矛盾沖突——學生思維發(fā)展的“推進器”

221116 江蘇省鄭集高級中學城區(qū)校區(qū) 陳 敏

矛盾沖突是事物發(fā)展的根本動力，這是最基本的哲學原理.沒有推進器——空氣的作用力與反作用力的矛盾沖突，火箭就無法升空;沒有矛盾沖突，一出好戲劇情就無法展開.精心構思與展開的矛盾沖突可產(chǎn)生扣人心弦、動人心魄、感人肺腑、催人淚下的戲劇效果，一節(jié)好的數(shù)學課就是一出精彩的戲.數(shù)學課也需要矛盾沖突，這是對人腦的一種良性刺激，這種刺激可激活學生思維，“逼著”學生去建構數(shù)學理論，矛盾沖突也可以優(yōu)化學生理性思維品質(zhì)，開闊視野，拓寬思路，升華認知.矛盾沖突是學生思維發(fā)展的推進器.巧妙利用矛盾沖突實施數(shù)學教學的過程可表示成如下的框圖：

1 矛盾沖突“逼著”學生建構數(shù)學理論

在舊的數(shù)學理論范圍內(nèi)對一些問題無法自圓其說，產(chǎn)生了矛盾沖突，就必須突破舊理論的瓶頸，跳出來看看外面的世界，建構新的數(shù)學理論，這是科學的世界觀與發(fā)展觀.數(shù)學的發(fā)展史多次證明了這個問題.擔負著樹立學生科學世界觀的數(shù)學教育必須在實踐中不失時機地利用鮮活生動的教學實例，由淺入深地引導學生去領悟、去鑒賞.如《數(shù)系的擴充》，見過不少有關文章，也聽過不少有關課例，但發(fā)現(xiàn)教學的“高度”不夠，沒能從哲學的高度揭示虛數(shù)誕生的曲折、漫長、甚至存在激烈斗爭的矛盾沖突的過程.其實并不須費多少口舌，就可言簡意賅地加以闡述，投入與產(chǎn)生的積極而深遠影響相比，可算是“一本萬利”.現(xiàn)擷取此節(jié)課開頭的一個教學片斷：

教師：在正整數(shù)范圍內(nèi)，你會計算3-5嗎?在整數(shù)范圍內(nèi)，你會計算3÷5嗎?在有理數(shù)范圍內(nèi)，你會求方程x2=2的根嗎?現(xiàn)實生活、科學技術與數(shù)學本身的發(fā)展，產(chǎn)生了一個個矛盾沖突，而正是這些矛盾沖突成了數(shù)學理論發(fā)展的推動力.古希臘的著名學者畢達哥拉斯雖然對人類的進步事業(yè)作出了巨大貢獻，但在他的性格中又具有偏執(zhí)、狹隘的一面，他認為不存在整數(shù)與分數(shù)以外的任何數(shù).可他的學生修伯修斯卻在自己的研究中發(fā)現(xiàn)邊長為1的正方形對角線的長既不是整數(shù)，也不是分數(shù)，而是一個當時還未被發(fā)現(xiàn)與認可的新數(shù)，于是徹底顛覆了他的老師的論斷.不幸的是，發(fā)現(xiàn)、堅持和捍衛(wèi)真理的修伯修斯被他的老師扔進了大海.但真理是扔不掉的，后來經(jīng)過擴充，有理數(shù)集終于擴充發(fā)展到實數(shù)集.同樣，在很長的歷史時期內(nèi)，人們的認識都局限在實數(shù)的圈子里，認為方程x2=-1無解.可十六世紀中葉意大利數(shù)學家卡爾丹經(jīng)過長期思考后突發(fā)奇想：如果在實數(shù)的圈子外創(chuàng)造一個新數(shù)，令該數(shù)的平方等于-1，矛盾不就解決了嘛!后來經(jīng)過幾代數(shù)學家的努力，歷經(jīng)300年的磨難與艱辛，終于構建了完善的復數(shù)理論，且在電學、熱力學、彈性理論和天體力學等方面得到了廣泛的應用.

這段充滿情趣的演講就是上面框圖的具體化，當學生的認知升華后，達成的就決不是簡單的知識目標與技能目標，隨著學生心靈的震撼、感情的激蕩、智慧的啟迪、思維的拓展、聯(lián)想的豐富，達成的將是立體的多元化的數(shù)學教育目標.

2 矛盾沖突優(yōu)化學生的理性思維品質(zhì)

“對”與“錯”是數(shù)學教學中最常見的一對矛盾沖突，在整個數(shù)學教學過程中教師都須用不少精力和時間與學生的各種錯誤作不懈的“斗爭”，在不少教師看來，這是件非常麻煩和懊惱的事情.教師何不改變心態(tài)，將學生的錯誤當作一種教學資源，抓住契機，巧妙地利用“對”與“錯”的矛盾沖突，進行深入的討論、爭論、辨析、尋根、糾正，那么這種辨誤糾錯的教學活動就成了優(yōu)化學生思維品質(zhì)的良機.試舉兩例.

例1 若函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱，且對于定義域中的任意x的值，都有|f(x)|=|f(-x)|，則函數(shù)f(x)

A.是奇函數(shù)

B.是奇函數(shù)或是偶函數(shù)

C.是偶函數(shù)

D.可能是非奇又非偶函數(shù)

圖1

但它確實是既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).這種智慧的爆發(fā)力獲得了包括教師與選(B)在內(nèi)的全班學生熱烈而經(jīng)久的掌聲.

一道選擇題的解答引起的矛盾沖突，取得了“一石激起千層浪”的效果，這種“和而不同”的積極探索、鉆研、爭辯的學術氣氛不正是數(shù)學教學所大力提倡與努力追求的嗎?這里的矛盾沖突就優(yōu)化了學生的理性思維品質(zhì)，培養(yǎng)了學生良好的科學素養(yǎng).

對沒有疫（菌）苗可免疫的疾病，應根據(jù)不同季節(jié)及疾病發(fā)生流行特點，制定防疫用藥程序，在飼料和飲水中適時加入有效預防抗病、抗應激的藥物，防止疾病發(fā)生。豬場每年定期驅(qū)除體內(nèi)外寄生蟲，并開展滅鼠、滅蠅、滅蚊，以提高豬的生長速度和飼養(yǎng)效益。同時，要隨時掌握疫情動態(tài)和豬群健康狀況，做到預防為先。對無治療價值的病豬、僵豬、弱小豬應及時淘汰。

3 矛盾沖突拓展學生思路，升華認知

“繁”與“簡”也是在解題教學中經(jīng)常發(fā)生沖突的一對矛盾.不少題目用不同的解法，會產(chǎn)生大相徑庭的效果，有人“山窮水復疑無路”時，卻有人“柳暗花明”到了“又一村”，令人瞠目結舌的同時，又拍案叫絕、啟迪無窮.所以對于同一道題目，我們倡導學生廣開思路，再將各種不同的思路進行對比分析，拓展思路，開闊視野，升華認知.

圖2

例2 如圖2，圓x2+y2=4上有定點A(2，0)和兩個動點B，C，滿足∠BAC=60°.求△ABC的垂心H的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

這本是一道解析幾何題，教者預想的“規(guī)定動作”是用參數(shù)法求解，但在處理的過程中，思維活躍的學生卻提出了多種“自選動作”，與教者的“規(guī)定動作”進行“叫板”，形成的矛盾沖突激發(fā)出學生的巨大興趣，并“摩擦撞擊”出許多耀眼的智慧火花.

思路1 已知得∠BHC=120°，則

則點H的軌跡是以A為圓心，2為半徑的圓(在直線x=2左側的部分)，其方程是(x-2)2+y2=4(0≤x＜2).

思路2 設|HD|=m，|HE|=n，則|CH|=2m，|BH|=2n，在△DEH中，由余弦定理得DE2=m2+n2+mn，

又BC2=12，所以

因為A，D，H，E四點共圓，且AH為直徑，由正弦定理得|DE|=|AH|sin60°，則|AH|=2，下略.

思路3 由已知得|AC|=2|AE|，|AB|=2|AD|，所以△ABC外接圓的直徑為△ADE外接圓直徑的2倍，而A，D，H，E四點共圓，且AH為直徑，則|AH|=2，下略.

思路4 若直線BC的斜率存在，設直線BC的方程為y=kx+b，代入圓O的方程化得

由點O到直線BC的距離為1，求得b2=k2+1. ①

設H(x，y)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，圓O與x軸的另一個交點為F(-2，0)，平行四邊形BFCH的對角線交點為P，那么由中點坐標公式得x1+x2=x-2，y1+y2=y.

由韋達定理，并結合①式得

又當直線BC的斜率不存在時，點H的坐標也適合上述方程，下略.

思路 5 設 B(2cosθ，2sinθ)，則 C(2cos(θ+120°)，2sin(θ+120°)).

同思路地，作平行四邊形BFCH，設H(x，y)，

②式平方+③式平方，即可化得(x-2)2+y2=4，下略.

思路6 連OP，則|OP|=1，所以點P的軌跡為單位圓，其方程是x2+y2=1.

代入④式即可化得(x-2)2+y2=4，下略.

各種思路的“交鋒”獲得的是極大豐收，幾種解法幾乎囊括了求動點軌跡的全部方法，涉及了解析幾何、平面幾何、代數(shù)方程、不等式、三角函數(shù)、平面向量等有關知識和技能，矛盾沖突功不可沒!在沖突中，學生給出的思路三更令人叫絕，真是別人還在“兩岸猿聲啼不住”，他卻“輕舟已過萬重山”，師生視野的開闊、思維的發(fā)散、思維的拓展又一次證明了“認知升華”與“目標達成”的巨大價值.

矛盾沖突是學生思維發(fā)展的推進器.我們或精心構思或敏銳捕捉數(shù)學教學中的矛盾沖突，在建構數(shù)學理論，優(yōu)化學生理性思維品質(zhì)，開闊視野，拓寬思路等方面提升學生認知水平與數(shù)學素養(yǎng).