血管分支血液對流換熱分析

解海衛(wèi) 張 艷 諸 凱

（天津商業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，天津市制冷技術(shù)重點實驗室，天津 300134）

引言

模擬生物溫度場用于輔助分析已經(jīng)成為生物醫(yī)學(xué)工程研究中的常用方法。血液與生物組織有復(fù)雜的傳熱耦合關(guān)系，準確地分析血液對流換熱是模擬生物組織傳熱的必要前提。

許多研究者為分析血液對流換熱做了大量的實驗研究和理論計算。Charm進行了實驗測量，并分析了血液在不銹鋼毛細管（直徑0.6mm）內(nèi)的熱交換［1］。Shah通過測量一定加熱量P下對應(yīng)的溫升T，由已知經(jīng)典的努賽爾數(shù)（Nu數(shù)）和P/T的擬合公式，確定了單管內(nèi)血液的Nu數(shù)［2］。Victor對單個血管的血液流動和換熱進行了模擬，計算得到了血液Nu數(shù)沿管長的變化，其中壁面條件是均勻壁溫和均勻熱流兩種，入口為完全發(fā)展流動［3］，入口條件是均勻流速、溫度兩種［4］。Luisa假設(shè)血液為牛頓流體，根據(jù)動量和能量守恒，得出了單根血管局部加熱時的對流換熱系數(shù)公式［5］。Tungjitkusolmun假設(shè)血管壁溫為常數(shù)，分析計算了熱療時大血管對生物組織溫度場的影響［6］。

但是，這些研究均是以單個血管為對象，著重用不同方法、確定不同換熱條件下的血液Nu數(shù)（或h），而考慮在循環(huán)系統(tǒng)實際分支結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，分析血液換熱的文獻鮮見報道。Anil研究表明，血管的分支結(jié)構(gòu)對血液速度場分布有明顯影響，因此分支結(jié)構(gòu)對血液熱交換也一定存在影響［7］。根據(jù)傳熱學(xué)理論，流速和管徑也是影響管內(nèi)對流換熱的主要因素。筆者通過建立血管樹簡化模型，模擬計算了分支結(jié)構(gòu)內(nèi)血液的三維速度場、溫度場和血液Nu數(shù)；從血管樹的實際結(jié)構(gòu)出發(fā)，分析了血管分支結(jié)構(gòu)參數(shù)（半徑比、分支角）、血液流速、血管半徑對血液與組織之間熱交換的影響。

1 血管分支結(jié)構(gòu)模型

研究表明，血液和組織的熱交換主要發(fā)生在動脈和小動脈處（R＞0.1mm），而這些動脈一般是以上級血管的分支形式存在，且末端為二元分支結(jié)構(gòu)［8］，因此計算血液換熱應(yīng)在分支結(jié)構(gòu)中分析。建立循環(huán)系統(tǒng)分支結(jié)構(gòu)模型，如圖1所示，模型由一個主干血管和兩個分支血管組成。根據(jù)血管樹生成理論，由優(yōu)化原則建立血管樹，其主干血管和分支血管的軸線在同一平面內(nèi)［9］，即該血管樹關(guān)于此平面對稱，因此截取分支結(jié)構(gòu)的一半作為最終建立的血管樹物理模型。

選取主干血管半徑為0.7mm，屬于熱重要血管的范圍［10］，長度為20mm。分支Ⅰ與分支Ⅱ的長度為40mm；分支Ⅰ與主干血管之間的夾角（即分支角α（定義見圖1），分別為90°、120°、150°、180°，分支血管Ⅰ的半徑與主干血管的半徑之比（即半徑比）分別為0.75、0.8、0.85、0.9；分支血管Ⅱ的半徑由Murray定律確定。

圖1 血管分支結(jié)構(gòu)Fig.1 Schematic of the furcated configuration

2 數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 模型假設(shè)［3，11］

忽略血管的膨脹性，將流動視為穩(wěn)態(tài)、層流；血液為常物性，密度、比熱不隨溫度變化；忽略血液的代謝熱；忽略近壁面處血漿層的影響；血液為不可壓非牛頓流體，其非牛頓性用冪律模型描述，有

式中，γ為切變率，1/s；τ為切應(yīng)力，Pa；k為常數(shù)，取0.014 67（Pa·sn）；n為非牛頓指數(shù)，取0.775 5［12］。

2.2 控制方程

計算血液與組織的對流換熱，需耦合求解血液的流場和溫度場，即求解以下控制方程為

質(zhì)量方程（連續(xù)性方程）

(1)看皮下脂肪層的厚度?！笆萑饩必i皮下脂肪層明顯變薄，通常不足1cm;而正常豬肉在皮層和瘦肉之間會有一層脂肪，肥膘約為1～2cm厚。因此，遇到脂肪層太薄、太松軟的豬肉要格外小心。

動量方程

能量方程

式中，U為流體速度，m/s；S為廣義源項，Pa/m；Ψ為黏性耗散函數(shù)，1/s2；ρ為密度，kg/m3；P為壓力，Pa；μ為動力黏度，Pa·s；T為溫度，K；c為定壓比熱，J/（kg·K）；λ為導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·K）。

血液各參數(shù)取值見表1。

表1 血液熱物性參數(shù)取值［13］Tab.1 Properties of blood

2.3 邊界條件

1）主干血管入口條件：假設(shè)主干血管入口邊界條件為均勻速度和均勻溫度，Tin=310K。

2）分支血管出口條件：Pout=0（相對壓力），qout=0。

3）血管軸線對稱面條件：對稱面絕熱，即q=0；流動邊界條件為在垂直于對稱面的方向上流速為0。

4）血管壁面條件：壁面無滑移，即Uw=0；熱邊界條件為均勻壁溫條件，Tin=309K。

2.4 網(wǎng)格劃分和數(shù)值模擬

圖2 有限元網(wǎng)格。（a）直管部分網(wǎng)格；（b）分支處網(wǎng)格；（c）血管截面網(wǎng)格Fig.2 Finite element mesh of the vascular tree.（a）mesh on straight part of vessel；（b）mesh on crosssection；（c）mesh at the bifurcation point

利用ANSYS有限元軟件中的FLOTRAN模塊，分析血管分支結(jié)構(gòu)內(nèi)的速度場和溫度場，得到血管壁面處血液與壁面的換熱量，進而根據(jù)努塞爾數(shù)定義，計算得出分支血管Ⅰ管長x處（如圖1所示）血管壁面任意位置ф處的血液努塞爾數(shù)Nux，Ф數(shù)，以及x處的截面平均努賽爾數(shù)Nux。

3 分支結(jié)構(gòu)內(nèi)的速度場和溫度場

圖3表示血管連接處速度和溫度分布，其中（a）和（b）分別為模擬得到的主干血管血液流速為80mm/s、主干血管半徑為0.7mm、分支角為120°、分支Ⅰ半徑比為0.8時，血管連接區(qū)域的速度和溫度分布等值線圖。由圖3（a）可以看出，血液從主干血管流入分支血管時，速度減小，流向改變，截面高流速區(qū)向一側(cè)偏移，速度場由主干血管的軸對稱分布變?yōu)榉种а苋肟谔幍姆禽S對稱分布，然后逐漸恢復(fù)為軸對稱分布狀態(tài)；由圖3（b）可以看出，分支血管入口處的溫度分布也呈現(xiàn)與速度場類似的變化，原主干血管軸心處的低溫區(qū)，隨流動偏移到分支血管位置1一側(cè)（見圖2）。此外，兩個分支血管的速度場和溫度場的偏心程度不同，這是由于兩個分支血管的分支角度和半徑比不同而引起的。

從圖3還可以看出，除主干血管出口區(qū)域速度場有一個較小的擾動外，兩個分支血管的存在對主干血管的速度場和溫度場基本沒有影響，主干血管的速度和溫度等值線基本呈平行狀態(tài)進入血管分叉區(qū)域，分支對主干血管內(nèi)流動換熱的影響可以忽略，即在循環(huán)系統(tǒng)中，血管主要受上級來流主干血管的影響，而其下級分支血管的影響可以忽略。由此可見，在模型中，分支血管Ⅰ、Ⅱ內(nèi)血液換熱主要受主干血管的影響，而分支Ⅰ、Ⅱ的下級分支對其影響可忽略，所以血管樹模型無需建立分支Ⅰ、Ⅱ的下級分支。

圖3 血管連接處速度和溫度分布。（a）速度場分布等值線（單位：m/s）；（b）溫度場分布等值線（單位：℃）Fig.3 Contour plot of the numerical solutions at the bifurcation position of the vessel system.（a）contour plot of velocity distribution（Unit：m/s）；（b）contour plot of temperature distribution（Unit：℃）

4 分支血管內(nèi)Nu數(shù)變化規(guī)律與分析

由上述可知，分支結(jié)構(gòu)的存在會影響分支血管內(nèi)的速度場和溫度場，使其在入口處呈現(xiàn)非軸對稱分布，相應(yīng)地也會影響分支血管內(nèi)的Nu數(shù)，使之呈現(xiàn)與單個直管內(nèi)Nu數(shù)不同的分布規(guī)律。因此，筆者以分支血管Ⅰ為研究對象，計算了血管分支結(jié)構(gòu)中分支血管Ⅰ內(nèi)任意截面x（即管長x處）的平均努賽爾數(shù)Nux和徑向位置1、2、3處（如圖2所示）的局部努賽爾數(shù)（Nux，1、Nux，2、Nux，3），并分析了分支結(jié)構(gòu)參數(shù)（半徑比、分支角）、分支血液流速、分支血管半徑的變化對截面平均努賽爾數(shù)Nux的影響。

4.1 分支血管內(nèi)努賽爾數(shù)分布規(guī)律

圖4為分支血管Ⅰ半徑為0.56mm、平均流速為30mm/s，分支角為120°，半徑比為0.8時，其內(nèi)截面平均Nux與相同管徑、流速下單個直管內(nèi)截面平均Nux的對比曲線。從該圖可以看出，在血管入口段，分支血管的Nux明顯小于單個直管的Nux，且收斂速度大于直管。這是因為血液流經(jīng)主干血管后，由入口處的速度、溫度均勻的流體變?yōu)槌隹谔幩俣?、溫度完全發(fā)展的流體，雖然流入分支后，由于方向的改變造成速度場和溫度場的變化，但相對于流入單個直管的血液，更接近于熱完全發(fā)展階段，因此Nux較小，且收斂速度快。在血管出口處，分支血管和單個直管的Nux都達到收斂值，約3.75。

在上述條件下，分支Ⅰ內(nèi)3個典型圓周位置處的壁面局部Nux，Ф（Ф=1，2，3）隨x的變化曲線?？梢钥闯觯涸诜种а苋肟诙危煌瑘A周位置之間Nux，Ф差異較大，這是由于血液流入分支血管時，流向改變引起溫度出現(xiàn)非軸對稱分布，不同圓周位置處的溫度梯度不同，使Nux，Ф出現(xiàn)差異；而在出口截面段，3個圓周位置處的Nux，Ф基本相同，約為3.75，這與分支血管內(nèi)溫度場由非軸對稱分布恢復(fù)為軸對稱分布的變化過程一致。

圖4 分支血管與單個直管截面平均Nux數(shù)的對比曲線Fig.4 The comparison between the mean Nuxat daughter vessel I and at a straight vessel

圖5 不同圓周位置處的局部Nux，Ф數(shù)隨管長變化的曲線Fig.5 The local Nux，Ф at three different positions 1，2 and 3 in daughter vessel I versusx

4.2 分支結(jié)構(gòu)參數(shù)對截面平均努賽爾數(shù)的影響

當(dāng)分支角分別是90°、120°、150°、180°時，其他參數(shù)與4.1節(jié)條件相同，分支Ⅰ內(nèi)Nux隨x變化的曲線如圖6所示；當(dāng)血管半徑比分別是0.75、0.8、0.85、0.9時，分支Ⅰ內(nèi)Nux隨x變化的曲線如圖7所示。由這兩圖可以看出：分支角、半徑比越小，入口段截面平均Nux越大；分支角、半徑比變化對分支血管截面平均Nux的收斂速度（熱入口段長度）沒有影響，收斂值都約為3.75。這主要是由于分支角、半徑比越小，分支血管入口處速度場和溫度場的偏心程度越嚴重，相應(yīng)Nux也就會越大。

4.3 分支血管管徑、流速對Nux的影響

當(dāng)分支血管半徑為0.48、0.56、0.64、0.8mm時，或分支血管血液流速為20、30、40、50mm/s時，其他參數(shù)與4.1節(jié)條件相同，分支Ⅰ內(nèi)Nux隨x變化的曲線如圖8和圖9所示?？梢钥闯觯悍种а馨霃健⒀毫魉僭酱?，入口段截面平均Nux越大；血管半徑和血液流速的變化對分支血管截面平均Nux的收斂速度也有影響，血管半徑或血液流速越小，Nux的收斂速度越快，收斂值都約為3.75。這主要是由于血管半徑或流速越小，血液流動中管壁對流體的黏滯力與血流的慣性力之比越大，血流從入口處的偏心流動恢復(fù)為軸對稱流動的速度越快，相應(yīng)熱入口段的長度也越短，Nux的收斂速度越快。

圖6 不同分支角度對應(yīng)的Nux隨x變化的曲線Fig.6 The mean Nuxwith different furcating angels

圖7 不同半徑比對應(yīng)的Nux隨x變化的曲線Fig.7 The mean Nuxwith different bifurcation ratios

圖8 不同分支血管半徑對應(yīng)的Nux隨x變化的曲線Fig.8 The mean Nuxwith different vessel radii

圖9 不同分支血管流速對應(yīng)的Nux隨x變化的曲線Fig.9 The mean Nuxwith different blood velocities

5 結(jié)論

以反映循環(huán)系統(tǒng)實際結(jié)構(gòu)的血管分支物理模型為平臺，用有限元方法數(shù)值模擬了血液的三維速度場、溫度場，得到了分支血管中典型位置處Nux，Ф和截面平均Nux，分析了血管半徑、血液流速和血管樹結(jié)構(gòu)參數(shù)（半徑比、分支角）對截面平均Nux的影響，結(jié)果表明：

1）當(dāng)血液由主干血管流入分支血管時，血管截面速度場和溫度場由主干血管出口的軸對稱分布變?yōu)榉种а苋肟谔幍姆禽S對稱分布，然后隨著在分支血管內(nèi)的流動又逐漸恢復(fù)為軸對稱狀態(tài)，而分支血管對主干血管內(nèi)流動和換熱的影響較小。

2）分支血管入口段的Nux明顯小于單個直管的Nux，且收斂速度大于直管，收斂值均約為3.75。分支血管入口處血液的Nux，Ф為明顯非軸對稱分布，且隨血液沿血管繼續(xù)流動，其不對稱程度逐漸變小。

3）分支角越小、半徑比越小、分支血管半徑越大、分支血管流速越大時，入口段截面平均Nux越大。各參數(shù)對入口段截面平均Nux的影響程度為：血液流速＞半徑比，血管半徑＞分支角。分支血管半徑、流速越小，截面平均Nux的收斂速度越快。

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