二期恒載對(duì)大跨度斜拉橋車橋耦合振動(dòng)的影響

郭文華 ，陳代海，李整

(1. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410075；2. 中南大學(xué) 高速鐵路建造技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙，410075)

斜拉橋隨著跨徑的增大，結(jié)構(gòu)趨于輕薄長(zhǎng)細(xì)化，二期恒載與主梁自重的比值增大，其對(duì)結(jié)構(gòu)的影響愈加明顯。特別是在車輛荷載作用下，屬于輕型柔性體系的大跨度斜拉橋的動(dòng)力敏感性更加顯著。橋梁自重的增加意味著車輛的重量在整個(gè)車橋系統(tǒng)中所占比重減小，這勢(shì)必會(huì)減弱車輛對(duì)橋梁的沖擊作用。二期恒載對(duì)大跨度斜拉橋車橋耦合振動(dòng)的影響應(yīng)引起我們的重視。目前，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)大跨度斜拉橋的車橋耦合振動(dòng)進(jìn)行了研究[1?6]，有關(guān)不同因素對(duì)車橋振動(dòng)影響的文獻(xiàn)也不少[7?13]。李小珍等[5?7]分析了大跨度公鐵兩用斜拉橋車橋振動(dòng)響應(yīng)，討論了不同主梁豎曲線車橋動(dòng)力響應(yīng)的影響；Yau等[8]對(duì)斜拉橋的車橋振動(dòng)進(jìn)行了減振分析；向俊等[9]研究了貨物列車編組對(duì)列車?橋梁系統(tǒng)空間振動(dòng)的影響；萬(wàn)信華等[10]研究了由非平整橋面引起大跨斜拉橋車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)。然而，對(duì)于二期恒載對(duì)大跨度斜拉橋車橋耦合振動(dòng)的影響問(wèn)題至今很少有人進(jìn)行詳細(xì)的研究。在此，本文作者根據(jù)車橋耦合系統(tǒng)振動(dòng)分析理論及編制的計(jì)算程序，采用輕軌車和汽車空間振動(dòng)模型，以某公軌兩用斜拉橋方案為研究對(duì)象，對(duì)拉索、主桁和橋塔分別采用空間桿單元和空間梁?jiǎn)卧M，用梁格法離散橋面板，計(jì)算了輕軌車和汽車同時(shí)通過(guò)該橋時(shí)的車橋耦合空間振動(dòng)響應(yīng)，探討二期恒載對(duì)大跨度斜拉橋車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)的影響。

1 車橋分析模型

1.1 機(jī)車車輛模型

車輛動(dòng)力學(xué)模型采用二系彈簧多剛體多自由度的機(jī)車車輛計(jì)算模型，假定車體和轉(zhuǎn)向架都是剛體，不考慮車輛縱向振動(dòng)的影響，每節(jié)車輛由車體、前后轉(zhuǎn)向架3個(gè)剛體組成，車體與前后轉(zhuǎn)向架各考慮其側(cè)擺、浮沉、側(cè)滾、點(diǎn)頭和搖頭5個(gè)自由度[14]，模型可參考文獻(xiàn)[14]。

1.2 汽車模型

公路汽車采用由彈簧、阻尼器相連的多剛體模型，彈簧均為線性的，阻尼按黏性阻尼計(jì)算，汽車的車輪與橋面豎向密貼，將隨機(jī)橋面粗糙度作為激勵(lì)輸入。汽車車身具有浮沉、點(diǎn)頭和側(cè)滾3個(gè)自由度，4個(gè)車輪分別具有1個(gè)浮沉自由度，每輛汽車總共有7個(gè)自由度[15]，模型可參考文獻(xiàn)[15]。

1.3 路面粗糙度和軌道不平順模型

在選定功率譜密度函數(shù)之后，運(yùn)用Monte Carlo隨機(jī)模擬方法，通過(guò)譜呈現(xiàn)的方法來(lái)模擬橋面粗糙度和軌道不平順[14]。

式中：r(x)為不同位置處的橋面粗糙度或軌道不平順；為功率譜密度函數(shù)；θk為[0，2π]內(nèi)的均勻分布的幅角；k為在給定的譜密度間隔內(nèi)的第k個(gè)空間頻率。其中：

式中：N為最大空間頻率和最小空間頻率之間的間隔總數(shù)。

1.4 橋梁模型

1.4.1 橋梁簡(jiǎn)介

某公軌兩用斜拉橋方案的跨徑布置為 222.5 m+445 m+190.5 m，雙塔單索面，上層為4車道公路，下層為雙線輕軌，主梁采用倒梯形斷面的鋼桁梁，桁架為三角形桁架，桁寬13 m，桁高12 m，節(jié)間長(zhǎng)16 m。鋼筋混凝土橋塔，塔高163.6 m，每個(gè)塔有9對(duì)索與主梁相連，構(gòu)成扇形索面。圖1所示為全橋有限元模型。二期恒載包括橋面鋪裝、欄桿、檢修道、電纜支架和軌道結(jié)構(gòu)等，主橋二期恒載約為201 kN/m。鋼桁梁(指除索和塔之外的鋼結(jié)構(gòu)部分)自重約為173.8 kN/m，二期恒載與鋼桁梁自重的比值為1.16。

圖1 全橋有限元模型Fig.1 Finite element model of bridge

1.4.2 計(jì)算模型

采用空間有限元法對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的真實(shí)情況進(jìn)行離散。按照梁格法的基本思路，將橋面板的剛度通過(guò)改變縱橫梁截面形狀的方式計(jì)入到縱橫梁中，為了避免重復(fù)考慮橋面板的質(zhì)量，需要將改變截面后的橫梁或縱梁的質(zhì)量進(jìn)行折減，從而，橋面可簡(jiǎn)化成由弦桿、縱梁、橫梁、橫隔梁組成的梁格體系。桁架主梁的各部分桿件，包括上下弦桿、腹桿和橋塔采用空間梁?jiǎn)卧獊?lái)模擬，斜拉索離散成空間桿單元，由于自重垂曲引起的非線性效應(yīng)，采用按 Ernst 公式對(duì)其彈性模量進(jìn)行修正的方法加以考慮。當(dāng)考慮橋面二期恒載時(shí)，則將其轉(zhuǎn)化為質(zhì)量點(diǎn)施加于相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上。全橋節(jié)點(diǎn)數(shù)共計(jì)4 735個(gè)，單元數(shù)共計(jì)7 319個(gè)。

2 車橋分析方法

由于橋梁多采用彈性連續(xù)體模擬，故可用常規(guī)有限元法首先得到橋梁自身的質(zhì)量矩陣Mb、剛度矩陣Kb和阻尼矩陣Cb，而輕軌車、汽車多采用彈簧、阻尼相連的多剛體模型，易于單獨(dú)計(jì)算作用在運(yùn)行于橋梁上的車輛的慣性力、阻尼力、彈性力及相應(yīng)虛功。

以汽車的多剛體模型為例，質(zhì)量可分為兩類。第一類質(zhì)量位于剛體上，剛體一般有獨(dú)立的車輛自由度；第二類質(zhì)量位于接觸點(diǎn)上，接觸點(diǎn)不具有獨(dú)立的自由度，一般由橋梁自由度和相關(guān)路面粗糙度確定。計(jì)算全部第一類質(zhì)量的慣性力所作虛功，提取相應(yīng)質(zhì)量系數(shù)，直接形成汽車質(zhì)量子矩陣Mv。計(jì)算全部第二類質(zhì)量的慣性力所作虛功，提取相應(yīng)質(zhì)量系數(shù)，可直接形成由汽車慣性力引起的附加橋梁質(zhì)量子矩陣Mbbv；提取相應(yīng)荷載系數(shù)，可直接形成由汽車慣性力引起的對(duì)橋梁的附加荷載子列陣Pbvr1。彈簧也可分為2類：第一類彈簧連接兩個(gè)剛體，兩端產(chǎn)生的相對(duì)位移僅與車輛自由度相關(guān)；第二類彈簧一端連接剛體，一端位于接觸點(diǎn)處，它兩端產(chǎn)生的相對(duì)位移不僅與車輛自由度相關(guān)，還與橋梁自由度和路面粗糙度有關(guān)。計(jì)算全部第一類彈簧的彈性力所作虛功，提取相應(yīng)剛度系數(shù)，直接形成汽車剛度子矩陣Kv。計(jì)算全部第二類彈簧的彈性力所作虛功，提取相應(yīng)剛度系數(shù)，可直接形成附加的汽車剛度子矩陣Kv1、車橋耦合剛度矩陣Kbv1和Kvb1以及附加的橋梁剛度子矩陣Kbbv1；提取相應(yīng)荷載系數(shù)，可直接形成對(duì)橋梁的附加荷載列陣Pbvr2和對(duì)汽車的附加荷載列陣Pvr2。相應(yīng)阻尼矩陣的形成可用類似于剛度矩陣形成的方法。汽車的輪重作為外荷載引起對(duì)橋梁的附加荷載列陣Pbvg。同理，與輕軌車相關(guān)的矩陣亦可求得。

將車與橋梁視為一個(gè)整體系統(tǒng)，根據(jù)Guo等[15-16]提出的一種易于計(jì)算機(jī)實(shí)施的全計(jì)算化原理，將單獨(dú)橋梁振動(dòng)方程直接擴(kuò)充為橋梁—輕軌車—汽車耦合系統(tǒng)的振動(dòng)方程：

式中：vb，bv˙和bv˙˙分別為橋梁節(jié)點(diǎn)的位移、速度和加速度列陣；vv，vv˙和vv˙˙分別為汽車的位移、速度和加速度列陣；mv，mv˙和mv˙˙分別為輕軌車的位移、速度和加速度列陣。

當(dāng)車輛運(yùn)行于橋梁上，上述橋梁—輕軌車—汽車耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為一組變系數(shù)的二階微分方程。需要注意的是，隨著車輛位置的變化，并不是所有的子矩陣都是隨時(shí)間變化的，如：Mb，Mv，Mm，Kb，Kv，Kv1，Km，Km1，Cb，Cv，Cv1，Cm和Cm1。在編制計(jì)算程序時(shí)，這些子矩陣可專門儲(chǔ)存起來(lái)，以便隨時(shí)調(diào)用。而有些子矩陣(Mbbv，Mbbm，Kbbv1，Kbbm1，Kbv1，Kvb1，Kbm1，Kmb1，Cbbv1，Cbbm1，Cbv1，Cvb1，Cbm1 和Cmb1)及所有的荷載子列陣都是時(shí)變的，它們需根據(jù)每一步不同的車輛運(yùn)行位置來(lái)重新形成，并疊加到相應(yīng)的位置。

采用直接積分法[17?18]求解式(4)，可同時(shí)得到橋梁、輕軌車和汽車的空間動(dòng)力響應(yīng)。根據(jù)上述原理，用 Fortran語(yǔ)言編制了橋梁—輕軌車—汽車耦合系統(tǒng)動(dòng)力分析軟件BTVIP(Bridge Train Vehicle Interaction Program)。

3 計(jì)算結(jié)果與分析

3.1 橋梁自振特性計(jì)算與分析

基于上述有限元模型，采用編制的橋梁動(dòng)力分析程序?qū)υ撔崩瓨蛟谑欠袷┘佣诤爿d的情況下的自振特性進(jìn)行分析。橋梁前5階自振頻率的計(jì)算結(jié)果如表1所示，前2階振型如圖2～3所示。

從計(jì)算結(jié)果可以看出：一階側(cè)彎的振型先于一階豎彎出現(xiàn)，說(shuō)明橋梁的面外剛度要弱于面內(nèi)剛度；由于鋼桁梁與主塔之間采用了剛度系數(shù)很大的彈性連接，因此，沒(méi)有出現(xiàn)頻率較低的體系縱飄振型；將兩種模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比后發(fā)現(xiàn)，如施加二期恒載，結(jié)構(gòu)的自振頻率下降幅度較大，說(shuō)明二期恒載對(duì)結(jié)構(gòu)體系本身影響明顯。

3.2 車橋耦合振動(dòng)計(jì)算與分析

進(jìn)行車橋耦合振動(dòng)計(jì)算時(shí)，每線輕軌車輛采用 6節(jié)車編組，計(jì)算速度取為 60 km/h?？紤]到重型車輛對(duì)橋梁的動(dòng)力作用影響相對(duì)較大，因此，特選用 20輛重型汽車為1個(gè)車列，車輛采用10 m等間距，計(jì)算速度取 60 km/h。具體計(jì)算時(shí)主要考慮如下工況：?jiǎn)尉€輕軌在左側(cè)軌道運(yùn)行+雙線汽車同向在左行車道 1和2上運(yùn)行(距離橋梁中線較遠(yuǎn)處為車道1)。上述中的“左”表示從南岸往北岸方向時(shí)橋梁中線的左側(cè)。為分析二期恒載對(duì)車橋系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響，選取了7種橋梁模型進(jìn)行計(jì)算，模型的不同之處在于施加的二期恒載，模型中分別在主梁上施加了0，0.5，0.8，1.0，1.2，1.5和2倍的二期恒載，相應(yīng)的二期恒載與鋼桁梁自重的比值為 0，0.58，0.93，1.16，1.39，1.73和2.31。

表1 橋梁前5階自振頻率與振型特點(diǎn)比較Table 1 Dynamic characteristics of bridge

圖2 第1階振型圖Fig.2 First-order vibration mode diagram

圖3 第2階振型圖Fig.3 Second-order vibration mode diagram

根據(jù)上述輕軌車、汽車和橋梁空間分析模型，按指定工況開(kāi)展了車橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算。橋梁上選取A，B，C和A′ 4個(gè)不同位置給出橋梁振動(dòng)響應(yīng)。從南岸往北岸方向看，A和A′點(diǎn)分別為中跨跨中左側(cè)和右側(cè)下弦節(jié)點(diǎn)處，B和C點(diǎn)分別為中跨跨中左側(cè)上弦節(jié)點(diǎn)處和邊跨跨中左側(cè)下弦節(jié)點(diǎn)處。輕軌車中選第一節(jié)車體給出振動(dòng)響應(yīng)，汽車中選取左行車道1上第1輛汽車的車體給出振動(dòng)響應(yīng)。車橋振動(dòng)空間響應(yīng)最大值見(jiàn)表2。中跨跨中左側(cè)上弦節(jié)點(diǎn)B的位移、加速度時(shí)程以及第1節(jié)輕軌車和左行車道1上的第1輛汽車的車體豎向加速度時(shí)程如圖4～7所示。

表2 車橋系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)最大值比較Table 2 Maximum vibration responses of vehicle-bridge system

圖4 中跨跨中左側(cè)上弦節(jié)點(diǎn)B的位移時(shí)程曲線Fig.4 Time history cures of node B’s displacement at left upper chord in middle span of bridge

從B點(diǎn)的位移時(shí)程(見(jiàn)圖4)可以看出：橫向位移和豎向位移相比，橫向位移的動(dòng)力沖擊系數(shù)要大，說(shuō)明橋梁的面外剛度要小于面內(nèi)剛度，這一結(jié)論與自振特性分析所得結(jié)論是一致的。但無(wú)論是豎向位移還是橫向位移，二者的振動(dòng)幅度都不大，表明該橋的整體豎向和橫向剛度都較大。

對(duì)比表2中的數(shù)值可以發(fā)現(xiàn)：二期恒載對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)影響較小(見(jiàn)圖4)，對(duì)其加速度響應(yīng)影響明顯(見(jiàn)圖 5)；但它對(duì)車輛的加速度響音影響不明顯(見(jiàn)圖6～7)。圖8所示為不同節(jié)點(diǎn)的豎向加速度最大值隨二恒與主梁自重的比值的變化。圖8顯示：隨著二期恒載與主梁自重的比值的增大，橋梁結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)最大值并未一直減小。

圖5 中跨跨中左側(cè)上弦節(jié)點(diǎn)B的加速度時(shí)程Fig.5 Time history cures of node B’s acceleration at left upper chord in middle span of bridge

圖6 第1節(jié)輕軌車車體豎向加速度時(shí)程Fig.6 Time history cure of vertical acceleration of first monorail train’s body

圖7 第1輛汽車車體豎向加速度時(shí)程Fig.7 Time history cure of vertical acceleration of first vehicle’s body

圖8 不同節(jié)點(diǎn)的豎向加速度最大值隨二恒與主梁自重比值的變化Fig.8 Variations maximum vertical acceleration of different nodes with ratio of second dead load to main beam weight

4 結(jié)論

對(duì)于大跨度斜拉橋，由于二期恒載在總恒載中所占比例較大，考慮二期恒載質(zhì)量的影響后，結(jié)構(gòu)的自振頻率將明顯減小。車橋振動(dòng)計(jì)算結(jié)果表明：二期恒載質(zhì)量對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)影響較小，但對(duì)其加速度響應(yīng)影響明顯。隨著二期恒載質(zhì)量所占比例的增大，橋梁結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)開(kāi)始減小，但超過(guò)一定比值后，其加速度響應(yīng)又可能增大。因此，僅用橋梁自振頻率來(lái)分析結(jié)構(gòu)的動(dòng)力剛度是不全面的。另外，適當(dāng)?shù)亩诤爿d質(zhì)量會(huì)減小車橋系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。

[1] 郭文華, 郭向榮, 曾慶元. 京滬高速鐵路南京長(zhǎng)江大橋斜拉橋方案車橋系統(tǒng)振動(dòng)分析[J]. 土木工程學(xué)報(bào), 1999, 32(3):23?27.GUO Wen-hua, GUO Xiang-rong, ZENG Qing-yuan. Vibration analysis of train-bridge system for cable-stayed bridge scheme of Nanjing Yangtze Bridge on Beijing—Shanghai high speed railway[J]. China Civil Engineering Journal, 1999, 32(3): 23?27.

[2] 趙永剛, 盛洪飛, 陳明非. 大跨度斜拉橋車?橋耦合振動(dòng)分析的數(shù)值解法[J]. 公路工程, 2009, 34(1): 143?146.ZHAO Yong-gang, SHENG Hong-fei, CHEN Ming-fei.Numerical method based on vehicle-bridge coupling vibration analysis of large span cable-stayed bridges[J]. Highway Engineering, 2009, 34(1): 143?146.

[3] Bruno D, Greco F, Lonetti P. Dynamic impact analysis of long span cable-stayed bridges under moving loads[J]. Engineering Structures, 2008, 30(4): 1160?1177.

[4] 王貴春, 潘家英, 張欣. 大跨度鐵路斜拉橋車橋耦合振動(dòng)非線性分析[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 25(3): 524?528.WANG Gui-chun, PAN Jia-ying, ZHANG Xin. Nonlinear analysis of vehicle-bridge coupled vibration of railway cable-stayed bridges with long span[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2008, 25(3): 524?528.

[5] 李小珍, 強(qiáng)士中. 大跨度公鐵兩用斜拉橋車橋動(dòng)力分析[J].振動(dòng)與沖擊, 2003, 22(1): 6?9.LI Xiao-zhen, QIANG Shi-zhong. Vehicle-bridge dynamic analysis for long-span highway and railway bi-purpose cable-stayed bridge[J]. Journal of Vibration and Shock, 2003,22(1): 6?9.

[6] 李小珍, 蔡婧, 強(qiáng)士中. 蕪湖長(zhǎng)江大橋斜拉橋的車橋耦合振動(dòng)分析[J]. 鐵道學(xué)報(bào), 2001, 23(2): 70?74.LI Xiao-zhen, CAI Jing, QIANG Shi-zhong. Coupling vibration analysis of main span on Wuhu Yangtze-River bridge[J]. Journal of the China Railway Society, 2001, 23(2): 70?74.

[7] 李小珍, 喻璐, 強(qiáng)士中. 不同主梁豎曲線下大跨度斜拉橋的車橋耦合振動(dòng)分析[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2003, 22(2): 43?46.LI Xiao-zhen, YU Lu, QIANG Shi-zhong. Vehicle-bridge interaction of long-span cable-stayed bridges with various vertical girder curves[J]. Journal of Vibration and Shock, 2003,22(2): 43?46.

[8] Yau J D, Yang Y B. Vibration reduction for cable-stayed bridges traveled by high-speed trains[J]. Finite Elements in Analysis and Design, 2002, 40: 341?359.

[9] 向俊, 孔凡兵, 曾慶元. 貨物列車編組對(duì)列車?橋梁系統(tǒng)空間振動(dòng)的影響[J]. 中南大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2007, 38(2):345?350.XIANG Jun, KONG Fan-bing, ZENG Qing-yuan. Influence of freight train formation on spatial vibration of train-bridge system[J]. Journal of Central South University: Science and Technology, 2007, 38(2): 345?350.

[10] 萬(wàn)信華, 胡曉燕, 郝行舟, 等. 非平整橋面引起大跨斜拉橋車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2007, 26(2): 66?71.WAN Xin-hua, HU Xiao-yan, Hao Xing-zhou, et al.Vehicle-bridge coupling vibration responses of long-span cable-stayed bridges due to irregular pavement[J]. Journal of Vibration and Shock, 2007, 26(2): 66?71.

[11] 韓艷, 夏禾, 郭薇薇. 斜拉橋在地震與列車荷載同時(shí)作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析[J]. 工程力學(xué), 2006, 23(1): 93?98.HAN Yan, XIA He, GUO Wei-wei. Dynamic response of cable-stayed bridge to running trains and earthquakes[J].Engineering Mechanics, 2006, 23(1): 93?98.

[12] 張楠, 夏禾, 郭薇薇, 等. 京滬高速鐵路南京大勝關(guān)長(zhǎng)江大橋風(fēng)?車?橋耦合振動(dòng)分析[J]. 中國(guó)鐵道科學(xué), 2009, 30(1):41?48.ZHANG Nan, XIA He, GUO Wei-wei, et al. Analysis on the wind-vehicle-bridge coupling vibration for Nanjing Dashengguan Yangtze River Bridge of Beijing—Shanghai high-speed railway[J]. China Railway Science, 2009, 30(1):41?48.

[13] 譚長(zhǎng)建, 祝兵. 地震作用下高速列車與橋梁耦合振動(dòng)分析[J].振動(dòng)與沖擊, 2009, 28(1): 4?8.TAN Chang-jian, ZHU Bing. Coupled vibration analysis of high speed train and bridge subjected to seismic excitation[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(1): 4?8.

[14] 司學(xué)通, 郭文華. 跨座式輕軌車與汽車同時(shí)作用下的公軌兩用特大橋梁動(dòng)力響應(yīng)及行車舒適性研究[D]. 長(zhǎng)沙: 中南大學(xué)土木建筑學(xué)院, 2007: 15?35.SI Xue-tong, GUO Wen-hua. Riding comfort and dynamic responses analysis for long-span highway and railway bi-purpose bridge traveled by monorail trains and vehicles[D]. Changsha:Central South University. School of Civil Engineering and Architecture, 2007: 15?35.

[15] GUO Wen-hua. Dynamic analysis of coupled road vehicle and long span cable-stayed bridge systems under cross winds[D].Hong Kong: The Hong Kong Polytechnic University.Department of Civil and Structural Engineering, 2003: 3?17.

[16] Guo W H, Xu Y L. Fully computerized approach to study cable-stayed bridge-vehicle interaction[J]. Journal of Sound and Vibration, 2001, 248(4): 745?761.

[17] 曾慶元, 郭向榮. 列車橋梁時(shí)變系統(tǒng)振動(dòng)分析理論與應(yīng)用[M].北京: 中國(guó)鐵道出版社, 1999: 87?89.ZENG Qing-yuan, GUO Xiang-rong. Theory and application of train-bridge time-variant system vibration analysis[M]. Beijing:China Railway Press, 1999: 87?89.

[18] Bathe K J, Wilson E L. 有限元分析中的數(shù)值方法[M]. 林公豫,羅恩, 譯. 北京: 科學(xué)出版社, 1985: 319?323.BATHE K J, WILSON E L. Numerical methods in finite element analysis[M]. LIN Gong-yu, LUO En, trans. Beijing: Science Press, 1985: 319?323.