再談“費(fèi)馬點(diǎn)”問題

443300 湖北省宜都市外國語學(xué)校 范 鴻

再談“費(fèi)馬點(diǎn)”問題

443300 湖北省宜都市外國語學(xué)校 范 鴻

文［1］中，從怎樣求線段的最值方面作了分類解析，仔細(xì)研讀，很受啟發(fā).筆者也非常關(guān)注“費(fèi)馬點(diǎn)”問題，讀此文后覺得有一絲遺憾的是，作者沒有談到涉及“費(fèi)馬點(diǎn)”問題的旋轉(zhuǎn)變換以及性質(zhì)的運(yùn)用.其實(shí)，在新課標(biāo)人教實(shí)驗(yàn)版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)P 42有一道探究題，稍加改動(dòng)題中的措詞，就會(huì)變?yōu)橐粋€(gè)關(guān)于“費(fèi)馬點(diǎn)”的討論問題，現(xiàn)提出來供大家交流.

1 課本中的“費(fèi)馬點(diǎn)”雛形

例1課標(biāo)人教實(shí)驗(yàn)版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)P 42的探究題：如圖1，要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別··向A，B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短?

圖1

解析分析題意，在這個(gè)問題中，“分別”的意思應(yīng)該是鋪設(shè)兩條管道且彼此互不相關(guān)，即泵站向A鎮(zhèn)供氣不經(jīng)過B鎮(zhèn)，泵站向B鎮(zhèn)供氣不經(jīng)過A鎮(zhèn).根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”公理，“分別向”就是“分別直接向”.如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，與直線l的交點(diǎn)P就是泵站的位置.

這正是文［1］中談到的通過軸對(duì)稱變換達(dá)到“化折為直”，回歸到“兩點(diǎn)之間，線段最短”，但這里有一個(gè)前提是題目條件中有“分別”的表述.

2 “費(fèi)馬點(diǎn)”的相關(guān)知識(shí)

2.1 費(fèi)馬點(diǎn)：指到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)

對(duì)于一個(gè)各角都小于120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120°的點(diǎn);對(duì)于有一個(gè)角大于或等于120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是最大的內(nèi)角的頂點(diǎn).

圖2

2.2 費(fèi)馬點(diǎn)的作圖

以△ABC的各角都小于120°為 例，如 圖 3，分 別 以△ABC的兩邊AB，AC為邊長(zhǎng)向形外作等邊三角形，作這兩個(gè)等邊三角形的外接圓，則兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)P就是此三角形的費(fèi)馬點(diǎn).

圖3

2.3 費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)

平面內(nèi)一點(diǎn)P到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為PA+PB+PC，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)，距離之和PA+PB+PC最小.

2.4 費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)證明

如圖 4，設(shè) 點(diǎn) P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，將△APC繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP'C'，連接 PP'，顯然△APP'為等邊三角形，則AP=PP'，P'C'=PC.

所以點(diǎn)C'可看成線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而得到的定點(diǎn)，BC'為定長(zhǎng)，所以當(dāng) B，P，P'，C'四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC最小，此時(shí)∠APB=∠BPC=∠APC=120°.

以上費(fèi)馬點(diǎn)問題告訴我們，平面內(nèi)存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換.

3 中考試題中的“費(fèi)馬點(diǎn)”

例2 (2009年浙江省湖州)若P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點(diǎn) P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

(1)若點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，則 PB 的值為＿ ;

圖4

(2)如圖 5，在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB'，連接 BB'.

求證：BB'過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn) P，且 BB'=PA+PB+PC.

解析(1)2

(2)設(shè)點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，即∠APB=∠BPC=∠CPA=120°.

如圖5，把△ACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△B'CE，連接PE，則△EPC為正三角形.

圖5

例3 (2009年北京)如圖6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(-6，0)，B(6，0)，C(0，4)，延長(zhǎng) AC到點(diǎn) D，使CD=AC，過D點(diǎn)作DE∥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

圖6

(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F，分別連接DF，EF，若過B點(diǎn)的直線y=kx+b將四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式;

(3)設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線y=kx+b與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短.(要求：簡(jiǎn)述確定G點(diǎn)位置的方法，但不要求證明).

解析 (1)(2)略，對(duì)于第(3)問，如何確定點(diǎn)G的位置是本題的難點(diǎn).

圖7

就是MQ+AQ+BQ最小，就是在直線MO上找點(diǎn)G使它到A，B，M三點(diǎn)的距離之和最小.

這就是一個(gè)“費(fèi)馬點(diǎn)”問題的變形，注意到題目中等邊三角形△MAB，考慮作旋轉(zhuǎn)變換.

如圖8，把△MQB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，

得到 △M'Q'B，連 接QQ'，MM'，可 知 △QQ'B，△MM'B都是等邊三角形，則QQ'=BQ.

圖8

注 例2是有關(guān)“費(fèi)馬點(diǎn)”的知識(shí)閱讀理解，例3是有關(guān)“費(fèi)馬點(diǎn)”的轉(zhuǎn)化運(yùn)用，兩例方法的共性在于運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換將問題轉(zhuǎn)化到公理“兩點(diǎn)之間，線段最短”上來，值得總結(jié).

特別是例3，考慮到要使MQ+2AQ最小，就是MQ+AQ+BQ最小，即在直線MO上找到一點(diǎn)G使它到A，B，M三點(diǎn)的距離之和最小.我們可以直接運(yùn)用“費(fèi)馬點(diǎn)”的定義和性質(zhì)來解決這個(gè)問題.因?yàn)椤鱉AB是等邊三角形，所以點(diǎn)G一定在OM上，并且就是等邊△MAB的外心，即點(diǎn)G是∠MAB的平分線與OM的交點(diǎn)，顯然這樣來解非常快捷.

現(xiàn)行初中教材沒有提到“費(fèi)馬點(diǎn)”概念，更談不上直接運(yùn)用“費(fèi)馬點(diǎn)”的性質(zhì)來解決路徑最短問題，但講清“費(fèi)馬點(diǎn)”的存在，其性質(zhì)的由來以及為什么要進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，對(duì)開拓學(xué)生的思維、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)無疑是有益處的.如果掌握了“費(fèi)馬點(diǎn)”的性質(zhì)并會(huì)靈活運(yùn)用，那將大大提高解題的速度和質(zhì)量.

由條件可以證明點(diǎn)Q'總在AM'上，所以 AM'與 OM 的交點(diǎn)就是所要的G點(diǎn)，如圖9，可證

圖9

1 李玉榮.從費(fèi)馬點(diǎn)談起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2011，2(下)

2 金建華.費(fèi)馬點(diǎn)與中考試題［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2010，9

3 宋凡忠.費(fèi)馬點(diǎn)與最短路徑［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2010，11

20110710)