優(yōu)美的擺線——2011年高考數(shù)學(xué)江西卷理科第10題賞析

332100 江西省九江第一中學(xué) 江民杰

2011年高考已落下帷幕，江西卷理科第10題及文科第10題立意新穎，構(gòu)思獨(dú)特，其內(nèi)容涉及擺線，是教材內(nèi)容的延伸，較大程度考查了學(xué)生數(shù)學(xué)能力.本文以理科第10題為起點(diǎn)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)擺線及其方程.

1 賞析

(2011年江西)如圖1，一個(gè)直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時(shí)針方向滾動(dòng)，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn).那么，當(dāng)小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點(diǎn)M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是

解 方法1 特殊位置可選A.

由平面幾何知，兩圓內(nèi)切，故點(diǎn)N，O2，P三點(diǎn)共線，

故NP為小⊙O2的直徑，從而∠PM'N=90°，

又∵∠MNP=θ，故PM'⊥x軸.從而M'必在x軸上，故M點(diǎn)的軌跡為y=0(-1≤x≤1)同理N點(diǎn)的軌跡為x=0(-1≤y≤1)，選 A.

2 溯源

我們知道：一個(gè)圓在平面內(nèi)沿著一條直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)，我們把圓周上一定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡叫做平擺線.教材選修4-4專門討論了平擺線.

實(shí)質(zhì)上，本題就是歷史上著名的卡丹問題：當(dāng)一個(gè)圓盤沿一個(gè)半徑是它2倍的圓內(nèi)無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，小圓上一點(diǎn)畫出怎樣的圖形.

如果我們不限制小圓半徑和大圓半徑的關(guān)系，那么更一般的情況是怎樣呢?

一個(gè)動(dòng)圓在定圓內(nèi)無滑動(dòng)滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓上一定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡叫做內(nèi)擺線.

如圖3所示，設(shè)定⊙O半徑為R，動(dòng)圓半徑為r，取定圓圓心O為原點(diǎn)，點(diǎn)A為動(dòng)圓圓周上所規(guī)定的一個(gè)定點(diǎn)，并記A點(diǎn)是動(dòng)圓開始滾動(dòng)時(shí)與定圓的切點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，建立直角坐標(biāo)系，當(dāng)動(dòng)圓滾動(dòng)到與定圓相切于B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)相應(yīng)運(yùn)動(dòng)到A'點(diǎn)，令∠AOB=t.

則內(nèi)擺線的參數(shù)方程為

則得到動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為

即y=0(-2r≤x≤2r).

圖4

本題就是R=2r時(shí)內(nèi)擺線的特例.

實(shí)際上，一個(gè)動(dòng)圓在定圓外無滑動(dòng)滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓上一定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡叫做外擺線.讀者可類似推出其參數(shù)方程.

3 思考

本題作為新課改首次高考題，立意新穎，既能較好地考查學(xué)生的能力，又體現(xiàn)了新課程改革的理念.本題是選修教材4—4《平擺線》內(nèi)容的延伸，做到了源于課本、高于教材，體現(xiàn)了公正公平.近年來，全國(guó)統(tǒng)一高考江西卷每年都設(shè)計(jì)幾道立意新穎的試題(如解析幾何題，每年都在經(jīng)典幾何中披掛那些有趣味的定理，如2008年文科的蝴蝶定理、2009年文科的彭色列閉形定理，值得回味與關(guān)注)，這種命題思路有利于中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.因此，我們進(jìn)行高考復(fù)習(xí)指導(dǎo)時(shí)，要減少大規(guī)模的強(qiáng)化訓(xùn)練，緊扣新課程標(biāo)準(zhǔn)，以教材為本、夯實(shí)基礎(chǔ);要設(shè)計(jì)一些好的研究性課例，引領(lǐng)學(xué)生思考分析、感受過程、培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手觀察，解決問題的能力;平時(shí)測(cè)試要設(shè)計(jì)一些動(dòng)手實(shí)踐的試題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生探究問題的本質(zhì)，體現(xiàn)新課程改革的精神，真正做到減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān).