Boussinesq方程新的精確解

楊瓊芬 杜先云 楊立娟

（綿陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 綿陽(yáng) 621000）

0 引 言

隨著非線性科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，非線性科學(xué)理論的研究問(wèn)題在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域當(dāng)中正在蓬勃發(fā)展.構(gòu)造非線性發(fā)展方程精確解是孤立子理論的重要研究課題之一.目前，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了很多有效的求解方法，如雙曲正切函數(shù)法［1］，齊 次 平 衡 法［2］，試 探 函 數(shù) 法［3］，輔 助 方 程法［4］，EXP－函數(shù)展開(kāi)法［5］等.

試探函數(shù)法是一種行之有效的用于求解非線性偏微分方程的方法，本文利用函數(shù)變換與雙線性算子相結(jié)合的方法，構(gòu)造Boussinesq方程新的精確解.

經(jīng)典的Boussinesq方程形如

式中：u（x，t）為流體自由表面的運(yùn)動(dòng)；正常數(shù)a，b依賴于流體的深度和長(zhǎng)波的特征速度.

Boussinesq方程是一種能夠描述規(guī)則波和不規(guī)則波在復(fù)雜地形上發(fā)生淺化、折射、繞射和反射效應(yīng)相當(dāng)有效的數(shù)學(xué)模型.1871年Boussinesq考慮垂向流速及壓強(qiáng)分布的影響，假定垂向流速?gòu)牡酌媪憔€性增加到自由表面的最大值，得到了Boussinesq方程.考慮波浪傳播的非線性變化，1967年P(guān)eregrine推導(dǎo)了變水深條件下淺水區(qū)波浪傳播的Boussinesq方程.后來(lái)Boussinesq方程也適用于其他的物理應(yīng)用中，如等離子體中的離子聲波等，由于它可以用來(lái)描述2個(gè)相反方向傳播的Kdv孤波，也可以描述一維非線性晶格的振動(dòng)［6］，因此，Boussinesq方程的研究受到許多學(xué)者的關(guān)注［7］.

1 Boussinesq方程的精確解

式中：f為待定函數(shù).

將式（2）代入式（1）成雙線性形式

再將f（x，t）代人式（2）得到原方程（1）的大量的新的精確解，包括實(shí)數(shù)解，復(fù)數(shù)解為u（x，t）＝

即得到原方程的一個(gè)新的通解.

再將式（12）代人式（2）得到原方程的一個(gè)精確解為

為了對(duì)解的結(jié)構(gòu)有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)，借助于Maple，畫(huà)出了解式（13）對(duì)應(yīng)的解的波形圖如圖1所示.

圖1 解式（13）對(duì)應(yīng)的解的波形圖

2 結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)齊次平衡原則，試探函數(shù)法并利用雙線性形式求出了Boussinesq方程一些精確解，包括實(shí)數(shù)解，復(fù)數(shù)解.當(dāng)參數(shù)取不同的值，可以得到不同形式的新的精確解.在利用試探函數(shù)法時(shí)引進(jìn)了新的函數(shù)，且采用了雙線性形式使式子看起來(lái)更為簡(jiǎn)單.其解都是新解，且這些解對(duì)于解釋一些物理現(xiàn)象有一定的意義.

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