以一見多 高效教學(xué)

●楊蒼洲 (惠安縣高級中學(xué) 福建泉州 362100)

“倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(以下簡稱《新課程標(biāo)準(zhǔn)》)的理念之一.《新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.因此，在高中數(shù)學(xué)課堂中，筆者倡導(dǎo)“以一見多，高效教學(xué)”.這里的“一”是指為學(xué)生構(gòu)造共同基礎(chǔ)，提供發(fā)展平臺，“多”是指注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，從而實(shí)現(xiàn)高效教學(xué).下面筆者就幾個(gè)教學(xué)案例談?wù)勅绾螒?yīng)用“以一見多”的教學(xué)方法實(shí)現(xiàn)高效教學(xué).

1 一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維

“一題多解”要求學(xué)生學(xué)會對所給的材料、信息從不同角度、往不同方向、用不同方法或途徑進(jìn)行分析和解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.它可以通過縱橫發(fā)散，使知識串聯(lián)、綜合溝通，達(dá)到舉一反三的目的，同時(shí)能有效激發(fā)學(xué)生探索求新的欲望，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

案例1 已知x2+y2=1，求z=3x+4y的取值范圍.

該案例是筆者在講授人教版高中數(shù)學(xué)選修4-5“不等式選講”中采用的一個(gè)例子.因?yàn)楫?dāng)時(shí)介紹的是“柯西不等式”的相關(guān)內(nèi)容，所以課堂上師生利用“柯西不等式”共同完成了不等式的證明.

解法1 利用柯西不等式.由

解法2 利用柯西不等式.由

至此，該例題已經(jīng)完成它作為復(fù)習(xí)鞏固“柯西不等式”的任務(wù)，但為了充分發(fā)揮例題的教學(xué)功能，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，提高學(xué)生的綜合解題能力，筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究新的解題方法.經(jīng)過師生的共同努力得到以下幾種解法：

解法3 利用線性規(guī)劃.

如圖1所示，首先作直線 l0：3x+4y=0，然后平移l0至位置l1，易得l1的縱截距為，故 z=5.同理，平max移l0至位置l2，易得l2的縱截距為-，故 zmin=-5.

綜上所述，-5≤z≤5.

圖1

解法4 利用判別式.

解法5 利用參數(shù).

解法6 利用向量法.

上述幾種解法復(fù)習(xí)了線性規(guī)劃求最值、判別式法求最值、圓的參數(shù)方程、向量的數(shù)量積等高中數(shù)學(xué)的主干知識，同時(shí)也涉及到函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等重要的數(shù)學(xué)思想方法，正可謂“以小見大，一舉多得”.因此，在教學(xué)預(yù)設(shè)中，若能選擇適當(dāng)?shù)睦}，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多角度的思考與探索，則可實(shí)現(xiàn)知識與技能、思想與方法等各方面數(shù)學(xué)基本功的復(fù)習(xí)與鞏固、融合與交匯.

2 一法多題，培養(yǎng)學(xué)生的收斂性思維

“一法多題”要求學(xué)生學(xué)會將含某一知識點(diǎn)的習(xí)題進(jìn)行分類整合，歸納出其共同的解題方法和技巧，從而培養(yǎng)學(xué)生的收斂性思維和綜合歸納能力.它通過對知識的梳理、歸納、提煉，并在異中求同，從而揭開不同問題的表面現(xiàn)象，挖掘出知識的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，掌握知識的規(guī)律性，從而使學(xué)生脫離題海，獲得事半功倍的效果.

案例2 設(shè)拋物線y2=4x，過點(diǎn)P(2，0)的直線 l交拋物線于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，求 AB 中點(diǎn)Q的軌跡.

該例題是筆者在復(fù)習(xí)“直線與圓錐曲線位置關(guān)系”時(shí)采用的一個(gè)例子，問題牽涉到直線與圓錐曲線相交弦的中點(diǎn)問題，可以采用設(shè)而不解的方法，用韋達(dá)定理進(jìn)行求解.在平時(shí)的練習(xí)中，經(jīng)常會遇到此類問題，為徹底解決此類問題，筆者布置給學(xué)生一個(gè)課外作業(yè)，要求學(xué)生對該例題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪?，總結(jié)歸納并編擬出幾種常見例題.實(shí)踐證明，學(xué)生的創(chuàng)造能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出教師的想象，筆者摘錄了部分學(xué)生編擬的典型例題.

例1 設(shè)拋物線y2=4x，過點(diǎn)P(2，0)的直線l交拋物線于點(diǎn) A(x1，y1)，B(x2，y2)，求△AOB 重心G的軌跡.

例3 設(shè)拋物線y2=4x，過點(diǎn)P(2，0)的直線l交拋物線于點(diǎn) A(x1，y1)，B(x2，y2).若 S△AOB=8，求此時(shí)直線AB的方程.

例4 設(shè)拋物線y2=4x，過點(diǎn)P(2，0)的直線l交拋物線于點(diǎn) A(x1，y1)，B(x2，y2)，證明△AOB 是鈍角三角形.

案例2以及例題1～5都是直線與圓錐曲線相交弦的問題，牽涉到中點(diǎn)、三角形重心、弦長、三角形面積、向量內(nèi)積、向量共線等問題.這些問題都可以采用設(shè)而不解的方法，用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，其解題程序基本一致，因此可以對它們進(jìn)行歸納總結(jié)，實(shí)現(xiàn)適度的形式化.筆者建議，在解完一道典型例題后，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過聯(lián)想、拓展和深究，舉一反三，并適時(shí)地將解題經(jīng)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)發(fā)散性和收斂性遷移，以進(jìn)一步擴(kuò)大“戰(zhàn)果”，從而獲得較熟練的解題技能.因此，通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行例題的歸納總結(jié)，可實(shí)現(xiàn)“一法多題”教學(xué)，從而提高課堂的教學(xué)效率和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

3 一題多得，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維

“一題多得”要求學(xué)生能對問題進(jìn)行類比遷移、歸納推廣，能提出個(gè)人的猜想，并證明或否定，從而得到新的問題、新的結(jié)論.它通過一個(gè)問題的教學(xué)過程，形成“問題蘑菇群”，從而喚起學(xué)生的問題意識.問題意識是創(chuàng)新的基石，是培養(yǎng)創(chuàng)新精神的起點(diǎn)，也是培養(yǎng)創(chuàng)新人才的有效方法.因此在教學(xué)中，應(yīng)用“一題多得”的教學(xué)方法，能有效鍛煉學(xué)生的類比思維、求異思維和創(chuàng)造性思維能力.

(1)求橢圓C的方程.

(2)E，F(xiàn)是橢圓C上的2個(gè)動(dòng)點(diǎn).如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.

(2009年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題)

(證明略.)

該題是筆者在授課中所采用的一個(gè)例題，講解完畢后，筆者發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)A的橫坐標(biāo)恰與橢圓右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，直線EF的斜率恰為橢圓的離心率e.那么是否所有的橢圓都有上述性質(zhì)呢?筆者建議對此問題進(jìn)行推廣探究，得到以下命題.

考慮將橢圓一般化，有：

橢圓具有上述性質(zhì)，在圓錐曲線內(nèi)進(jìn)行平行類比，在雙曲線中是不是也有相同的性質(zhì)?于是筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究，得：

橢圓和雙曲線都稱之為有心圓錐曲線，它們具有極為相似的性質(zhì).但是，它們所共有的性質(zhì)不一定能類比推廣到拋物線，那么在拋物線中是不是也有上述性質(zhì)呢?回答是肯定的.

從命題1～3可歸納出圓錐曲線所共有的一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)：

命題4 已知A是圓錐曲線C上一個(gè)定點(diǎn)，E，F(xiàn)是圓錐曲線C上的2個(gè)動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)A與曲線一個(gè)焦點(diǎn)的連線垂直于對稱軸，且 kAE+kAF=0，則|kEF|=e.

完成了從橢圓到雙曲線、拋物線的類比，本應(yīng)結(jié)束探究，但為了使學(xué)生對圓錐曲線問題有更進(jìn)一步的理解，筆者引導(dǎo)學(xué)生課后進(jìn)行再探究：當(dāng)點(diǎn)A為曲線上任意一定點(diǎn)，是否還能得到如此優(yōu)美的性質(zhì)?繼續(xù)探究可得：

探究沒有停止，接著引導(dǎo)學(xué)生嘗試把點(diǎn)A移到曲線外，得到：

命題8 已知M，N，P，Q為圓錐曲線C上不同的4個(gè)點(diǎn).若 kMN+kPQ=0，則 kMQ+kPN=0，kMP+kNQ=0.

教育家波利亞曾說：“學(xué)習(xí)任何知識的主要途徑即是由自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@一發(fā)現(xiàn)，理解最深刻、也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.”隨著課程教學(xué)改革的深入開展，在實(shí)施素質(zhì)教育的今天，要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力，其中一條很重要的途徑就是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)歷知識的探索過程.也只有在這個(gè)過程中，學(xué)生才會有體驗(yàn)、有發(fā)展，也就是說要變原來的“聽數(shù)學(xué)”、“學(xué)數(shù)學(xué)”為“做數(shù)學(xué)”，讓學(xué)生在做中學(xué)，在做中獲得不斷發(fā)展.

［1］ 楊蒼洲，陳一平.設(shè)而不解 事半功倍［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2009(35)：34-35.