非線性模型的一階偏導(dǎo)數(shù)確定方法及其在TLS精度評(píng)定中的應(yīng)用*

孔建 姚宜斌 黃承猛

(武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，武漢430079)

非線性模型的一階偏導(dǎo)數(shù)確定方法及其在TLS精度評(píng)定中的應(yīng)用*

孔建 姚宜斌 黃承猛

(武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，武漢430079)

基于整體最小二乘(TLS)數(shù)據(jù)處理理論以及TLS迭代算法，利用泰勒公式確定非線性模型一階偏導(dǎo)數(shù)，推導(dǎo)了其誤差量級(jí)。并將該方法應(yīng)用于TLS精度評(píng)定，提出了檢驗(yàn)結(jié)果可靠性的方法，最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性。

整體最小二乘;泰勒公式;一階偏導(dǎo)數(shù);可靠性檢驗(yàn);迭代算法

AbstractOn the basis of the total least-squares(TLS)data processing theory and an iterative algorithm for TLS，first-order partial derivative of the nonlinear model was determined by using Taylor formula and the error magnitude of the results was derivated.The method was applied to the TLS precision evaluation，and the method for reliability testing is proposed.The experimental results verify the feasibility of the method in TLS precision evaluation.

Key words:Total Least-Squares(TLS);Taylor formula;first-order partial derivative;reliability testing;iterative algorithm

1 引言

測(cè)量數(shù)據(jù)處理需要解決兩方面的問題:一是要在某種估計(jì)準(zhǔn)則下求出待估參數(shù)值;二是要評(píng)估出參數(shù)的精度。測(cè)量數(shù)據(jù)處理模型中函數(shù)模型表征了觀測(cè)量與參數(shù)之間存在的客觀聯(lián)系。函數(shù)模型往往是線性的，這一方面是與測(cè)量上常用的最小二乘平差方法有關(guān)，另一方面，測(cè)量數(shù)據(jù)處理中誤差傳播定律建立在線性模型的基礎(chǔ)上。對(duì)于非線性模型，測(cè)量上常采用線性化的方法，用函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)近似表達(dá)函數(shù)模型［1，2］。

設(shè)計(jì)矩陣含有誤差下的平差問題在二維直線擬合模型中被多次提出，隨后被命名為整體最小二乘(TLS)問題。TLS的思想最早可以追溯至20世紀(jì)初，但直到1980年才由Golub和Van Loan共同完成其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的研究，給出了基于矩陣的奇異值分解第一個(gè)數(shù)值穩(wěn)定的算法—SVD方法［1］。近十幾年來，隨著科學(xué)計(jì)算方法的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)TLS的可解性理論進(jìn)行了深入的研究，各種解算整體最小二乘問題的方法層出不窮，常見的有SVD方法、完全正交方法、Cholesky分解法、迭代解法等［3－8］。

但目前TLS解算的參數(shù)很難給出可靠的精度信息，這成為制約TLS進(jìn)一步在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用的瓶頸問題［9］。本文在迭代法求解參數(shù)估值的基礎(chǔ)上，提出了待求參數(shù)關(guān)于觀測(cè)量一階偏導(dǎo)數(shù)確定策略，進(jìn)而得到參數(shù)的精度信息，并通過實(shí)測(cè)算例驗(yàn)證了策略的可行性，得到了一些有意的結(jié)論。

2 TLS迭代算法

TLS數(shù)據(jù)處理模型為

這一模型類似于經(jīng)典的間接平差模型，但與經(jīng)典模型不同的是，這時(shí)的平差模型考慮了系數(shù)矩陣的誤差。TLS問題求解的一種常用算法是迭代法［4］，迭代法的最大特點(diǎn)就是算法簡(jiǎn)單。這種方法以迭代方程

為基礎(chǔ)建立。其中，Nb=E+^X^XT，L=(L1－d1L2－d2…Ln－dn)T，迭代過程可以按以下流程進(jìn)行:

1)獲取未知參數(shù)的初值X0;

2)根據(jù)觀測(cè)值信息以及未知參數(shù)初值X0，取^B(0)=B，由式(2)求取未知參數(shù)的平差值^X(1);

3)根據(jù)Nb=E+^X^XT，求N(1)b=E+^X(1)^X(1)T;

4)根據(jù)求得的N(1)b、未知參數(shù)的平差值和觀測(cè)值信息，由式(3)求取設(shè)計(jì)矩陣平差值^B(1);

5)重復(fù)2)～4)步，直到兩次計(jì)算的參數(shù)值之差小于一定的域值，退出迭代，輸出結(jié)果。

迭代編程實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，但是迭代法是對(duì)參數(shù)真值的逐步逼近，迭代方程往往非線性程度過高，給后續(xù)的精度評(píng)定帶來了困難，所以探討在迭代法基礎(chǔ)上TLS精度評(píng)定問題是有意義的。

3 TLS精度評(píng)定

3.1 非線性模型一階偏導(dǎo)數(shù)確定策略

復(fù)雜函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)確定問題，在數(shù)學(xué)、光學(xué)、熱力學(xué)等學(xué)科中經(jīng)常碰，很多學(xué)者提出過各種算法［6，7］。本文在泰勒展開式的基礎(chǔ)上，提出一種新的確定一階偏導(dǎo)數(shù)的解析算法。設(shè)隱函數(shù)確定了Y與X1、X2…Xn之間的函數(shù)關(guān)系:

精度評(píng)定需要提取參數(shù)Y關(guān)于X1、X2…Xn觀測(cè)量的線性信息，這種線性信息可以用參數(shù)Y關(guān)于觀測(cè)量X1、X2…Xn的一階偏導(dǎo)數(shù)來表示，即:

所以精度評(píng)定的問題轉(zhuǎn)換成求取各項(xiàng)一階偏導(dǎo)數(shù)問題。對(duì)于現(xiàn)有的TLS參數(shù)估計(jì)公式而言，如使用迭代法，求取各項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù)的工作量很大。

泰勒公式是處理復(fù)雜數(shù)學(xué)函數(shù)的有效工具，式(6)給出了多元函數(shù)的泰勒公式展開(以二元為例)。

定理設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有直到(n+1)階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，(x0+h，y0+ k)為此領(lǐng)域內(nèi)任一點(diǎn)，則有:

式(7)表明，對(duì)于多元函數(shù)如果在僅考慮單個(gè)自變量變化的情況下，它的泰勒級(jí)數(shù)展開式可以簡(jiǎn)化為一元函數(shù)的形式。

對(duì)既定的函數(shù)F(z，x，y)=0或z=f(x，y)而言，給定x=x1，y=y1，可以準(zhǔn)確確定z1的值;在保持y =y1值不變的情況下，變化參數(shù)x=x1+h，得到相應(yīng)z值z(mì)=z2，進(jìn)而得到z值的變化量Δz=z2－z1。把結(jié)果代入式(7)可以看到，由于x的變化量h是已知的，z是由給定的函數(shù)準(zhǔn)確確定，帶回式(7)后得到的是一個(gè)包含n個(gè)未知數(shù)(n項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù))的方程。如果對(duì)x變化n個(gè)不同的h值，相應(yīng)地可以得到n個(gè)方程，由于最后的拉格拉日余項(xiàng)很小，可忽略不計(jì)，那么從理論上而言，從得到的n個(gè)方程中可以解得相應(yīng)的n項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù)，解得的n項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù)中就含有精度評(píng)定需要的一階偏導(dǎo)數(shù)。如果對(duì)所有的自變量進(jìn)行上述過程的處理，就可以用解析方法得到因變量關(guān)于各項(xiàng)自變量的偏導(dǎo)數(shù)。

從理論上，上面得到的方程可以解算出所有需要的偏導(dǎo)數(shù)，但實(shí)際計(jì)算過程會(huì)引入一些計(jì)算誤差，一方面對(duì)于式(7)，實(shí)際計(jì)算不會(huì)考慮n階導(dǎo)數(shù)，另一方面解算結(jié)果也會(huì)受到計(jì)算機(jī)計(jì)算精度的影響，因?yàn)樗〉膆往往是一個(gè)微小量，從而導(dǎo)致求解各項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)矩陣(即式(12)中的矩陣N)近乎病態(tài)，使得計(jì)算的穩(wěn)定性較差。為了提高解算的精度，采用牛頓法進(jìn)行處理，首先，令x=x1+h、y =y1可以得到:

式中ε1表示沒有考慮后面的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，在此基礎(chǔ)上，令x=x1－h(huán)、y=y1，可以得到:

這是數(shù)值計(jì)算中構(gòu)造迭代方程常用的方法，這樣處理可以提高偏導(dǎo)數(shù)解算的精度，這一點(diǎn)可以從下面誤差項(xiàng)推導(dǎo)的結(jié)果中看到，在式(10)中雖然偏導(dǎo)數(shù)只寫了兩項(xiàng)，但是結(jié)果卻是考慮的4階偏導(dǎo)數(shù)的效果，通過實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，這樣處理比直接使用式(7)計(jì)算得到的結(jié)果更加穩(wěn)定。

實(shí)際計(jì)算中，式(10)最后的誤差項(xiàng)ε1－ε2是直接忽略掉的，下面討論忽略項(xiàng)ε1－ε2對(duì)最后結(jié)果的影響以及在使用上述方法計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)考慮求解階數(shù)與最后估計(jì)結(jié)果精度之間的關(guān)系，從而分析ε1－ε2對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響。為了表達(dá)上的直觀，對(duì)x所取的變化量h在推導(dǎo)中用Δx表示。

將N的行列式帶入，用Δf1、Δf2分別表示忽略ε1－ε2而造成的估計(jì)一階，二階偏導(dǎo)數(shù)的誤差，可以得到Δf1、Δf2的具體形式:

因?yàn)閤的變化量Δx，z的變化量Δz是準(zhǔn)確已知不含誤差的，在不考慮計(jì)算機(jī)計(jì)算精度的情況下，Δf1、Δf2就是用上面原理計(jì)算所產(chǎn)生的計(jì)算誤差。從公式(18)可以看到:

1)在模型5階偏導(dǎo)數(shù)不為零的情況下，取Δx在10－3數(shù)量級(jí)，則Δf1計(jì)算誤差在10－12數(shù)量級(jí)，Δf2的計(jì)算誤差在10－6數(shù)量級(jí)。如果考慮ε1－ε2七階導(dǎo)數(shù)以后的項(xiàng)，對(duì)Δf1、Δf2的影響可以在5階項(xiàng)對(duì)其影響的基礎(chǔ)上再乘以Δx2，更高階項(xiàng)的影響依次類推，數(shù)量級(jí)會(huì)更小，可見在推導(dǎo)時(shí)僅考慮ε1－ε25階項(xiàng)是合理的。

2)從結(jié)果中可以看到，計(jì)算得到的Δf1遠(yuǎn)比Δf2量級(jí)要小，即求得的偏導(dǎo)數(shù)精度依次下降，一階偏導(dǎo)數(shù)精度最高。

3)從計(jì)算結(jié)果可以看到Δf1的量級(jí)很小，如果再添加一階偏導(dǎo)數(shù)，仍取Δx在10－3數(shù)量級(jí)，Δf1量級(jí)會(huì)到10－20，甚至更小。

3.2 TLS精度評(píng)定及可靠性分析

由于得到的一階偏導(dǎo)數(shù)對(duì)最后參數(shù)精度評(píng)定結(jié)果有直接的影響，所以評(píng)定所得結(jié)果的可靠性顯得尤為重要。首先，由于參數(shù)估值滿足迭代方程的第一式:

在迭代退出時(shí)，所得參數(shù)估值、系數(shù)矩陣平差值滿足式(19)，符合的程度和迭代推出的條件有關(guān)。由式(19)可以得:

參數(shù)估值關(guān)于觀測(cè)向量L的偏導(dǎo)數(shù)可以由式(20)得到。所以可以通過求得的參數(shù)關(guān)于觀測(cè)向量的一階導(dǎo)數(shù)值與式(20)得到的一階導(dǎo)數(shù)值做差進(jìn)行比較，用以檢測(cè)得到的偏導(dǎo)數(shù)的可靠性。

由于沒有考慮到式(4)的約束，式(20)求得的偏導(dǎo)數(shù)是不嚴(yán)密的，所以這一可靠性評(píng)定方法只能作為估計(jì)可靠性的一種參考。探測(cè)偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算過程中是否含有粗差，本文將在算例部分進(jìn)行說明。

4 算例分析

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用某地變形監(jiān)測(cè)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，觀測(cè)數(shù)據(jù)為某河流沿岸觀測(cè)點(diǎn)的水位值、溫度值，以及位移量，擬合模型如下:

其中S為位移量，h為水位值，t為溫度值，a、b為待擬合的參數(shù)。采用5組觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，用TLS原理采用迭代法計(jì)算得到參數(shù)值，這里直接給出:a =0.559 6，b=－0.129 9。

偏導(dǎo)數(shù)擬合實(shí)驗(yàn)采用二階擬合，表1列出的是二階擬合得到的各項(xiàng)一階偏導(dǎo)數(shù)值，由于篇幅所限，僅列出參數(shù)a對(duì)15個(gè)觀測(cè)量的偏導(dǎo)數(shù)。表2列出的是按公式(19)計(jì)算得到的參數(shù)關(guān)于觀測(cè)向量的偏導(dǎo)數(shù)值，表中所列較差項(xiàng)是擬合值與按式(20)計(jì)算值之差。

表1 一階偏導(dǎo)數(shù)擬合值(單位:m)Tab.1Fitted values of first-order partial derivative(unit: m)

表2 一階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算值(單位:m)Tab.2Calculated values of first-order partial derivative (unit:m)

從表2所列的較差項(xiàng)中，可以看到兩種計(jì)算方法的結(jié)果最大不符值達(dá)到13 mm。本文進(jìn)行所求偏導(dǎo)數(shù)可靠性估計(jì)時(shí)，并不把按式(20)得到的計(jì)算值當(dāng)作真值，這是因?yàn)槭?20)是在沒有考慮式(3)的基礎(chǔ)上得到的，計(jì)算結(jié)果是不嚴(yán)密的，僅能作為探測(cè)擬合值是否含有粗差的依據(jù)，這一點(diǎn)可以用下面的實(shí)驗(yàn)說明。

用兩種方法得到的偏導(dǎo)數(shù)，做下面的預(yù)報(bào)實(shí)驗(yàn)，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。對(duì)上面不符較大的觀測(cè)量取擾動(dòng)Δx，用式(21)進(jìn)行參數(shù)值變化的預(yù)報(bào):

將兩種方法得到的偏導(dǎo)數(shù)分別帶入式(21)進(jìn)行預(yù)報(bào)，將得到的結(jié)果與參數(shù)的真實(shí)變化進(jìn)行比較(表3)，實(shí)驗(yàn)中選擇的5組數(shù)據(jù)分別是表2中較差較大的1

表3 不同方法得到的偏導(dǎo)數(shù)預(yù)報(bào)值(單位:m)Tab.3Forecast values with different methods(unit:m)

從表3可以看到，用式(20)計(jì)算得到的偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行預(yù)報(bào)的結(jié)果沒有擬合得到偏導(dǎo)數(shù)的預(yù)報(bào)結(jié)果精度高。所以在實(shí)際操作中，用計(jì)算的偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)可靠性檢驗(yàn)時(shí)，只能檢驗(yàn)擬合的結(jié)果中是否含有較大的擬合偏差，防止擬合過程中發(fā)生錯(cuò)誤。

另外，在采用上述原理進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)估計(jì)時(shí)，觀測(cè)量的擾動(dòng)取多大量級(jí)，應(yīng)該由觀測(cè)量自身精度所決定，應(yīng)該和觀測(cè)量自身的誤差相匹配，這樣求得的偏導(dǎo)數(shù)用以精度評(píng)定是比較合理的。

表4中列出的是對(duì)迭代法求解參數(shù)精度評(píng)定的結(jié)果。為了便于比較，表中列出了用經(jīng)典最小二乘方法求解得到的參數(shù)值以及精度。

表4 參數(shù)精度(單位:m)Tab.4Accuracies of parameters(unit:m)

從表4中可以看到，TLS和LS得到的參數(shù)精度相當(dāng)，這是因?yàn)閮煞N算法求解參數(shù)的精度和觀測(cè)值的誤差分布和觀測(cè)值數(shù)目有關(guān)，在觀測(cè)精度較好的情況下，兩種解法的參數(shù)精度相當(dāng);但在觀測(cè)值精度較差的境況下，兩種算法會(huì)出現(xiàn)較大偏差［7］。另一方面，LS參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣由法方程系數(shù)矩陣N求擬得到的，而N是由設(shè)計(jì)矩陣得到的，在設(shè)計(jì)矩陣B含有誤差的情況下，LS的精度沒有考慮到B中所含有的誤差，所以LS評(píng)定得到的只是參數(shù)的一個(gè)偽精度，表4中第3行給出了用設(shè)計(jì)矩陣平差值評(píng)定的LS參數(shù)的實(shí)際精度。

5 結(jié)論

在TLS迭代法的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了一種精度評(píng)定策略，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的正確性，以及精度評(píng)定策略的可行性。從程序?qū)崿F(xiàn)的角度來看，在已有的參數(shù)估計(jì)代碼基礎(chǔ)上，這種精度評(píng)定策略便于編程實(shí)現(xiàn)。

本文提供的TLS精度評(píng)定數(shù)值解法，完善了TLS精度評(píng)定理論上的缺陷，使TLS具有了工程實(shí)踐應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，對(duì)TLS的推廣應(yīng)用是有意義的。

1武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院測(cè)量平差學(xué)科組.誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2003.(Survey Adjustment Disciplane Unit of Surveying and Mapping College of Wuhan University.Error theory and measure of the basis adjustment［M］.Wuhan:Wuhan University Press，2003)

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METHOD FOR DETERMINING FIRST-ORDERPARTIAL DERIVATIVE OF NONLINEAR MODEL AND ITS APPLICATION IN TLS ACCURACY ASSESSMENT

Kong Jian，Yao Yibin and Huang Chengmeng
(School of Geodesy and Geomatics of Wuhan University，Wuhan430079)

P207

A

1671-5942(2011)03-0110-05

2011-01-23

國(guó)家自然科學(xué)基金(40774008，40721001);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)專項(xiàng)

孔建，男，1987年生，碩士生，主要從事測(cè)量數(shù)據(jù)處理理論與方法研究.E－mail:liuhukj@163.com