基于貝葉斯估計(jì)的加權(quán)最小二乘分布式融合

徐 蘇，楊 紅

（1.淮海工學(xué)院工程訓(xùn)練中心，江蘇 連云港 222000；2.廣州大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，廣東 廣州 510006）

0 引言

多傳感器信息融合技術(shù)廣泛應(yīng)用于軍事、國(guó)防、目標(biāo)跟蹤、GPS定位、機(jī)器人、信號(hào)處理、通信、控制等領(lǐng)域，目前成為備受人們關(guān)注的熱門(mén)領(lǐng)域。信息融合的目的就是將多傳感器信息進(jìn)行有效地處理，從而得到比單一傳感器更加精確的結(jié)果。對(duì)于基于Kal man濾波的多傳感器觀測(cè)數(shù)據(jù)融合，主要有狀態(tài)融合和測(cè)量融合。測(cè)量融合可分為集中式融合和分布式融合［1］。

文獻(xiàn)［2］提出了不同觀測(cè)矩陣的最小二乘數(shù)據(jù)融合算法，文獻(xiàn)［3］提出了按對(duì)角陣加權(quán)的最小二乘數(shù)據(jù)信息融合算法，文獻(xiàn)［4］對(duì)按矩陣、對(duì)角陣、標(biāo)量3種加權(quán)方法進(jìn)行了比較，文獻(xiàn)［5］將算法擴(kuò)展，提出了不同觀測(cè)矩陣加權(quán)最小二乘算法，但這些方法的一個(gè)共同缺點(diǎn)是沒(méi)有考慮到模型參數(shù)本身的信息，因此深入研究基于貝葉斯估計(jì)的帶不同觀測(cè)矩陣的加權(quán)最小二乘分布式融合Kal man濾波算法，可以提高融合算法的性能，非常有實(shí)際意義。

1 卡爾曼濾波和貝葉斯估計(jì)

1.1 非線性卡爾曼濾波系統(tǒng)

1960年，卡爾曼發(fā)表了用遞歸方法解決離散數(shù)據(jù)線性濾波問(wèn)題的論文。得出系統(tǒng)的狀態(tài)隨機(jī)差分方程，用如下?tīng)顟B(tài)空間模型描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：

式中，t表示離散時(shí)間，系統(tǒng)在時(shí)刻t的狀態(tài)X（t）∈Rn，W（t）∈Rr為輸入白噪聲，Y（t）∈Rm是對(duì)狀態(tài)的觀測(cè)信號(hào)，v（t）∈Rm為觀測(cè)噪聲。F、G和H 分別為n×n、n×r和m×n的己知矩陣，分別稱F為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，G為過(guò)程噪聲分布矩陣，H為觀測(cè)矩陣稱式（1）為狀態(tài)方程，稱式（2）為觀測(cè)方程。

如果存在多個(gè)觀測(cè)方程，就涉及到如何利用多個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)得到最優(yōu)的狀態(tài)X（t）的問(wèn)題。這涉及到數(shù)據(jù)融合問(wèn)題，最小二乘估計(jì)是一種常見(jiàn)的融合方法［6］。

而對(duì)于非線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波問(wèn)題，一般需要在線性濾波理論的基礎(chǔ)上，通過(guò)線性化處理，構(gòu)成解非線性濾波問(wèn)題的次優(yōu)濾波算法來(lái)處理這類(lèi)問(wèn)題。目前廣泛使用的是推廣的離散卡爾曼濾波，這種方法不同于線性化離散Kal man濾波，即不需預(yù)先算出狀態(tài)矢量的理想軌跡，而預(yù)先算出狀態(tài)矢量的理想軌跡在實(shí)際工作中可能會(huì)遇到困難［7］。

1.2 最小二乘估計(jì)

考慮線性模型

的參數(shù)β和σ2的估計(jì)問(wèn)題，最小二乘估計(jì)的思想是β的真值是使e＝Y(jié)－Xβ達(dá)到最小，也就是其長(zhǎng)度平方

達(dá)到最小，則得到β的估計(jì)為

1.3 貝葉斯估計(jì)

貝葉斯理論提供了一種計(jì)算假設(shè)概率的方法，基于假設(shè)的先驗(yàn)概率、給定假設(shè)下觀察到不同數(shù)據(jù)的概率以及觀察到的數(shù)據(jù)本身，來(lái)計(jì)算后驗(yàn)概率一般地，設(shè)θ為未知參數(shù)（可以為向量），它的驗(yàn)前密度記為π（θ），Y為觀測(cè)量，于是在獲得觀測(cè)之后，θ的驗(yàn)后密度由Bayes公式給出［8］。

式（3）中，f（Y／θ）為θ給定時(shí)Y 的概率密度函數(shù)，Θ為θ的參數(shù)空間。在進(jìn)行Kal man濾波融合時(shí)，考慮模型參數(shù)本身的先驗(yàn)信息條件，應(yīng)用貝葉斯估計(jì)可以提高融合精度。

2 基于貝葉斯估計(jì)的非線性離散系統(tǒng)的加權(quán)最小二乘分布式融合

實(shí)際上，絕大多數(shù)情況下Kal man濾波系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)，因此考慮非線性系統(tǒng)的數(shù)據(jù)融合問(wèn)題，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。由于非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性，本文先采用推廣的離散卡爾曼濾波對(duì)非線性系統(tǒng)線性化，在線性化基礎(chǔ)上，提出基于Bayes估計(jì)的加權(quán)最小二乘分布式融合。

2.1 非線性離散系統(tǒng)的線性化

實(shí)際應(yīng)用中，許多系統(tǒng)并非完全線性，因此不同觀測(cè)陣的隨機(jī)非線性離散多傳感器系統(tǒng)模型可描述為：

式（4）中，t為離散時(shí)間，X（t）∈Rn為狀態(tài)，Yi（t＋1）∈Rmi為第i傳感器在t＋1時(shí)刻的觀測(cè)值，vi（t＋1）∈Rmi為第i傳感器在t＋1時(shí)刻的觀測(cè)噪聲，W（t）∈Rr為輸入白噪聲，f（·），g（·）和hi（·）對(duì)X（t）是可微的。對(duì)于式（4），可以采用推廣的離散卡爾曼濾波進(jìn)行線性化處理。

假設(shè)1：W（t）∈Rr和vi（t）∈Rmi（i＝1，…，L）為零均值不相關(guān)高斯白噪聲，且vi（t）和X（t）不相關(guān)，而vi（t）和vj（t）（i≠j）是相關(guān)觀測(cè)高斯白噪聲，則

式（5）中，E為均值號(hào)，T為轉(zhuǎn)置號(hào)，δtt＝1，δth＝0（t≠h），Q＞0。如果在t時(shí)刻，狀態(tài)矢量X（t）的線性最小均方誤差估計(jì)X^（t）已知，那么就可以把系統(tǒng)信號(hào)模型式（4）在X（t）＝X^（t）附近展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，取其一次項(xiàng)，其中，離散狀態(tài)一步預(yù)測(cè)為：

并認(rèn)為g（X（t），t）＝g（X^（t），t），這樣離散系統(tǒng)的信號(hào)模型可以寫(xiě)成和

假設(shè)2：假設(shè)存在非奇異的矩陣

式中定義

2.2 基于貝葉斯估計(jì)的帶不同觀測(cè)矩陣的加權(quán)最小二乘分布式融合

在得到線性化的離散狀態(tài)方程和觀測(cè)方程后，為了提高觀測(cè)精度，可對(duì)式（10）的L個(gè)觀測(cè)方程進(jìn)行觀測(cè)融合，對(duì)此本文采用基于Bayes估計(jì)的最小二乘方法對(duì)觀測(cè)方程進(jìn)行觀測(cè)融合。

在對(duì)Kal man濾波觀測(cè)方程進(jìn)行最小二乘觀測(cè)融合時(shí)，如果知道觀測(cè)值X（t＋1）的驗(yàn)前信息，可以應(yīng)用Bayes估計(jì)，得到基于Bayes估計(jì)的X－（t＋1）的估值表達(dá)式

式中：

式（11）中，Y－BEWLS（t＋1）＝Y(jié)～BEWLS（t＋1）－BBEWLS（t＋1）。由RBEWLS（t＋1）＝E（v（t＋1）vT（t＋1）），可以求出高斯白噪聲vBEWLS（t＋1）的方差陣為

對(duì)式（6）和式（11）應(yīng)用 Kal man濾波算法［3］可得基于Bayes估計(jì)的分布式觀測(cè)融合Kal man濾波器（t｜t）和預(yù)報(bào)器（t＋1｜t）及其相應(yīng)的誤差方差陣MBEWLS（t＋1｜t）和MBEWLS（t＋1）。

3 比較與仿真

3.1 兩種加權(quán)最小二乘分布式融合卡爾曼濾波器算法的比較

為了說(shuō)明本文提出的算法具有的優(yōu)點(diǎn)，將本文的算法和文獻(xiàn)［5］提出的方法進(jìn)行比較，文獻(xiàn)［5］提出基于WLS算法的分布式觀測(cè)融合Kal man濾波算法，其融合方程，即X－（t＋1）的估值表達(dá)式

式（12）中：

2)聯(lián)合制動(dòng)系統(tǒng)是目前提高重載鉆機(jī)車(chē)復(fù)雜路況行駛安全的最有效辦法，該系統(tǒng)可承擔(dān)全部的低強(qiáng)度制動(dòng)和大部分的正常制動(dòng)，從而確保最大的安全性，幫助駕駛員獲得較高的平均駕駛速度從而縮短轉(zhuǎn)運(yùn)周期。

WLS融合算法是無(wú)偏估計(jì)，但從統(tǒng)計(jì)決策的觀點(diǎn)來(lái)看，對(duì)于無(wú)偏的要求并不總是必要的，而可以用下列的概念來(lái)評(píng)價(jià)融合算法。

定義1：設(shè)Z為隨機(jī)向量，分布依賴與未知參數(shù)向量θ，記d（Y）為θ的一個(gè)估計(jì)，這里Y表示Z的樣本。記L［θ，d（Y）］為非負(fù)函數(shù)，它表示真實(shí)參數(shù)為θ，而以d（Y）作為它的估計(jì)時(shí)引起的損失，稱為損失函數(shù)。令

它表示真實(shí)參數(shù)為θ時(shí)，關(guān)于Y的分布所取的期望值。稱R（θ，d）為風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)。如果對(duì)所有θ滿足

則稱估計(jì)d1至少和d2一樣好。如果

以及R（θ，d1）＜R（θ，d2）至少對(duì)某個(gè)θ成立，則稱d1優(yōu)于d2。這個(gè)定義是對(duì)給定的損失函數(shù)而言的，常應(yīng)用的是平方損失函數(shù)，即

此時(shí)

本文將風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)作為評(píng)估估值好壞的標(biāo)準(zhǔn)，用它來(lái)評(píng)價(jià)BEWLS融合方法和WLS融合方法的優(yōu)劣。

定理1：經(jīng)過(guò)線性化的非線性離散多傳感器系統(tǒng)式（6）和式（7），在假設(shè)1—3的條件下，用BEWLS法所得到的分布式觀測(cè)融合Kal man濾波器優(yōu)于用WLS法所得到的分布式觀測(cè)融合Kal man濾波器。

定理2：在假設(shè)2初值相同的條件下，即

存在

推論1：在假設(shè)2初值相同，即式（18）和式（19）成立的條件下

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)將上節(jié)提出的BE WLS分布式融合Kal man濾波算法通過(guò)帶相關(guān)觀測(cè)噪聲和不同觀測(cè)矩陣的兩傳感器非線性跟蹤系統(tǒng)的例子來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證和分析。考慮Kal man濾波系統(tǒng)i個(gè)傳感器觀測(cè)值（i，j＝1，2），用Tayl or級(jí)數(shù)線性化后，方程為：

式中，wi（t＋1）和vi，j（t＋1）是零均值的白噪聲隨機(jī)

式（23）—式（25）中有：

分別利用上面所述的兩種觀測(cè)融合Kal man濾波算法對(duì)多傳感器系統(tǒng)進(jìn)行仿真計(jì)算，仿真時(shí)狀態(tài)的噪聲方差陣的值為C，觀測(cè)方程的噪聲方差陣的值為D，M（j）（0）為E 。

圖1和圖2為兩種融合算法的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)值，可以看出BEWLS融合算法的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)值在整個(gè)仿真時(shí)間段中都小于 WLS融合算法的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)值，將風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)作為評(píng)估估值好壞的標(biāo)準(zhǔn)，說(shuō)明BEWLS融合算法優(yōu)于WLS算法。

圖1 兩種融合算法的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)值的比較（x 1（t＋1））Fig.1 Comparison of risk f unction values of t wo f usion algorit h ms（x 1（t＋1））

BE WLS融合算法是有偏差的，這種偏差是系統(tǒng)偏差，需要校正。本文依據(jù)多傳感器提供的測(cè)量和跟蹤信息，形成測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)，當(dāng)采樣周期到時(shí)，利用已測(cè)量數(shù)據(jù)糾正系統(tǒng)偏差，補(bǔ)償和修正數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)多傳感器的融合跟蹤。圖3、圖4顯示用式（12）、式（13）校正BE WLS融合算法的結(jié)果，沒(méi)有校正前，出現(xiàn)了系統(tǒng)性的偏差，用式（12）來(lái)在線消除偏差，得到比較好的效果。

圖2 兩種融合算法的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)值的比較（x 2（t＋1））Fig.2 Co mparison of risk f unction values of t wo f usion algorithms（x 2（t＋1））

圖3 偏差對(duì)BEWLS融合算法的影響（x 1（t＋1））Fig.3 Bias effect on BEWLS f usion algorith m （x 1（t＋1））

圖4 偏差對(duì)BEWLS融合算法的影響（x 2（t＋1））Fig.4 Bias effect on BEWLS f usion algorith m （x 2（t＋1））

4 結(jié)論

本文提出了基于貝葉斯估計(jì)的帶不同觀測(cè)矩陣的加權(quán)最小二乘分布式融合Kal man濾波算法。該方法首先采用推廣的離散卡爾曼濾波對(duì)非線性系統(tǒng)線性化，然后在已知模型參數(shù)本身的先驗(yàn)信息條件下，利用Beyes估計(jì)對(duì)Kal man濾波觀測(cè)方程進(jìn)行觀測(cè)加權(quán)最小二乘融合。理論和仿真實(shí)驗(yàn)證明BEWLS融合算法優(yōu)于WLS算法，該算法具有以下特點(diǎn)：1）利用風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為評(píng)價(jià)指標(biāo)，可以證明帶不同觀測(cè)矩陣的BEWLS分布式融合Kal man濾波算法優(yōu)于WLS融合Kal man濾波算法，即采用BEWLS融合Kal man濾波算法能夠得到更高精度的融合數(shù)據(jù)；2）帶不同觀測(cè)矩陣的BEWLS融合Kal man濾波算法是有偏估計(jì)，但通過(guò)糾偏方法可消除融合偏差。

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