改陳出新 考查能力——2011年天津市中考數(shù)學(xué)試卷評析

443613 湖北省秭歸縣一支筆中學(xué) 鄭學(xué)敏

443100 湖北省夷陵區(qū)實(shí)驗(yàn)初中 劉培雙

改陳出新 考查能力
——2011年天津市中考數(shù)學(xué)試卷評析

443613 湖北省秭歸縣一支筆中學(xué) 鄭學(xué)敏

443100 湖北省夷陵區(qū)實(shí)驗(yàn)初中 劉培雙

2011年天津市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷(以下簡稱“天津卷”)，堅(jiān)持正面導(dǎo)向、緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)、重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.整卷共26小題，涵蓋了初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，關(guān)注社會(huì)生活實(shí)際和學(xué)生的動(dòng)手操作能力，通過不同層次的考題全面考查了初中畢業(yè)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況.

1 簡單考題，彰顯人文關(guān)懷

一般說來，學(xué)生在應(yīng)對中考、高考這樣對人生有影響的考試時(shí)，心里不免有些緊張是極為正常的.為了避免考生對中考的恐懼，減輕數(shù)學(xué)中考對考生造成的心理上的壓力而影響考生考試的正常發(fā)揮，天津卷首先呈現(xiàn)兩道極為簡單的考題，讓考生調(diào)整心理狀態(tài)，穩(wěn)定考試情緒，逐步進(jìn)入正?？荚嚑顟B(tài)，彰顯了天津卷對考生的人文關(guān)懷.

第1題：sin45°的值等于

第2題：下列汽車標(biāo)志中，可以看作是中心對稱圖形的是

第1題只要學(xué)生從記憶中尋找答案，相當(dāng)于完成一道乘法口訣題一樣簡單;第2題學(xué)生僅憑已有的生活經(jīng)驗(yàn)就能解答.因此這兩題非常簡單，幾乎所有考生都能順利完成，對減輕考生的考試壓力、及時(shí)調(diào)整心理狀態(tài)，為考生正常發(fā)揮完成數(shù)學(xué)中考起到了關(guān)鍵性的作用.

2 關(guān)注社會(huì)，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值

學(xué)生生活在社會(huì)之中，并且最終都會(huì)走向社會(huì)，讓學(xué)生了解社會(huì)的發(fā)展?fàn)顩r，對他們的現(xiàn)在和未來都是極其重要的，因此，考題中關(guān)注社會(huì)生活實(shí)際是必須的.

第3題：根據(jù)第六次全國人口普查的統(tǒng)計(jì)，截止到2010年11月1日零時(shí)，我國總?cè)丝诩s為1370000000人，將1370000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為

本題在考查科學(xué)記數(shù)法的同時(shí)，還向?qū)W生傳遞了兩個(gè)重要信息：第六次人口普查的截止時(shí)間和我國現(xiàn)在約有人口總數(shù).通過這個(gè)問題的解決，讓學(xué)生受到國情教育.

像這樣關(guān)注社會(huì)生活實(shí)際的數(shù)學(xué)內(nèi)容，實(shí)際就是把學(xué)生從數(shù)學(xué)引入到社會(huì)生活的實(shí)踐當(dāng)中去，有著重要的現(xiàn)實(shí)意義.一方面可以拓展數(shù)學(xué)時(shí)空，使學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再僅僅是一堂數(shù)學(xué)課所學(xué)的內(nèi)容，而是穿越時(shí)間的隧道，把過去、現(xiàn)在和未來的有關(guān)知識(shí)聯(lián)系在一起，讓學(xué)生擁有人類社會(huì)的精神財(cái)富;另一方面，將生活實(shí)際提供給學(xué)生理解和體驗(yàn)，可以提高學(xué)生對生活的深刻理解和深入感受，日益豐富學(xué)生的精神世界.

第24題：注意：為了使同學(xué)們更好地解答本題，我們提供了—種分析問題的方法，你可以依照這個(gè)方法按要求完成本題的解答.也可以選用其他方法，按照解答題的一般要求進(jìn)行解答即可.

某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件35元，每天可賣出50件.市場調(diào)查反映：如果調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元，每天可多賣出2件.請你幫助分析，當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，可使每天的銷售額最大，最大銷售額是多少?

設(shè)每件商品降價(jià)x元，每天的銷售額為y元.

原價(jià)每件降價(jià)1元每件降價(jià)2元… 每件降價(jià)x元每件售價(jià)(元) 35 34 33…每天銷量(件) 50 52 54…

(1)分析：根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系，用含x的式子填表;

(2)由以上分析，用含x的式子表示y，并求出問題的解.

此題考查二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)在市場經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用.通過建立二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生以后日常生活和工作中的決策能力.的距離BC(取 1.73.結(jié)果保留整數(shù)).

此題綜合考查三角形外角和、等腰三角形的判定、解直角三角形在日常生活中的應(yīng)用等數(shù)學(xué)知識(shí).題設(shè)沒有直接給出直角三角形，需要學(xué)生仔細(xì)領(lǐng)會(huì)題意構(gòu)造出直角三角形求解，不僅讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，也考查了建立數(shù)學(xué)模型解決有關(guān)實(shí)際問題的能力.

3 考查數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)以學(xué)生為本

3.1 考查學(xué)生獲取數(shù)學(xué)信息的能力

當(dāng)今社會(huì)是信息社會(huì)，離開了信息，人們的生活和工作都會(huì)受到影響.有時(shí)信息就是商機(jī)，好的信息能使人們對事情作出正確的判斷和決策.善于從各種形式的情景中獲得有效的信息，是學(xué)生適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)必需的能力.

第21題：在我市開展的“好書伴我成長”讀書活動(dòng)中，某中學(xué)為了解八年級(jí)300名學(xué)生讀書情況，隨機(jī)調(diào)查了八年級(jí)50名學(xué)生讀書的冊數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

又如第23題：某校興趣小組坐游輪拍攝海河兩岸美景.如圖，游輪出發(fā)點(diǎn)A與望海樓 B的距離為300m，在A處測得望海樓B位于A的北偏東30°方向.游輪沿正北方向行駛一段時(shí)間后到達(dá)C，在C處測得望海樓B位于C的北偏東60°方向.求此時(shí)游輪與望梅樓之間

冊數(shù)3 13 16 17 1 0 1 2 3 4人數(shù)

(1)求這50個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù);

(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)該校八年級(jí)300名學(xué)生在本次活動(dòng)中讀書多于2冊的人數(shù).

這道考題要求學(xué)生從表格中準(zhǔn)確獲取信息，再根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)概念求解第(1)題;第(2)題應(yīng)先求樣本數(shù)據(jù)中讀書多于2冊的人數(shù)占樣本人數(shù)的比率，再用總?cè)藬?shù)乘以這個(gè)比率，即可估計(jì)出八年級(jí)300名學(xué)生中讀書多于2冊的人數(shù)，這是用樣本估計(jì)總體思想的典型應(yīng)用.

3.2 考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程.”簡單地說，數(shù)學(xué)是過程!讓學(xué)生參與有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在活動(dòng)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生明白數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程，正是課改所提倡的.

第5題：如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，CB均落在對角線 BD上，得折痕 BE，BF，則∠EBF的大小為

A.15° B.30°

C.45° D.60°

此題考查正方形和軸對稱的有關(guān)性質(zhì)，對大多數(shù)學(xué)生來說難度不大，可以直接解答，對解答此題有困難的考生來說，最好是按題中所說的操作方法動(dòng)手實(shí)際折疊一下，有利于成功解答.

4 改陳出新，試題突顯新意

將高考題做適當(dāng)?shù)母木帲蛊浞铣踔袑W(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，用于考查學(xué)生的能力，是本卷的一個(gè)突出亮點(diǎn).1979年的數(shù)學(xué)高考題：

已知(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，求證：x，y，z成等差數(shù)列.

此題的題設(shè)初中學(xué)生非常熟悉，但不知什么是等差數(shù)列，所以初中學(xué)生不會(huì)做.天津卷保持原高考題的條件不變，將問題改成探索x，y，z之間另外的數(shù)量關(guān)系，便有了第10題：

若實(shí)數(shù) x，y，z滿足(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，則下列式子一定成立的是

A.x+y+z=0 B.x+y-2z=0

C.y+z-2x=0 D.z+x-2y=0

改編后，題目雖然難度不小，但用于考查初中畢業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是合適的，也是可取的.

解法1 將已知等式的左邊展開、合并同類項(xiàng)，利用分解因式的知識(shí)和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出x，y，z之間的數(shù)量關(guān)系，具體解法如下：

解法2 通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，x-z=(x-y)+(yz)，用好這個(gè)發(fā)現(xiàn)就有比解法1更簡潔的解法.

故選D.

解法3 觀察已知等式的左邊，發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)類似于某個(gè)一元二次方程的根的判別式，根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)可以用一元二次方程的知識(shí)求解，具體解法如下：

因?yàn)?x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，所以此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

所以 -(x-y)=-(y-z)，即 x+z-2y=0.

上述三種解法，都符合現(xiàn)行初中畢業(yè)學(xué)生的認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)能力，但對學(xué)生的能力要求是相當(dāng)高的.第1種解法，比較常規(guī)，有一定的難度;第2種解法，思路簡潔，但技巧性強(qiáng);第3種解法，能力、技巧俱全，富有創(chuàng)新性思維的特點(diǎn).因此，此題不僅突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，而且具有較強(qiáng)的選拔功能，是一道改陳出新的優(yōu)秀中考題.

值得指出的是，構(gòu)造一元二次方程時(shí)，不要構(gòu)造成(x-y)t2+(x-z)t+(y-z)=0的形式，因?yàn)轭}設(shè)中沒有x-y≠0的條件，所以不能保證這個(gè)方程是一元二次方程，根的判別式在這里也就不能發(fā)揮其重要作用了.

5 突出選拔功能，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展

新課程改革后，各地的初中畢業(yè)考查和升學(xué)考試基本上都是采用同一套試題，由于要收到畢業(yè)考查和升學(xué)考試的雙重功效，因此，部分試題有較強(qiáng)的選拔功能，天津卷每年都有兩道壓軸題，為高中學(xué)校錄取學(xué)生提供成績依據(jù).

第25題：在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A(3，0)，B(0，4).以點(diǎn) A 為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABO 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△ACD.記旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角為α，∠ABO為β.

(1)如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足BC∥x軸時(shí)，求α與β之間的數(shù)量關(guān)系;

圖2

圖1

(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足∠AOD=β時(shí)，求直線CD的解析式(直接寫出結(jié)果即可).

此題以學(xué)生對幾何圖形旋轉(zhuǎn)的認(rèn)識(shí)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的理解為基點(diǎn)，綜合考查相似形、全等形、方程組等數(shù)學(xué)知識(shí)以及推理論證、計(jì)算等數(shù)學(xué)能力.

天津卷近五年第25題都考查圖形變換：2007年平移，2008年旋轉(zhuǎn)，2009年折疊，2010年軸對稱，2011年旋轉(zhuǎn)，但2011年第25題的難度明顯低于往年.

第(1)題考查拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，很基礎(chǔ);第(2)題設(shè)計(jì)了兩問，第①問比較簡單，第②問難度增加了不少，但它是①的一般情況，由特殊到一般進(jìn)行探究，學(xué)生的思路不會(huì)受阻;第(3)題考查拋物線的平移、函數(shù)與不等式(組)的關(guān)系，難度大，有很好的區(qū)分度.

天津卷近五年第26題題型：2007年，2008年，2009年都是一元二次方程與二次函數(shù)的綜合;2010年，2011年，都是拋物線的平移及相關(guān)知識(shí)的整合.近五年來，第26題的難度基本平衡，沒有明顯的起伏.

綜合起來看2011年天津卷：

2011年的天津卷植根《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》、源于數(shù)學(xué)教科書，全面考查了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)核心內(nèi)容.試題起點(diǎn)低，難度分布合理科學(xué)，呈現(xiàn)方式豐富多彩，既注重基礎(chǔ)知識(shí)的考查，又能改陳出新考能力;既關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的活動(dòng)過程、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查，又關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的變化和發(fā)展;關(guān)注學(xué)生的心理特點(diǎn)，體現(xiàn)人文精神.因此，2011年的天津卷是一套優(yōu)秀的中考數(shù)學(xué)試卷，值得廣大數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中認(rèn)真開展教學(xué)研究和中考命題人借鑒使用.

20110715)