最小二乘外推與ARIMA(P，1，0)組合模型在極移短期預(yù)報(bào)中的應(yīng)用*

張昊 王琪潔 朱建軍 張曉紅

(中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院測繪與國土信息工程系，長沙410083)

最小二乘外推與ARIMA(P，1，0)組合模型在極移短期預(yù)報(bào)中的應(yīng)用
*

張昊 王琪潔 朱建軍 張曉紅

(中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院測繪與國土信息工程系，長沙410083)

將ARIMA(P，1，0)模型應(yīng)用到極移隨機(jī)性部分序列的預(yù)報(bào)中，提出了利用最小二乘外推與ARIMA(P，1，0)的組合模型來對(duì)整體極移序列進(jìn)行短期預(yù)報(bào)。并與其他方法對(duì)極移1～5天的短期預(yù)報(bào)精度進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果證明了該模型在極移短期預(yù)報(bào)上的有效性與優(yōu)越性。

極移;短期預(yù)報(bào);最小二乘外推;ARIMA(P，1，0)模型;精度改善

AbstractThe necessity of the short-term prediction of polar motion and the current common prediction approach are discussed.ARIMA(P，1，0)is used in prediction of stochastic components in polar motion before，non a combinational model of least squares extrapolation and ARIMA(P，1，0)is given to forecast the polar motion from one to five day in the future.Through accuracy analysis，the efficiency and superiority of this model is proved.

Key words:polar motion;short－term prediction;least squares extrapolation;ARIMA(P，1，0)model;accuracy improving

1 引言

極移(PM)是指地球瞬時(shí)自轉(zhuǎn)軸在地球本體內(nèi)運(yùn)動(dòng)而導(dǎo)致極點(diǎn)在地球表面上的位置發(fā)生緩慢變化的現(xiàn)象。對(duì)于極移的預(yù)報(bào)，許多學(xué)者建立了各種預(yù)報(bào)模型對(duì)其進(jìn)行研究［1－8］?？偟膩碚f這些模型都是將極移分成有規(guī)律的確定性部分及不規(guī)律的隨機(jī)性部分分別進(jìn)行預(yù)報(bào)。極移中有規(guī)律的確定性部分包括極移的長期趨勢(LT)、錢德勒擺動(dòng)(CW)、周年擺動(dòng)(AW)和半周年擺動(dòng)(SAW)。各種預(yù)報(bào)模型對(duì)這部分大都采用最小二乘對(duì)已有極移數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得出確定性的擬合模型，然后對(duì)其進(jìn)行外推預(yù)報(bào)。極移中不規(guī)律的隨機(jī)性部分是指極移中除去確定性部分而剩余的部分，很多文獻(xiàn)也將之稱為確定性模型殘差，這一部分主要包括極移數(shù)據(jù)中周期低于半年的項(xiàng)及其他高頻擺動(dòng)項(xiàng)，極移中的這一部分振幅和相位變化極不規(guī)律，具有很大的隨機(jī)性，對(duì)于這部分的預(yù)報(bào)不同的模型采用不同的預(yù)報(bào)方法，主要有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)模型［2］、模糊推理系統(tǒng)(FIS)［3］、平穩(wěn)自回歸(AR)模型［4］等。極移最終的預(yù)報(bào)結(jié)果為確定性部分的外推值與隨機(jī)性部分的預(yù)報(bào)值之和?，F(xiàn)代測地技術(shù)對(duì)極移的測定精度可達(dá)到0.1毫角秒級(jí)［4］，而以上方法對(duì)極移1～5天的短期預(yù)報(bào)精度卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于這一量級(jí)。本文提出利用最小二乘外推與ARIMA(P，1，0)組合方法對(duì)極移進(jìn)行短期預(yù)報(bào)，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析得出:相對(duì)于其他方法，該方法對(duì)極移1～5天的短期預(yù)報(bào)精度有顯著地提高。

2 預(yù)報(bào)方法

利用ARIMA(P，1，0)模型對(duì)極移隨機(jī)性部分進(jìn)行預(yù)報(bào)，利用最小二乘擬合的方法對(duì)極移確定性部分進(jìn)行外推預(yù)報(bào)。

2.1 最小二乘外推模型

對(duì)極移中的確定性部分，用最小二乘外推模型進(jìn)行外推預(yù)報(bào)。對(duì)于極移的X分量PX和Y分量PY，最小二乘外推模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為［5，6］:

其中Ax、Bx表示極移X序列模型中LT參數(shù)，C1x、C2x表示極移X序列模型中SAW參數(shù)，D1x、D2x表示極移X序列模型中AW參數(shù)，E1x、E2x表示極移X序列模型中CW參數(shù);PSA表示SAW周期，在擬合中取PSA=0.5年;PA表示AW周期，在擬合中取PA=1年; PC表示CW周期，在擬合中取PC=1.183年;t為序列的UTC時(shí)間，在進(jìn)行擬合時(shí)單位換算為年。同樣對(duì)于極移Y序列模型，各對(duì)應(yīng)參數(shù)表示含義與X序列模型一樣。

模型中各參數(shù)的求解是通過對(duì)已有極移數(shù)據(jù)序列進(jìn)行最小二乘擬合而得到的。如圖1(a)為1990-01-01—2010-11-23日的PX原始觀測序列，圖1(b)為該段時(shí)間內(nèi)根據(jù)式(1)而得到的PX的最小二乘擬合序列，即極移觀測序列中確定性部分序列。

圖11990 -01-01—2010-11-23PX序列Fig.1Observed series and fitted series of PX from 1990-01-01 to 2010-11-23

2.2 ARIMA(p，1，0)模型

ARIMA模型全稱為求和自回歸移動(dòng)平均模型。該模型實(shí)質(zhì)是d階差分運(yùn)算和ARMA(p，q)模型的結(jié)合。模型參數(shù)中d表示對(duì)原始時(shí)間序列進(jìn)行差分的階數(shù)，p為AR模型階數(shù)，q為WA模型的階數(shù)。ARIMA(p，d，q)進(jìn)行預(yù)報(bào)的基本思想是:先對(duì)原始時(shí)間序列進(jìn)行d階差分，然后對(duì)差分后的時(shí)間序列運(yùn)用ARMA(p，q)進(jìn)行預(yù)報(bào)，最后對(duì)預(yù)報(bào)值進(jìn)行差分逆運(yùn)算得到原始時(shí)間序列的預(yù)報(bào)值［9－11］。

圖2(a)為1990-01-01—2010-11-23日PX確定性模型殘差序列，即PX中隨機(jī)性部分，它是由原始觀測序列與最小二乘模型擬合序列相減而得到。由圖2(a)可以看出，模型殘差序列兩端波動(dòng)較大，中間比較平緩，這是由擬合模型的本身性質(zhì)而導(dǎo)致的:擬合模型在對(duì)原觀測序列進(jìn)行擬合時(shí)，在數(shù)據(jù)兩端是發(fā)散的。本文在對(duì)該部分利用ARIMA進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí)，取d=1，即對(duì)確定性模型殘差序列進(jìn)行一階差分(圖2(b))。

對(duì)于ARMA(p，q)模型，當(dāng)p=0時(shí)，模型可表述為MA(q)，即q階移動(dòng)平均模型;當(dāng)q=0時(shí)，模型可表述為AR(p)，即p階自回歸模型。對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列，判斷符合哪個(gè)模型，可借助該時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)，判定準(zhǔn)則如表1［12］。

對(duì)模型殘差一階差分序列分別求時(shí)間延遲為1～40天的自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)的結(jié)果見圖3。

從圖3可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于PX序列，其確定性模型殘差一階差分序列的自相關(guān)函數(shù)具有拖尾性，偏相

圖21990 -01-01－2010-11-23PX序列Fig.2Residual series of fitting model and the first order differenced series from 1990-01-01 to 2010-11-23

關(guān)函數(shù)具有截尾性，故可采用AR(p)模型進(jìn)行預(yù)報(bào)，即q=0。

AR(p)模型的數(shù)學(xué)模型為:

式中，zt(t=1，2，3，…，n)表示時(shí)間序列，在實(shí)際預(yù)報(bào)中代表確定性模型殘差一階差分序列。φ1，φ2，…，φp為模型參數(shù)，at表示白噪聲，p為模型階數(shù)。對(duì)于模型階數(shù)p的確定，采用最終預(yù)報(bào)誤差準(zhǔn)則，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

表1 時(shí)間序列模型判定準(zhǔn)則Tab.1Judgement criterion of time series model

圖3 差分序列時(shí)間延遲為1～40天的自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)Fig.3Autocorrelation and partial correlation function of the difference series in time－delay from 1 to 40 days

在實(shí)際預(yù)報(bào)中，Mp是用AR(p)模型擬合zt(t= 1，2，3，…，n)序列的剩余均方差。當(dāng)p=1，2，…，N時(shí)使FPE(p)達(dá)到最小時(shí)的p取作模型的階。對(duì)AR模型參數(shù)φ1，φ2，…，φp的求解，采用李文遜［13］遞推算法。

對(duì)于PX確定性模型殘差序列，取參數(shù)d=1，q =0，即ARIMA(p，1，0)進(jìn)行預(yù)報(bào);PY序列與PX序列具有同樣的性質(zhì)，對(duì)于其確定性模型殘差序列同樣采用ARIMA(p，1，0)進(jìn)行預(yù)報(bào)。

2.3 精度評(píng)定指標(biāo)

采用均方誤差(RMSE)作為精度評(píng)定指標(biāo)，其計(jì)算式為:

其中，Pj為j點(diǎn)的預(yù)報(bào)值，Oj為j點(diǎn)的實(shí)際值，i為預(yù)報(bào)跨度，RMSE－i為預(yù)報(bào)跨度為i的均方誤差。

3 實(shí)驗(yàn)分析

為檢驗(yàn)最小二乘外推與ARIMA(p，1，0)組合模型在極移短期預(yù)報(bào)上的有效性與優(yōu)越性，用本文提出的方法與極移預(yù)報(bào)的其他方法進(jìn)行對(duì)比，即在相同的特定時(shí)間段內(nèi)做跨度1～5天的極移短期預(yù)報(bào)，然后分別統(tǒng)計(jì)其預(yù)報(bào)精度。

如表2，方法一為最小二乘外推與AR(p)組合模型［4］，方法二為本文提出的最小二乘外推與ARIMA(p，1，0)組合模型，預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì)為2000年1月1日至2010年11月23日的統(tǒng)計(jì)值。其中極移綜合預(yù)報(bào)精度由式(7)計(jì)算:

表21 －5天預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì)(單位:mas)Tab.2Comparison of prediction accuracy from 1 to 5 days(unit:mas)

從表2可以看出，本文提出的最小二乘外推與ARIMA(p，1，0)組合模型相對(duì)于最小二乘與AR(p)組合模型在極移短期預(yù)報(bào)精度上有較顯著的改善。尤其是對(duì)于跨度為1天的預(yù)報(bào)，其精度改善達(dá)到近38%。隨著跨度增加，精度改善的強(qiáng)度也在減弱。

另外我們還將本文提出的模型與最小二乘外推與ANN組合模型進(jìn)行了對(duì)比。Schuh是對(duì)1999年到2000年內(nèi)700個(gè)預(yù)報(bào)值作的精度統(tǒng)計(jì)［4］，并且只給出了極移綜合預(yù)報(bào)精度，為使實(shí)驗(yàn)對(duì)比更加客觀，我們利用本文提出的方法與其進(jìn)行對(duì)比時(shí)，精度統(tǒng)計(jì)也為相同周期內(nèi)的同樣個(gè)數(shù)的預(yù)報(bào)值。兩種方法1－5天短期預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表3。

表3 在1999—2000時(shí)間段內(nèi)1～5天預(yù)報(bào)精度統(tǒng)計(jì)(單位: mas)Tab.3Comparison of prediction accuracies from 1 to 5 days in the future between this approach and Schuh’approach during 1999—2000(unit:mas)

從表3可以看出，本文提出的方法相對(duì)于Schuh提出的模型在極移1～5天的短期預(yù)報(bào)精度上也有一定的改善，只有跨度為4天的預(yù)報(bào)值綜合精度與Schuh的一樣，而其他跨度均高于Schuh的預(yù)報(bào)精度。

4 總結(jié)與展望

利用最小二乘外推與ARIMA(p，1，0)組合模型對(duì)極移進(jìn)行短期預(yù)報(bào)，其中對(duì)極移的確定性部分，采用最小二乘外推模型進(jìn)行預(yù)報(bào)，而對(duì)極移隨機(jī)性部分的預(yù)報(bào)方法利用ARIMA(p，1，0)對(duì)極移隨機(jī)性部分進(jìn)行預(yù)報(bào)。實(shí)驗(yàn)分析可以發(fā)現(xiàn)，本文的這一嘗試在極移短期預(yù)報(bào)中具有有效性和優(yōu)越性。

在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)隨著預(yù)報(bào)跨度的增加，本文的預(yù)報(bào)方法相對(duì)于另外兩種方法對(duì)預(yù)報(bào)精度的改善強(qiáng)度在逐漸減弱，甚至在10～30天的短期預(yù)報(bào)中，其預(yù)報(bào)精度并不如另外兩種方法，這說明了本文的預(yù)報(bào)方法只適合于極移短期預(yù)報(bào)。

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APPLICATION OF COMBINATIONAL MODEL OF LEAST SQUARES EXTRAPOLATION AND ARIMA(P，1，0)IN SHORT-TERM PREDICTION OF POLAR MOTION

Zhang Hao，Wang Qijie，Zhu Jianjun and Zhang Xiaohong
(Department of Geomatics Engineering，Central South University，Changsha410083)

P207

A

1671-5942(2011)03-0106-04

2011-02-12

國家自然科學(xué)基金委員會(huì)與中國科學(xué)院天文聯(lián)合基金(10878026);中南大學(xué)研究生學(xué)位論文創(chuàng)新基金

張昊，男，1987年生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)镚PS變形監(jiān)測及現(xiàn)代測量數(shù)據(jù)處理.E－mail:zhanghao198706@gmail.com