＋85＊x（1）＊x（2）＊x（3）＾2－85＊x（1）＊x（3）＾2＋0.92＊x（1）＊x（6）＾2－x（1）＊x（5）＾2＋0.8＊x（1）＊x（2）＊x（3）＊x（6）－1.6＊x（1）＊x（3）＊x（6）＋x（4）＊x（5）＾2＋x（4）＊x（6）＾2＋25＊x（5）＾2＋30＊x（6）＾2）

再定義其約束函數(shù)的M文件：

在命令窗口中輸入其初始點(diǎn)，上下限，以及求解命令等，如下.

＞＞ x0＝［20，25，1，30，12，16］；

＞＞lb＝［10，17，0.2，20.5，9，14］；＞＞ ub＝［42，30，1，56，14，18］；＞＞ A＝［1，0，0，－1，0，0.5］；＞＞b＝［－4］；

＞＞ ［x，fval］＝fmincon（＠gear，x0，A，b，［］，［］，lb，ub，＠constr）

運(yùn)行結(jié)果為：

x＝12.8684 23.8576 0.5993 23.8684 9.7523 14.0000 fval＝3.115 4×104

因?yàn)辇X輪模數(shù)m應(yīng)為標(biāo)準(zhǔn)值，齒數(shù)Z1應(yīng)為整數(shù)，其他參數(shù)一般也應(yīng)適當(dāng)圓整，所以上述最優(yōu)解必須經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化與圓整，得到最終解為

［x1，x2，x3，x4，x5，x6］＝ ［13，24，0，6，24，10，14］帶入原函數(shù)，fval＝3.173 3×104cm3.

3 結(jié) 論

通過對(duì)單級(jí)直齒圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)可以得出以下結(jié)論：

1）用傳統(tǒng)方法設(shè)計(jì)的減速器體積為3.431 8×104cm3，而采用優(yōu)化方法設(shè)計(jì)的減速器體積為3.173 3×104cm3，比原方案的體積減小了7.5%，從而減輕了減速器的重量.

2）應(yīng)用MATLAB優(yōu)化工具箱求解優(yōu)化問題，不需編寫大量算法程序，提高了設(shè)計(jì)效率，獲得良好的優(yōu)化結(jié)果.

［1］程友聯(lián)，鄒慶化，盧繼軍，尚晶.圓柱齒輪齒數(shù)確定的新方法［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)：交通科學(xué)與工程版，2001，25（2）：166－168.

［2］金 花.基于MATLAB的圓柱齒輪傳動(dòng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.科技信息，2010（1）：81－84.

［3］任繼華.基于MATLAB的齒輪參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)及其有限元分析［D］.贛州：江西理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，2010.

［4］劉明保，王志偉，孟玲琴.圓柱齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.河南機(jī)電高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2002，10（3）：23－24.

［5］葉秉良.基于 MATLAB算法的圓柱齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.浙江理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，23（3）；321－325.

［6］黃 瀅，于文華.齒輪減速器可靠性優(yōu)化的 MATLAB實(shí)現(xiàn)［J］.通用機(jī)械，2005（9）：70－71.