指數(shù)型分布粗糙地面電磁散射的FDTD研究

朱小敏,任新成,郭立新

(1.西安電子科技大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710071;2.延安大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院,陜西 延安 716000)

0 引言

近年來,隨機粗糙表面電磁散射的理論和實驗研究取得了一系列重要進展。該類問題的應(yīng)用廣泛,如微波遙感中地面目標分類、地面背景中目標檢測及遙感數(shù)據(jù)判讀等均受到地面散射特性的影響。隨機粗糙面散射理論可分為近似解析方法與數(shù)值方法兩大類。近似解析法根據(jù)粗糙表面的粗糙程度,采用不同的物理近似獲得散射場或散射截面的近似解,實現(xiàn)較簡單,但因采用了各種物理近似,故均有一定的適用范圍。數(shù)值法中的FDTD首先由YEE于1966年提出,經(jīng)40多年的發(fā)展已成為一種成熟的數(shù)值方法[1-9]。針對地面散射,文獻[10]用輻射傳輸理論(RT)研究了道路系統(tǒng)體散射特性,用積分方程方法(IEM)分析了地面表面散射特性;文獻[11]用基爾霍夫近似和幾何光學(xué)方法計算了路面背景中目標的電磁散射特性;文獻[12]用積分方程方法計算了指數(shù)型粗糙地面的后向散射系數(shù);文獻[13]用FDTD方法計算了地下目標的雷達散射截面。其中,文獻[10、11]中道路系統(tǒng)均為水泥瀝青路面,采用的方法為近似解析方法。文獻[13]提出了在FDTD中強加入射源的一種新方法,但該法僅對分界面為平面時有效,對粗糙地面問題該加源方法存在較大困難。

本文基于指數(shù)型隨機粗糙地面的模擬方法和土壤介電常數(shù)計算Wang-Schmugge模型,用FDTD對指數(shù)型分布粗糙地面電磁散射特性進行了研究,數(shù)值計算了指數(shù)型分布粗糙地面的雙站散射系數(shù),討論了粗糙面高度起伏均方根、相關(guān)長度、土壤濕度和入射波波長對散射系數(shù)的影響。

1 指數(shù)型粗糙地面模擬與土壤介電常數(shù)

1.1 指數(shù)型粗糙地面模擬

實際自然背景和人造表面均可視作二維粗糙表面模型。在各種二維粗糙表面模型中,當(dāng)模型僅沿坐標系的一個方向發(fā)生變化,在另一個方向幾乎不變時,這類二維粗糙表面可簡化成一維粗糙表面模型。盡管一維粗糙表面是最簡單的粗糙表面模型,但研究一維粗糙表面模型的電磁散射特性仍有重要的實際意義和廣泛的應(yīng)用價值。

一維隨機粗糙面可用蒙特卡羅(MC)法模擬生成[14]。粗糙表面被認為是由大量的諧波疊加而成,諧波的振幅是獨立的高斯隨機變量,其方差正比于特定波數(shù)的功率譜S(kj),由函數(shù)

生成長度為L的一維粗糙表面樣本。此處：xn=nΔx為粗糙表面上第n個離散點(n=1,2,…,N);Δx為粗糙面采樣間隔;kj為離散波數(shù),且kj=2πj/L;j為虛數(shù)單位;F(kj)為f(xn)的空間傅里葉變換,定義為

其中：S(kj)為粗糙表面的功率譜密度;N(0,1)表示均值為0、方差為1的高斯隨機變量。當(dāng)j＞N/2時,F(kj)滿足共軛對稱關(guān)系F(kj)=F*(kN-j)。這樣可保證進行傅里葉逆變換后所得粗糙表面的輪廓f(xn)為實數(shù)。

指數(shù)型分布粗糙表面的功率譜密度為

式中：δ為粗糙面高度起伏均方根;l為相關(guān)長度;k為空間波數(shù)。

處理粗糙面下方土壤模型的方式有多種,最簡單的是將土壤作為各向同性均勻介質(zhì),如考慮土壤濕度隨深度的變化,可將土壤視作分層介質(zhì)。同樣當(dāng)土壤覆蓋冰層或雪層時也常用分層介質(zhì)模型處理。

1.2 土壤介電常數(shù)Wang-Schmugge模型

微波波段土壤的介電常數(shù)對雷達回波的影響很大,介電常數(shù)越大,反射雷達波束的作用越強,透射作用越小。一般來說,土壤的介電常數(shù)主要受入射頻率f、土壤濕度mv、土壤表面溫度T和土壤類型等因素的影響。WANG,SCHMUGGE建立了一種四成分模型[15]。設(shè)土壤的沙土含量為S,黏土含量為C,則土壤的濕度壓縮點

則臨界體濕度

設(shè)土壤中巖石密度為ρr,干土壤密度為ρb,則土壤的積孔率

一般,ρr=2.6 g/cm3,而

當(dāng)mv≤mt時,土壤等效介電常數(shù)

式中：εa為空氣的介電常數(shù),且εa=1.0;εr為巖石的介電常數(shù),且εr=5.0-j0.1;

此處：εi為冰的介電常數(shù),且εi=3.2-j0.1;

當(dāng)mv＞mt時,

式中：

不同土壤類型沙土和黏土含量見表1。

表1 不同土壤類型沙土和黏土含量Tab.1 Sand and clay content of different types soil

2 FDTD方法

一維隨機粗糙面電磁散射幾何關(guān)系如圖1所示。圖中：粗糙面上方為自由空間;下方為各向同性均勻介質(zhì)。粗糙面電磁散射計算的FDTD模型如圖2所示。圖中：總場邊界為平面;下方為總場區(qū);上方為散射場區(qū)。入射波通過設(shè)置在總場邊界上的等效電磁流引入,散射數(shù)據(jù)存儲邊界處于散射場區(qū),由等效原理可求得遠區(qū)散射場。

圖1 一維粗糙面散射幾何示意Fig.1 Geometry of scattering from 1 D rough surface

圖2 粗糙面散射FDTD模型Fig.2 FDTD model of scattering from rough surface

2.1 二維麥克斯韋方程FDTD差分公式

對二維麥克斯韋方程,TM波僅有Ez,Hx,Hy分量,TE波僅有Hz,Ex,Ey分量。以TM波為例,FDTD差分公式為

式中：Δx,Δy分別為FDTD區(qū)域x、y向的離散網(wǎng)格寬度,計算中Yee元胞采用正方形,即Δx=Δy;系數(shù)

此處：Δt為間離散間隔,需滿足Courant穩(wěn)定性條件,本文取cΔt=Δx/2;c為真空中光速;ε為介質(zhì)介電系數(shù);μ為磁導(dǎo)系數(shù);σ為電導(dǎo)率;σm為導(dǎo)磁率[1-3]。CA,CP,CQ中標號m的取值與式(17)～(19)左端場分量節(jié)點的空間位置相同。根據(jù)TE波與TM波間的對耦關(guān)系：ε→μ,μ→ε,σ→σm,σm→σ,E→H,H→-E,可得TE波的FDTD差分公式。

2.2 入射波引入

根據(jù)等效原理在總場邊界設(shè)置等效電磁流,可在總場區(qū)引進入射波,而在散射場區(qū)無入射波。假設(shè)入射角為θi;波數(shù)為ku;為坐標軸方向單位矢量,則

內(nèi)插確定距離d的入射波為

式中：floor表示向下取整?？倛鲞吔缟宵cr的入射場值

為消除截斷邊界處場值突變產(chǎn)生的人為反射,在入射平面波附加平滑的窗函數(shù),常用高斯窗函數(shù)

式中：x0,y0為總場邊界的中心點位置,本文取x0=0,y0=0;選擇的g應(yīng)使窗函數(shù)在總場邊界邊緣處下降為中心點處值的10-3。設(shè)ρm為中心到邊緣最小距離,

則有

2.3 吸收邊界條件

因受限于計算機的容量,FDTD計算只能在有限區(qū)域進行。為能模擬開域電磁散射過程,在計算區(qū)域的截斷邊界處須給出吸收邊界條件[2、4]。二階Mur吸收邊界條件的FDTD差分公式為

a)左側(cè)截斷邊界

b)下側(cè)截斷邊界

右側(cè)與上方截斷邊界差分公式可分別仿照式(30)、(31)寫出。

2.4 近-遠場外推

根據(jù)惠更斯等效原理,在散射體周圍引入虛擬界面A,如圖3所示。設(shè)面A外為真空,如保持界面A處場的切向分量不變,而令面A內(nèi)的場為零,則根據(jù)惟一性定理,圖3中原問題與等效問題在面A外的場有相同的分布。

圖3 等效原理Fig.3 Principle of equal effects

FDTD計算中,在計算達到穩(wěn)態(tài)后提取輸出邊界上場的幅值和相位,用時諧場外推公式進行外推,則有

式中：k為入射波數(shù);Z為波阻抗;φ為散射波與x軸夾角,且φ=90°-θs。此處：θs為散射角。電流矩和磁流矩分量可分別表示為

式中：jEF為輸出邊界節(jié)點坐標。

由式(32)～(34)可得遠區(qū)散射場Es,遠區(qū)雷達散射截面

遠區(qū)散射系數(shù)

3 數(shù)值計算

用本文方法數(shù)值計算了不同θs時指數(shù)型分布粗糙地面雙站散射系數(shù),討論了粗糙面粗糙度參數(shù)高度均方根h與相關(guān)長度l、入射波長λ,以及mv,θi等參數(shù)對散射系數(shù)的影響。數(shù)值計算中,取粗糙面的抽樣長度為50個波長,在數(shù)值離散時每個波長取20個點。為減小誤差,選用100個隨機粗糙面計算,取雙站散射系數(shù)的統(tǒng)計平均值。

在λ=0.03 m,θi=30°,l=1.5λ,ε=8.331 6-j3.258 6(即mv=0.2)條件下,粗糙地面不同h對雙站散射系數(shù)的影響如圖4所示。由圖可知：σ在鏡反射方向(θs=30°)和后向散射方向(θs=-30°)均存在極大值?？傮w而言,σ隨h增大而增大,但鏡反射方向和后向散射的峰值隨h的變化并不明顯。另外,當(dāng)h較小時,θs在30°～70°和-30°～-70°范圍內(nèi)散射系數(shù)起伏較大,存在若干明顯的極值,但隨著h的增大,這些起伏逐漸減小,極值并不明顯。

圖4 粗糙地面均方根對散射系數(shù)的影響Fig.4 Influence of root mean squareof rough land surface on scattering coefficient

在λ=0.03 m,θi=30°,h=0.5λ,mv=0.2條件下,不同l對雙站散射系數(shù)的影響如圖5所示。由圖可知：l對雙站散射系數(shù)的影響較復(fù)雜,無明顯的單調(diào)變化規(guī)律。比較TM、TE波可發(fā)現(xiàn)：θs在20°～70°和-20°～-70°范圍內(nèi),TE波散射系數(shù)較TM波小5～15 d B,TE波的鏡向和后向散射幅度基本不變,TM波的鏡向散射幅度隨l增大而略減小。

圖5 粗糙地面相關(guān)長度對散射系數(shù)的影響Fig.5 Influence of correlation length of rough land surfaceon scattering coefficient

圖6 土壤濕度對散射截面的影響Fig.6 Influenceof moisture capacity of soil on scattering coefficient

在λ=0.03 m,θi=30°,h=0.2λ,l=1.5λ條件下,不同mv對雙站散射系數(shù)的影響如圖6所示。濕度的變化實質(zhì)是土壤介電常數(shù)的變化。利用式(9)、(15),若土壤類型為沙壤土,土壤表面溫度為15℃,計算不同濕度時土壤的介電常數(shù),通過FDTD計算可得土壤濕度對雙站散射系數(shù)的影響曲線。由圖可知：散射系數(shù)隨濕度增加而增大,TM波鏡向散射與后向散射的幅值隨濕度增加而增大,TE波鏡向散射與后向散射的幅值基本不變。

在θi=30°,h=6 mm,l=45 mm的條件下,mv=0.2、εr變化和εr=3.75-j1.06、mv變化時不同λ對雙站散射系數(shù)的影響分別如圖7、8所示。由圖7可知：當(dāng)濕度相同時,TM波鏡向和后向散射幅值隨入射波長減小而變小;TE波的鏡向和后向散射幅值基本不隨波長而變,另外除鏡向外,當(dāng)θs＞-20°時,λ越小,雙站RCS就越大。由圖8可知：當(dāng)εr相同時,鏡向和后向散射的變化規(guī)律與圖7相似,TM、TE波均顯示當(dāng)θs＞-20°時,除鏡向外散射系數(shù)隨波長減小而增大。

圖7 土壤濕度相同時入射波長對散射截面的影響Fig.7 Influence of length of incidence wave on scattering coef ficient with the same soil moisture

圖8 介電常數(shù)相同時入射波長對散射截面的影響Fig.8 Influence of length of incidencewave on scattering coefficient with thesame permittivity

4 結(jié)束語

本文用FDTD方法研究了指數(shù)型分布粗糙地面的電磁散射特性,分析了雙站散射系數(shù)隨粗糙地面高度起伏均方根、相關(guān)長度、土壤濕度,以及入射波長等參數(shù)變化的規(guī)律。數(shù)值計算結(jié)果表明：雙站散射系數(shù)隨粗糙地面高度起伏均方根、相關(guān)長度、土壤濕度和入射波長等參數(shù)變化的規(guī)律非常復(fù)雜。本文采用指數(shù)型粗糙面模擬實際的粗糙地面,用FDTD研究了該粗糙面的電磁散射問題,且僅限于一維的情形,計算結(jié)果有待于實驗驗證。對分形地面及二維粗糙地面的電磁散射等其他類型的粗糙地面還有待后續(xù)研究。

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