基于五維混沌系統(tǒng)的數(shù)字圖像加密算法

王曉飛，王光義

(杭州電子科技大學(xué)電子信息學(xué)院，浙江杭州310018)

0 引言

隨著以計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)為代表的信息技術(shù)的不斷發(fā)展和飛速普及，信息安全已經(jīng)成為阻礙經(jīng)濟(jì)持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展和威脅國(guó)家安全的一個(gè)重要問(wèn)題，對(duì)信息進(jìn)行加密是用來(lái)保證信息安全的一種必要手段［1，2］。近年來(lái)的研究表明，利用混沌信號(hào)可以構(gòu)造出優(yōu)良的加密系統(tǒng)。但是以往的混沌加密技術(shù)大都基于低維混沌系統(tǒng)，而低維混沌加密系統(tǒng)存在參數(shù)和變量少，密鑰空間小，抗破譯能力差，安全性不高的缺點(diǎn)。進(jìn)幾年，不斷有研究學(xué)者提出來(lái)新的五維混沌系統(tǒng)，基于五維混沌系統(tǒng)的圖像加密算法，目前還比較少，文獻(xiàn)3中提出來(lái)一種行列置亂和象素加密的五維超混沌系統(tǒng)加密算法。而本文采用全局置亂和分塊象素加密的方法，具有更高的算法復(fù)雜度，實(shí)驗(yàn)表明該算法具有良好的加密效果，密鑰空間大，抗攻擊力強(qiáng)，加密圖像象素值分布隨機(jī)，具有較高的安全性。

1 五維混沌系統(tǒng)

文獻(xiàn)4提出了五維混沌系統(tǒng):

當(dāng) k1= －1，當(dāng) k2= －2 時(shí)系統(tǒng)的 Lyapunov指數(shù)分別為 λ1=1.276 95，λ2=0，λ3= －0.984 16，λ4=－2.596 86，λ5=－19.697 8，式1有一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，因此該五維系統(tǒng)是一個(gè)混沌系統(tǒng)。

2 加密算法設(shè)計(jì)

假設(shè)原始圖像大小為M×N，設(shè)計(jì)如下加密算法，由置亂和替代兩個(gè)階段完成。

2.1 置亂算法設(shè)計(jì)

(1)產(chǎn)生混沌序列。給定五維混映射的初值，迭代時(shí)間步長(zhǎng)，采用四階五階Runge-Kutta算法解式1得到5個(gè)長(zhǎng)度為M×N的混沌序列X(i)。

(2)從上述五維混沌序列中選取其中的一維混沌序列X(i)，將X(i)按照從大到小的順序排列成有序列E(i)，由于混沌序列的無(wú)周期性，可知X(i)中的任一元素Xi與E(i)中唯一的元素Ei對(duì)應(yīng)，可以用另一索引矩陣H(i)記錄Ei在X(i)序列中的位置i，如圖1所示。

圖1 索引矩陣生成示意圖

(3)將原始二維明文圖像轉(zhuǎn)化成一維。可按照典型的二維行程編碼排列方式將原始明文二維圖像轉(zhuǎn)化成為一維數(shù)組N1。

(4)對(duì)照索引矩陣H(i)和下式將N1中的元素映射到一維矩陣N2中，完成對(duì)一維數(shù)組N1的置亂。

(5)按照步驟2的逆過(guò)程，將N2由一維轉(zhuǎn)化成二維，生成新的置亂后的圖像I。

2.2 替代算法設(shè)計(jì)

(1)在另外4個(gè)長(zhǎng)度為M×N的混沌序列分別取出長(zhǎng)度為(M×N)/4的Y(i)，Z(i)，U(i)，V(i)序列，其中 i=1，2，3，…，(M ×N)/4。取 Y(i)，Z(i)，U(i)，V(i)序列中的每個(gè)元素進(jìn)行變換如:

式中，f()表示向0取整，abs()表示求絕對(duì)值，mod()表示求余數(shù)，新生成的矩陣Y(i)即為加密序列。

可以取出序列中每個(gè)元素小數(shù)點(diǎn)后的3位數(shù)字組成整數(shù)。將該整數(shù)與256的余數(shù)覆蓋原來(lái)序列中該位置的數(shù)據(jù)如:

至此上述四個(gè)序列中的元素值都介于［0，255］之間。

(2)按照置亂算法中步驟2的逆過(guò)程，將得到的新的Y(i)，Z(i)，U(i)，V(i)序列轉(zhuǎn)化成二維的矩陣 Y，Z，U，V。

(3)將置亂后的圖像 I平均劃分成4塊I1，I2，I3，I4，如圖2所示:

圖2 置亂后圖像I的分割方法

(4)將I1，I2，I3，I4中的元素值與Y，Z，U，V中相同位置元素進(jìn)行異或運(yùn)算，對(duì)象素值進(jìn)行替代加密如:

式中，I'(x，y)表示加密后的密文象素值，I(x，y)表示置亂后第一塊區(qū)域象素值，⊕表示異或運(yùn)算。

(5)將進(jìn)行異或得到的圖像重新拼接成完整的密文圖像，至此完成加密的全過(guò)程。

圖像的解密算法是加密算法的逆過(guò)程，在確定系統(tǒng)初值和積分步長(zhǎng)后，按照加密算法的逆過(guò)程即可解密，在此不再詳述。

3 算法仿真實(shí)驗(yàn)

利用Matlab7.0平臺(tái)，圖像大小為256×256，灰度級(jí)L=256的Lena圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)(M=256，N=256)，取五維混沌系統(tǒng)的初值分別為 x0=0.835 462，y0=1.752 356，z0=0.643 875，u0=0.957 612，v0=0.417 893，積分步長(zhǎng)為0.001，采用四階五階Runge-Kutta算法解微分式1，按照加密步驟進(jìn)行加密，結(jié)果如圖3所示。

圖3 加解密前后對(duì)比

由圖3(c)、(e)可知，加密后的圖像完全看不出原始明文圖像的輪廓，而正確解密的圖像與明文圖像沒(méi)有差別，由此可知圖像的加解密效果良好。由圖3(b)、(d)加密前明文圖像的象素值分布數(shù)目不均勻，而加密后密文的象素值均勻分布在［0，255］范圍內(nèi)，所以明文的統(tǒng)計(jì)特性擴(kuò)散到了密文的均勻分布中，大大降低了明文象素值之間的相關(guān)性，能夠良好的抵抗統(tǒng)計(jì)分析。

4 密鑰敏感性測(cè)試

本文提出的解密方案對(duì)初始參數(shù)的敏感性，以及這些參數(shù)可以用來(lái)作為密鑰的假設(shè)，都得到了驗(yàn)證，如圖4所示:

圖4(a)是將解密方案中的五維混沌系統(tǒng)初值x0=0.835 462改為x0=0.835 462 000 001，而其余參數(shù)均保持不變的情況下得到的解密圖像，圖4(b)是其對(duì)應(yīng)的灰度直方圖。

圖4 密鑰敏感性測(cè)試

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出來(lái)一種新的基于五維混沌系統(tǒng)序列的圖像加密算法，該算法中的圖像全局置亂和分塊加密均基于五維混沌系統(tǒng)。仿真實(shí)驗(yàn)和分析表明，該算法密鑰空間大，抗攻擊力強(qiáng)，密文圖像象素值分布隨機(jī)，可以有效的抵御統(tǒng)計(jì)分析攻擊，具有較高的安全性。

［1］ Cheng Howard，Li Xiaobo.Patial encryption of compressed images and vides［J］.IEEE Transcations on Signal Processing，2000，48(8):2 439 －2 551.

［2］ Dang P P，Chan P M.Image encryption for secure Internet multimedia applications［J］.IEEE Transcations on Consumer E-lectronics，2000，46(3):395 －403.

［3］ 王玉惠，陳哨東.基于五維超混沌系統(tǒng)的全球信息柵格圖像加密算法［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，29(1):51－56.

［4］ 韓峰，唐駕時(shí).一個(gè)五維受控混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為［J］.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2010，8(3):205－209.

［5］ 李鵬，田東平.基于超混沌序列的數(shù)字圖像加密算法［J］.微電子學(xué)與計(jì)算機(jī)，2008，25(3):4－7.