啜英咀華，細(xì)品真味——2011年一道高考數(shù)學(xué)題的解法賞玩

832000 新疆石河子一中 楊長根

2011年高考?jí)m埃落定，仔細(xì)研讀高考數(shù)學(xué)試題，感覺整個(gè)試卷試題難度梯度設(shè)置比較平穩(wěn)，知識(shí)考查平中見奇，尤其是第16題(新課標(biāo)卷理科數(shù)學(xué)).題目如下：

題目 在 △ABC中，B=60°，AC，則AB+2BC的最大值為.

此題作為一道填空題，題目的表述簡潔明了，初看很平淡，但細(xì)細(xì)賞玩，卻感到厚味很足.下面就本人對(duì)此題解法的種種考慮一一細(xì)述，以饗同仁.

于是有a=2sinA，c=2sinC，

所以有AB+2BC=c+2a=4sinA+2sinC. ①

又因?yàn)樵凇鰽BC中，A+B+C=180°，且B=60°，

所以：C=120°-A，于是

代入①式得

這一解法利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換，將三角形中關(guān)于邊的不等式問題轉(zhuǎn)換為關(guān)于角的不等式，充分利用三角函數(shù)的有界性進(jìn)行處理.我想，這應(yīng)該是此題的正統(tǒng)解法.如果僅限于此，那么此題的入口就比較狹窄，作為高考題顯然欠一些分量.

如果一上手就使用余弦定理得到a2+c2-ac=3，然后求AB+2BC=c+2a的最大值，從不等式的角度來理解，應(yīng)該是一個(gè)中規(guī)中矩的不等式問題，但作為學(xué)生，這方面的考慮能力要求較高，尤其是對(duì)式子a2+c2-ac=3的理解和變形如果不到位，就難以為繼.但是我想，應(yīng)該有不少學(xué)生會(huì)采用這一思路的，至于能不能進(jìn)行下去，就不好妄加揣測.下面我就對(duì)這一思路加以深入探討.

如果以代數(shù)方程的觀點(diǎn)看待式子a2+c2-ac=3，可以產(chǎn)生以下兩種解法.

解2 由余弦定理可知：a2+c2-ac=3. ②

設(shè)AB+2BC=c+2a=t＞0，則有c=t-2a.

根據(jù)題意，方程③顯然有解，故有

Δ =25t2-28(t2-3)≥0，即有t2≤28，注意到t＞0，

當(dāng)t= 2時(shí)，方程③為7a2-10+25=0，解此方程得a=，從而可得c=，顯然滿足題意.

這一解法的關(guān)鍵是將a2+c2-ac=3看成一個(gè)二次方程，設(shè)AB+2BC=c+2a=t后代入此式，運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)處理，不易想到.

仍以方程的觀點(diǎn)看待此式，還可以有下面的解法.

解3 由余弦定理可知c2-ac+a2-3=0，

將上式看作關(guān)于c的方程解得

由柯西不等式，得

也是一樣的.

如果將式a2+c2-ac=3作為一般的二次式看，做簡單的配方處理可得(2a-c)2+3c2=12，然后將AB+2BC=c+2a用2a-c和c表示，再做處理，可得下面的解法.

解4 由余弦定理可知a2+c2-ac=3，從而有

由柯西不等式可知

注意到 2a-( )c2+3c2=12，故

解5 由余弦定理可知a2+c2-ac=3，從而有

如果以曲線方程的觀點(diǎn)看待式子c2-ac+a2-3=0，輔以變換的策略，又可以有下面的解法.

解6 由余弦定理可知：a2+c2-ac=3，從而有

圖1

而AB+2BC=c+2a=2

如果注意到本題條件：B=60°，利用平面幾何知識(shí)又可以得到下面的解法：

圖2

解7 如圖2所示，在△ABC中，過點(diǎn)A作AD⊥BC.

此處用到了柯西不等式，也可以利用函數(shù)觀點(diǎn)處理，即運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具.

如此賞玩之后發(fā)現(xiàn)，其實(shí)此題看似平淡，實(shí)則暗藏玄機(jī)，果真把它拿下，需要深厚的數(shù)學(xué)功力.特別是解法二、三、四、五、六，源于對(duì)二次式a2+c2-ac=3的細(xì)細(xì)咀嚼和品味，充分理解其代數(shù)意義和幾何意義以及相應(yīng)的處理方法與技巧.如果在日常教學(xué)中，能夠經(jīng)常地引導(dǎo)學(xué)生從多角度全方位地觀察與思考所面對(duì)的數(shù)學(xué)對(duì)象，相應(yīng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力一定會(huì)極大地得到提高.

此題作為高考題，確實(shí)能夠考查學(xué)生多方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力，的確是一道好題.如今恰好湊足七碗之飲，以饗讀者，聊表心意.