應(yīng)用非連續(xù)模型研究斷層對(duì)地殼應(yīng)力的影響

(中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院 計(jì)算地學(xué)研究中心，湖南 長(zhǎng)沙，410083)

地殼應(yīng)力是地震預(yù)測(cè)和地震危險(xiǎn)性評(píng)價(jià)的一個(gè)重要依據(jù)，也是地質(zhì)環(huán)境、地質(zhì)工程、巖土工程設(shè)計(jì)和施工的重要基礎(chǔ)參數(shù)[1?2]。地質(zhì)構(gòu)造運(yùn)動(dòng)會(huì)引起地殼形變和應(yīng)力，地應(yīng)力局部集中會(huì)造成地震活動(dòng)和巖體破壞。若巖體內(nèi)存在斷裂等不連續(xù)面, 則其附近的應(yīng)力狀態(tài)會(huì)發(fā)生復(fù)雜的變化[3?5]。地應(yīng)力是一個(gè)地區(qū)的區(qū)域穩(wěn)定性和巖體穩(wěn)定性的重要因素，它對(duì)建筑物、構(gòu)筑物和地下工程的安全有直接的影響。圍巖發(fā)生失穩(wěn)破壞大多沿巖體不連續(xù)面即節(jié)理、斷層或者附近進(jìn)行。在巖體高應(yīng)力區(qū)，邊坡開挖、隧洞穿鑿、巷道采礦、地下空間工程等巖體開挖會(huì)引起一系列與應(yīng)力釋放相關(guān)的巖體變形和破壞現(xiàn)象，惡化巖體的工程地質(zhì)條件，直接威脅到施工工程的安全和穩(wěn)定[6?8]。因此，對(duì)地應(yīng)力的研究受到工程地質(zhì)界的廣泛重視。在工程力學(xué)模擬計(jì)算中，往往采用連續(xù)變形算法，這對(duì)斷裂構(gòu)造的模擬有很大的不足，在理論計(jì)算和工程分析中都難免出現(xiàn)相當(dāng)大的誤差甚至錯(cuò)誤[9]，特別是當(dāng)存在一些大斷裂和斷裂兩側(cè)地殼變形躍變劇烈時(shí)，仍然采用連續(xù)變形算法是不夠的。計(jì)算機(jī)技術(shù)和計(jì)算方法的發(fā)展，不連續(xù)體概念和不連續(xù)變形理論逐漸成熟，為工程力學(xué)數(shù)值模擬和計(jì)算地球科學(xué)提供了新的方法[10?13]。在此，本文作者采用非連續(xù)接觸單元模擬斷層，根據(jù)庫(kù)侖摩擦準(zhǔn)則判斷剪切滑動(dòng)和計(jì)算剪切應(yīng)力，通過有限元數(shù)值模擬方法來(lái)探討斷層各要素對(duì)地殼應(yīng)力的影響。

1 理論和方程

地殼巖石往往被斷層分割成眾多離散的塊體，塊體內(nèi)部的變形可以采用固體力學(xué)方程來(lái)描述，而不同塊體彼此之間則表現(xiàn)為斷層接觸關(guān)系。模型遵循的物理力學(xué)方程如下[14]。

(1) 平衡方程。物體平衡的力學(xué)條件為：

(2) 幾何方程。物體在應(yīng)力作用下產(chǎn)生形變，應(yīng)變和位移滿足如下幾何關(guān)系：

(3) 本構(gòu)方程。對(duì)于各向同性線彈性材料，應(yīng)力與應(yīng)變對(duì)載荷的響應(yīng)符合胡克定律：

其中：σij為應(yīng)力；εij為應(yīng)變；fi為體力；xi為坐標(biāo)；ui為位移；θ為體應(yīng)變；λ和μ為拉梅系數(shù)，λ=Eν/[(1+ν)(1?2ν)]，μ=E/[2(1+ν)]；E和ν分別為彈性模量和泊松比；δij為 Kronecker變量，若i=j，則δij=1；若i≠j，則δij=0。

(4) 接觸應(yīng)力方程。斷層往往不只是一個(gè)簡(jiǎn)單的錯(cuò)動(dòng)面，而是相對(duì)圍巖稍微軟弱的斷層帶。斷層帶和圍巖自身的變形是連續(xù)的，但二者之間是不連續(xù)的接觸關(guān)系。由于斷層帶和圍巖的接觸區(qū)域通常并不完全確定，所以，本文模型采用點(diǎn)/面接觸方式來(lái)處理二者的接觸關(guān)系。將斷層帶與圍巖的接觸邊界相互視為對(duì)方的接觸面和目標(biāo)面，從而組成接觸對(duì)，然后，通過接觸力學(xué)方法分析斷層的受力和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)[15]。接觸分析需要計(jì)算垂直于目標(biāo)面的法向接觸應(yīng)力和平行于目標(biāo)面的切向接觸應(yīng)力，采用Pinball算法進(jìn)行計(jì)算。

接觸面和目標(biāo)面之間的間隙(穿透量)用g來(lái)表示，當(dāng)接觸面穿過目標(biāo)面時(shí)，就發(fā)生接觸穿透，規(guī)定此時(shí)g為負(fù)值。采用罰函數(shù)法計(jì)算法向接觸應(yīng)力：

其中：fn為法向接觸應(yīng)力；Kn為法向接觸剛度。

切向接觸應(yīng)力是由接觸面在目標(biāo)面上移動(dòng)所產(chǎn)生的摩擦力引起的，若接觸面沿目標(biāo)面的切向位移的彈性分量為，則切向接觸應(yīng)力為：

其中：ft為切向接觸應(yīng)力；Kt為切向接觸剛度；F為靜態(tài)/動(dòng)態(tài)摩擦因子；τ為庫(kù)侖滑動(dòng)摩擦力：τ=κfn；κ為摩擦因數(shù)。

2 模型和邊界條件

2.1 基本假設(shè)

對(duì)于發(fā)育斷層的二維平面地殼模型，進(jìn)行以下假設(shè)：

(1) 斷層帶與圍巖都為各向同性的線彈性材料；

(2) 斷層帶相對(duì)圍巖較軟弱；

(3) 斷層帶與圍巖為非連續(xù)的接觸關(guān)系；

(4) 斷層帶與圍巖之間的相對(duì)滑動(dòng)符合庫(kù)侖摩擦定律；

(5) 頂板和底板的垂向剛度極大而水平剪切剛度極小。

2.2 模型的建立

采用二維平面模型，考慮水平面上的正方形巖體和其中的不同幾何形態(tài)的非貫通型斷層。巖體長(zhǎng)×寬為1 km×1 km，斷層帶寬度為10 m。對(duì)于具有一定寬度的斷層帶，非連續(xù)模型將其外邊界處理為與巖體緊挨的接觸面。

2.3 模型力學(xué)參數(shù)

真實(shí)材料參數(shù)本應(yīng)從實(shí)驗(yàn)中獲取，但不同時(shí)代、不同地區(qū)、不同深度、不同性質(zhì)巖石的參數(shù)都不盡相同。本文進(jìn)行一般性討論，巖體和斷層帶的密度、彈性模量、泊松比和摩擦因數(shù)在合理范圍內(nèi)取值[16]。對(duì)于接觸力學(xué)參數(shù)，如法向接觸剛度因子、切向接觸剛度因子和靜態(tài)/動(dòng)態(tài)摩擦因子，本文均取 1.0，這適合于ANSYS求解大多數(shù)接觸問題[15]。巖體和斷層接觸面的摩擦因數(shù)為0.4。除了在分析斷層帶力學(xué)參數(shù)對(duì)地殼應(yīng)力的影響時(shí)需要改變斷層帶的彈性模量和泊松比外，所有模型均采用表1所示的參數(shù)。

表1 有限元模型力學(xué)參數(shù)Table 1 Mechanical parameters of finite element model

2.4 邊界條件

模型受到區(qū)域最大主應(yīng)力σ1和最小主應(yīng)力σ3的擠壓作用，σ1=10 MPa，σ3=5 MPa。模型左邊界和前部邊界在法向上被約束，右邊界施加最大主應(yīng)力σ1，后部邊界施加最小主應(yīng)力σ3。所有邊界剪切自由。

巖體中發(fā)育的1條平直斷層模型的有限元分網(wǎng)及邊界條件如圖1所示。其他模型有與此相同的邊界條件，只是斷層幾何形態(tài)有所不同。

圖1 有限元模型及邊界條件Fig.1 Finite element model with boundary conditions

3 計(jì)算結(jié)果及分析

3.1 連續(xù)模型和非連續(xù)模型地殼應(yīng)力狀態(tài)的比較

連續(xù)模型與非連續(xù)模型的區(qū)別在于后者考慮了斷層帶與圍巖之間不連續(xù)運(yùn)動(dòng)的接觸關(guān)系，在結(jié)合處通過接觸單元把二者聯(lián)系起來(lái)，二者在接觸位置可以發(fā)生錯(cuò)動(dòng)；而對(duì)于連續(xù)模型，斷層帶與圍巖在結(jié)合處具有公共節(jié)點(diǎn)，因此，二者之間不會(huì)發(fā)生錯(cuò)動(dòng)(圖2)。

圖2 連續(xù)模型與非連續(xù)模型示意圖Fig.2 Schematic diagrams of continuous and discontinuous model

采用相同的模型參數(shù)和邊界條件分別計(jì)算連續(xù)模型和非連續(xù)模型的地殼應(yīng)力，結(jié)果表明無(wú)論是連續(xù)模型還是非連續(xù)模型，斷層及圍巖的應(yīng)力狀態(tài)表現(xiàn)出 3個(gè)相同的特點(diǎn)：(1) 弱化了斷層帶兩端局部較小區(qū)域的最大主應(yīng)力；(2) 斷層帶具有較高的剪切應(yīng)力；(3) 最大主應(yīng)力和剪切應(yīng)力的高值都位于斷層端部。但是，非連續(xù)模型在更大程度上明顯地影響了斷層端部的最大主應(yīng)力和剪切應(yīng)力分布狀態(tài)。沿著斷層的最大主應(yīng)力和剪切應(yīng)力進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)非連續(xù)模型比連續(xù)模型更加突出了斷層對(duì)其附近地殼應(yīng)力的影響作用(圖3)。上述特征表明：非連續(xù)模型能夠更好地模擬斷層，有效克服了單純使用軟弱帶模擬斷層而不考慮其不連續(xù)運(yùn)動(dòng)所導(dǎo)致的應(yīng)力削弱的問題。

3.2 連續(xù)模型和非連續(xù)模型斷層走滑變形特征的比較

圖3 連續(xù)模型和非連續(xù)模型地殼應(yīng)力沿?cái)鄬拥淖兓疐ig.3 Changes of crustal stress along fault of continuous and discontinuous model

斷層走滑量可以通過計(jì)算斷層兩側(cè)與斷層帶接觸的巖體單元節(jié)點(diǎn)在斷層走滑方向上的位移之差得到，而且可以根據(jù)位移關(guān)系推測(cè)斷層的走滑性質(zhì)。圖4所示為連續(xù)模型和非連續(xù)模型斷層走滑方向上的位移沿 1條垂直于斷層的跨斷層測(cè)線的變化(測(cè)線見圖1，方向?yàn)樽笊稀蚁?。從圖4可以看出：在給定的區(qū)域構(gòu)造應(yīng)力作用下，連續(xù)模型和非連續(xù)模型都反映出斷層發(fā)生了左旋走滑作用，但二者給出的走滑量相差很大：非連續(xù)模型斷層走滑量為1.73 cm，而連續(xù)模型的走滑量?jī)H為0.32 cm；非連續(xù)模型斷層走滑變形由3段構(gòu)成，其中第1和第3段為斷層帶與圍巖之間的不連續(xù)錯(cuò)動(dòng)，第2段為斷層帶內(nèi)部的連續(xù)變形，且走滑量主要為不連續(xù)錯(cuò)動(dòng)所貢獻(xiàn)；而連續(xù)模型斷層僅有斷層帶的連續(xù)變形這一部分，由于斷層帶與圍巖在結(jié)合處具有公共節(jié)點(diǎn)，故二者并沒有發(fā)生錯(cuò)動(dòng)。野外地質(zhì)觀察到的大量擦痕和階步是斷層不連續(xù)錯(cuò)動(dòng)的具體體現(xiàn)，而非連續(xù)模型可以通過接觸單元描述斷層帶與圍巖之間的這種不連續(xù)變形，進(jìn)一步表明非連續(xù)模型比連續(xù)模型能夠更好地模擬斷層。

圖4 連續(xù)模型和非連續(xù)模型斷層走滑方向上的位移沿跨斷層測(cè)線的變化(測(cè)線見圖1)Fig.4 Changes of displacement in fault strike-slipping direction along test line A-B striding over fault of continuous and discontinuous kinematic model(test line shown in Fig.1)

由于斷層端部是地殼應(yīng)力的高值分布區(qū)即應(yīng)力集中區(qū)，該處應(yīng)力狀態(tài)能夠較好地反映斷層對(duì)地殼應(yīng)力的影響。

3.3 斷層力學(xué)參數(shù)對(duì)地殼應(yīng)力的影響

3.3.1 彈性模量的影響

采用相同的非連續(xù)模型計(jì)算只改變斷層彈性模量時(shí)地殼應(yīng)力的變化，結(jié)果如圖5所示。從圖5可以看出：隨著彈性模量的增大，斷層端部的最大主應(yīng)力和剪切應(yīng)力明顯減小，盡管最大主應(yīng)力并沒有像剪切應(yīng)力那樣一直遞減，但數(shù)值的變化是顯而易見的；斷層中部的最大主應(yīng)力變化很大，但剪切應(yīng)力的變化較?。粩鄬舆h(yuǎn)處的最大主應(yīng)力和剪切應(yīng)力的變化都很小，表明斷層端部地殼應(yīng)力對(duì)斷層的彈性模量非常敏感。確切地說，單獨(dú)改變斷層彈性模量實(shí)際上是改變了圍巖與斷層彈性模量的差別。當(dāng)斷層彈性模量取較小值時(shí)，斷層與圍巖的彈性模量的差別較大，斷層端部具有較大的最大主應(yīng)力和剪切應(yīng)力。因此推斷：在相同的區(qū)域主應(yīng)力作用下，圍巖與斷層的彈性模量相差越大，斷層端部的地殼應(yīng)力就越大。

3.3.2 泊松比的影響

采用相同的非連續(xù)模型計(jì)算只改變斷層泊松比時(shí)地殼應(yīng)力的變化，如圖6所示。從圖6可以看出：斷層中部和遠(yuǎn)處的最大主應(yīng)力和剪切應(yīng)力幾乎都不隨泊松比的改變而變化。盡管斷層端部應(yīng)力有隨泊松比增大而減小的微弱趨勢(shì)，但變化量非常小，表明斷層泊松比對(duì)地殼應(yīng)力的影響是微弱的。

圖5 非連續(xù)模型斷層附近地殼應(yīng)力與斷層彈性模量的關(guān)系Fig.5 Relationship between crustal stress near faults and elastic modulus of faults for discontinuous model

圖6 非連續(xù)模型斷層附近地殼應(yīng)力與斷層泊松比的關(guān)系Fig.6 Relationship between crustal stress near faults and poisson ratio of faults for discontinuous model

3.4 斷層與區(qū)域主應(yīng)力具有不同夾角時(shí)斷層端部地殼應(yīng)力的變化

采用相同的力學(xué)參數(shù)計(jì)算改變斷層與區(qū)域最大主應(yīng)力的夾角(θ)時(shí)斷層端部地殼應(yīng)力的變化，如圖7所示。從圖7可以看出：斷層端部最大主應(yīng)力和剪切應(yīng)力都隨θ的改變而變化。最大主應(yīng)力在θ約為45°時(shí)具有極大值，剪切應(yīng)力在θ約為25°和70°時(shí)具有極大值。盡管應(yīng)力極大值對(duì)應(yīng)的具體角度可能有誤差，但在一定程度上反映了斷層端部地殼應(yīng)力與斷層和區(qū)域主應(yīng)力之間夾角的變化關(guān)系。連續(xù)模型與非連續(xù)模型有相似的變化特征，只是前者在數(shù)量上比后者的小。

3.5 復(fù)合斷層對(duì)地殼應(yīng)力的影響

在地質(zhì)構(gòu)造活動(dòng)強(qiáng)烈的地區(qū)，復(fù)合斷層是很常見的，根據(jù)斷層的發(fā)育關(guān)系大致可歸納為2類：近似平行斷層和交叉斷層。平行斷層和交叉斷層對(duì)地殼應(yīng)力的影響采用非連續(xù)模型進(jìn)行計(jì)算和討論。

3.5.1 平行斷層的影響

考慮2條長(zhǎng)、寬相同的平行斷層，改變其中一條斷層與另一條固定斷層的距離，計(jì)算固定斷層端部地殼應(yīng)力的變化，如圖8所示。從圖8可以看出：最大主應(yīng)力和剪切應(yīng)力都隨斷層間距減小而逐漸增大，但是，當(dāng)斷層間距較大時(shí)，應(yīng)力的變化非常小，此時(shí)平行斷層對(duì)地殼應(yīng)力的影響幾乎可以忽略。僅在斷層間距很近時(shí)，應(yīng)力隨距離減小而快速增大。但是，無(wú)論是最大主應(yīng)力還是剪切應(yīng)力，應(yīng)力的絕對(duì)改變量都并不是很大，表明平行斷層是地殼應(yīng)力比較弱的影響因素。

圖7 斷層端部地殼應(yīng)力與斷層和區(qū)域最大主應(yīng)力之間夾角θ的關(guān)系Fig. 7 Relationship between crustal stress at end of faults and angle θ between fault-strike and regional maximum principal stress

圖8 非連續(xù)模型斷層端部地殼應(yīng)力與平行斷層間距d的關(guān)系Fig.8 Relationship between crustal stress at end of faults and distance d between two parallel faults for discontinuous model

3.5.2 交叉斷層的影響

交叉斷層的宏觀形態(tài)多為“X”形，計(jì)算“X”形交叉斷層具有不同夾角(β)時(shí)的地殼應(yīng)力，結(jié)果表明：除了斷層端部，斷層交叉處也是應(yīng)力的集中區(qū)，這與孤立斷層的地殼應(yīng)力狀態(tài)明顯不同；應(yīng)力擾動(dòng)范圍隨交叉斷層夾角的變化而發(fā)生改變；在斷層交叉處附近，位于區(qū)域最大主應(yīng)力(σ1)方向上的 2個(gè)三角區(qū)的最大主應(yīng)力表現(xiàn)為應(yīng)力強(qiáng)化，而位于區(qū)域最小主應(yīng)力(σ3)方向上的2個(gè)三角區(qū)的最大主應(yīng)力表現(xiàn)為應(yīng)力弱化；斷層交叉處及附近的剪切應(yīng)力表現(xiàn)為高值且呈中心對(duì)稱形態(tài)。圖9顯示了地殼應(yīng)力與交叉斷層夾角(β)的關(guān)系。從圖 9可以看出：交叉斷層夾角對(duì)地殼應(yīng)力的影響很大。

圖9 非連續(xù)模型斷層交叉處地殼應(yīng)力與斷層夾角β的關(guān)系Fig.9 Relationship between crustal stress at faults crossing point and intersecting angle β of two faults for discontinuous model

4 結(jié)論

(1) 非連續(xù)模型比連續(xù)模型能夠更好地模擬斷層，突出了斷層對(duì)地殼應(yīng)力的影響作用，克服了單純使用軟弱帶模擬斷層所導(dǎo)致的應(yīng)力削弱現(xiàn)象。

(2) 非連續(xù)模型通過接觸單元可以描述連續(xù)模型所不能反映的斷層帶與圍巖之間的不連續(xù)錯(cuò)動(dòng)。

(3) 斷層端部和復(fù)合斷層交叉處附近是應(yīng)力集中區(qū)；斷層帶具有較高的剪切應(yīng)力，但其自身及附近局部區(qū)域的最大主應(yīng)力受到了一定的弱化。

(4) 斷層的彈性模量、斷層與區(qū)域主應(yīng)力的夾角和交叉斷層是地殼應(yīng)力的重要影響因素，平行斷層是弱影響因素，斷層泊松比對(duì)地殼應(yīng)力的影響不大。

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