基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)——記一堂《基本不等式》公開(kāi)課

215400 江蘇省太倉(cāng)高級(jí)中學(xué) 張 敏

基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)
——記一堂《基本不等式》公開(kāi)課

215400 江蘇省太倉(cāng)高級(jí)中學(xué) 張 敏

1 何謂APOS理論?

APOS理論是由美國(guó)數(shù)學(xué)教育學(xué)家杜賓斯基(EdDubinsky)在20世紀(jì)80年代提出的一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的新理論，是一種具有數(shù)學(xué)學(xué)科特色的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，被譽(yù)為近年來(lái)數(shù)學(xué)教育界最大的理論成果之一.它分別是由英文action(操作)、process(過(guò)程)、object(對(duì)象)和schema(圖式)的第一個(gè)字母所組合而成.這種理論認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念必須要進(jìn)行心理建構(gòu)，這一建構(gòu)過(guò)程要經(jīng)歷四個(gè)階段：

(1)活動(dòng)階段：數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，操作運(yùn)算行為是數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)性行為.學(xué)生與數(shù)學(xué)家一樣，要親自投入，通過(guò)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來(lái)獲得知識(shí).

(2)過(guò)程階段：不斷重復(fù)這種操作，學(xué)生從中得到不斷反思，于是就會(huì)在大腦中進(jìn)行一種內(nèi)部的心理建構(gòu)，即形成一種過(guò)程模式.這種過(guò)程模式使得操作呈現(xiàn)出自動(dòng)化的表現(xiàn)形式，而不再借助于外部的不斷刺激.

(3)對(duì)象階段：當(dāng)學(xué)生意識(shí)到可以把這個(gè)過(guò)程看作是一個(gè)整體，并意識(shí)到可以對(duì)這個(gè)整體進(jìn)行轉(zhuǎn)換和操作的時(shí)候，其實(shí)已經(jīng)把這個(gè)過(guò)程作為一個(gè)一般的數(shù)學(xué)對(duì)象，形成一個(gè)“實(shí)體”.這時(shí)不但可以具體地去指明它所具有的各種性質(zhì)，也可以此為對(duì)象具體地去實(shí)施各種特定的數(shù)學(xué)演算.

(4)圖式階段：個(gè)體對(duì)操作、過(guò)程、對(duì)象以及他自己頭腦中的原有的相關(guān)方面的問(wèn)題圖式進(jìn)行相應(yīng)的整合、精選就會(huì)產(chǎn)生出新的問(wèn)題圖式，這種圖式的作用和特點(diǎn)就是可以決定某些問(wèn)題或某類(lèi)問(wèn)題是否屬于這個(gè)圖式，從而就會(huì)作出不同的反應(yīng).顯然，個(gè)體的思維和認(rèn)識(shí)狀況在這種持續(xù)建構(gòu)中已經(jīng)上升到更高的層次.即對(duì)有關(guān)概念進(jìn)行了更高層次的加工和心理表征.

2 APOS理論下的基本不等式教學(xué)策略

2.1 基于APOS理論的基本不等式的教學(xué)策略

教材中，對(duì)基本不等式內(nèi)容的編排符合APOS理論對(duì)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理建構(gòu)過(guò)程，因此運(yùn)用此理論能設(shè)計(jì)出更好的基本不等式教學(xué)策略.下面以基本不等式的教學(xué)為例.

最后一環(huán)節(jié)“圖式”階段.盡管大量的習(xí)題對(duì)學(xué)生鞏固基本不等式是有效的，但不可效仿傳統(tǒng)的“題海式”，而應(yīng)考慮例題的特點(diǎn)，以生活中的實(shí)例(回到開(kāi)始天平稱(chēng)物重的實(shí)例)，讓學(xué)生從具體到抽象進(jìn)一步體會(huì)運(yùn)用基本不等式解決函數(shù)的最值問(wèn)題及不等式的證明問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基本不等式的多種幾何解釋?zhuān)瓿勺詈蟮膱D式階段，從另一個(gè)角度加深對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí).

2.2 基于APOS理論的基本不等式的教案

基本不等式在高中數(shù)學(xué)中的重要性不僅在于它的概念理解，還體現(xiàn)在利用基本不等式解決函數(shù)的最值問(wèn)題和不等式的證明問(wèn)題.根據(jù)筆者對(duì)APOS理論的理解設(shè)計(jì)出以下基本不等式的教學(xué)方案.

第一階段：觀察與操作(活動(dòng)階段)——表現(xiàn)活動(dòng)為主的感性認(rèn)識(shí)

問(wèn)題1 用一個(gè)天平稱(chēng)一件物品，如何操作方能合理的表示物體的重量?

生1：把砝碼放在一邊，物體放在另一邊就行了!

生2：不對(duì)，天平可能不等臂，為此要左右各秤一次，將兩次所稱(chēng)重量a，b相加后除以2就可以了.

師：生2的做法合理嗎?請(qǐng)大家討論，給出理由!

生3：不合理，生2這樣的做法仍然存在偏差，根據(jù)物理學(xué)科的杠桿原理，在生2的基礎(chǔ)上可求出物體的真實(shí)重量，應(yīng)該為

第二階段：綜合分析(過(guò)程階段)——思維活動(dòng)為主的理性思考

師：理由呢?

師：非常好，能自我修正!那么在數(shù)學(xué)中，驗(yàn)證能替代證明嗎?有沒(méi)有更加嚴(yán)格的論證方法呢?

問(wèn)題2 上述不等式成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由!

學(xué)生活動(dòng)，小組討論部分：

師：這就是證明不等式的基本方法之一：作差法.這種證法大家很容易發(fā)現(xiàn).

問(wèn)題3 如何理解“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義?

生6：就是兩者等價(jià)的意思!

師：說(shuō)得能否再明白點(diǎn)呢?

師：這種證法的特點(diǎn)是怎樣的呢?

生7：從結(jié)果出發(fā)，一步一步倒推到已知的結(jié)論(或條件)!

師：這種“執(zhí)果索因”的證明方法稱(chēng)為“分析法”.其書(shū)寫(xiě)格式必須是：(1)要證，即證(或用?表示即證)(2)上述各步均可逆

生8：我將上面的證法“倒過(guò)來(lái)”寫(xiě)，即

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.)

這種證法顯然與分析法過(guò)程恰恰相反，是由已知結(jié)論(或條件)出發(fā)，一步一步推導(dǎo)結(jié)果.

師：這種由因索果的證明方法稱(chēng)之為“綜合法”.

教師點(diǎn)評(píng)

①比較法(比差、比商法)、分析法、綜合法是證明不等式的基本方法.

②強(qiáng)調(diào)“當(dāng)且僅當(dāng)”的重要作用;

③比較上述兩個(gè)不等式的特征(強(qiáng)調(diào)它們的限制條件，并舉反例加以說(shuō)明).

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生在頭腦中對(duì)反復(fù)的不等式的證明活動(dòng)作出嘗試，并不斷進(jìn)行分析、反思，通過(guò)思維的內(nèi)化、整合與壓縮，形成過(guò)程模式，抽象出基本不等式的概念，即“活動(dòng)”內(nèi)化為“過(guò)程”.此時(shí)個(gè)體能夠?qū)静坏仁降母拍钸M(jìn)行一般化，認(rèn)識(shí)其實(shí)質(zhì)，由此對(duì)概念的認(rèn)識(shí)從感性上升到理性，從而為第三階段形成概念做好鋪墊.

問(wèn)題6 學(xué)習(xí)了基本不等式，可以有何用途呢?

生11：可以用基本不等式來(lái)證明不等式.

例如，設(shè)a，b為正數(shù)，證明下列不等式成立：

問(wèn)題4 你能用準(zhǔn)確的文字語(yǔ)言表述基本不等式嗎?

生9：兩個(gè)正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù).

問(wèn)題5 我們能否將基本不等式的條件進(jìn)一步完善呢?

生10：我發(fā)現(xiàn)當(dāng) a=0，b＞0 或 b=0，a＞0 或 a=b=0時(shí)，不等式同樣成立，所以我們把不等式

問(wèn)題7 (2)在結(jié)論成立的基礎(chǔ)上，條件“a＞0，b＞0”可以變化嗎?

設(shè)計(jì)意圖 在APOS理論中達(dá)到對(duì)象階段，把a(bǔ)和b看成一個(gè)整體，對(duì)其進(jìn)行分析.著重體現(xiàn)運(yùn)用基本不等式的條件(非負(fù)實(shí)數(shù))和定值(和定積最大，積定和最小).

在學(xué)生完成求解過(guò)程后，引發(fā)大家思考：?jiǎn)栴}8 我們能否對(duì)這個(gè)例題進(jìn)行一定的變形呢?生12：可以! 已知 x＜0，當(dāng) x取什么值時(shí)，x+的值最大?最大值是多少?

生13：也可以這樣變!已知x＞1，當(dāng)x取什么值時(shí)，x+的值最小?最小值是多少?

生14：也可以這樣變!已知x≥2，當(dāng)x取什么值時(shí)，x+的值最小?最小值是多少?

師：非常好!我們不妨分組來(lái)解決大家提出的問(wèn)題!

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)學(xué)生互動(dòng)，感受利用基本不等式來(lái)求解函數(shù)的最值問(wèn)題，需要注意的有三點(diǎn)：一正二定三相等.在教學(xué)實(shí)踐中，教師要充分利用實(shí)際問(wèn)題、變式問(wèn)題、開(kāi)放問(wèn)題以及學(xué)生自己的反例等具有啟發(fā)性和探索性的問(wèn)題，組織生動(dòng)有趣的操作活動(dòng)，將概念作為一個(gè)已知對(duì)象應(yīng)用到它生存的土壤和背景中，并把它作為一個(gè)工具、一個(gè)新的對(duì)象來(lái)對(duì)待，力求從不同角度來(lái)加深學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，豐富學(xué)生對(duì)概念的理解，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的建構(gòu).

第四階段：形成圖式(圖式階段)——辨析與反思

問(wèn)題9 我們學(xué)習(xí)了基本不等式及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用，那么我們能否換個(gè)角度來(lái)欣賞基本不等式呢?比如通過(guò)形的角度來(lái)解釋此不等式呢?

大家開(kāi)始討論，各小組內(nèi)成員均發(fā)表自己的見(jiàn)解!

生16：在圖1中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a，BC=b.過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DD'，連接 AD，BD，OD.那么 DO=，DC=，通過(guò)圖形我們發(fā)現(xiàn)半徑不小于半弦.因此利用這個(gè)圖形得到了基本不等式的幾何解釋.

圖1

圖2

師：很好!剛才的這個(gè)圖標(biāo)是2002年在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，它是最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會(huì)”.這就是本屆大會(huì)會(huì)徽的圖案.這個(gè)圖案是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的“趙爽弦圖”.

點(diǎn)評(píng) 從形的角度來(lái)看，基本不等式具有特定的幾何意義;從數(shù)的角度來(lái)看，基本不等式揭示了“和”與“積”這兩種結(jié)構(gòu)間的不等關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)圖形的認(rèn)識(shí)，加深學(xué)生對(duì)重要不等式的認(rèn)識(shí)和理解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法和對(duì)比的數(shù)學(xué)思想，多方面思考問(wèn)題的能力.完成最后圖式階段，使學(xué)生從數(shù)和形兩方面掌握完整的基本不等式的內(nèi)涵和其他概念的區(qū)別和聯(lián)系，并能在解決問(wèn)題時(shí)創(chuàng)設(shè)與概念相關(guān)的問(wèn)題情境.

3 教學(xué)感悟

上述案例，按照這一理念，圍繞著“活動(dòng)”、“過(guò)程”、“對(duì)象”和“圖式”四個(gè)階段實(shí)施概念教學(xué)，環(huán)環(huán)相扣，循序漸進(jìn)，牽引并支持著學(xué)生在自己的經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)本質(zhì)之間不斷對(duì)話，在連續(xù)性地回顧與反思過(guò)程中提升、擴(kuò)充學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)識(shí)，深化對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，使學(xué)生明確了：

(1)概念的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程及其產(chǎn)生的背景;

(2)概念中有哪些規(guī)定和限制條件，它們與以前學(xué)過(guò)的哪些知識(shí)有著怎樣的聯(lián)系;

(3)概念的名稱(chēng)和表示方法有何特點(diǎn);

(4)概念有沒(méi)有等價(jià)的敘述;

(5)運(yùn)用概念能解決哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題.

從而實(shí)現(xiàn)了真正意義上的概念建構(gòu)，取得了較好的教學(xué)效果.

但運(yùn)用APOS理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)時(shí)需要注意以下幾點(diǎn).

(1)數(shù)學(xué)概念的建立應(yīng)遵循循序漸進(jìn)的原則，不能一蹴而就.這就需要經(jīng)過(guò)多次反復(fù)，循序漸進(jìn)，螺旋上升，直至學(xué)生真正理解.同時(shí)APOS理論的四個(gè)階段并非一定體現(xiàn)在一堂數(shù)學(xué)課當(dāng)中，也不是每一課都必須遍歷四個(gè)階段，它適用于數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中建立的一段時(shí)期，并不局限于某一堂課.

(2)A-P-O-S四階段是一個(gè)相對(duì)連續(xù)的過(guò)程.四個(gè)階段也可認(rèn)為代表著概念在學(xué)生腦海中建立起來(lái)的四個(gè)必經(jīng)路段，并且他們是相對(duì)連續(xù)的過(guò)程.如果忽略P階段直接由A階段跳躍到O階段，或是跨越O階段直至S階段都是不現(xiàn)實(shí)的.概念在學(xué)生大腦建立期間，任一階段都是不可缺少的.或缺其中任一階段建立起來(lái)的數(shù)學(xué)概念要么現(xiàn)實(shí)根基不牢，要么缺乏抽象、提升或是成熟應(yīng)用.

(3)不能將APOS絕對(duì)化，實(shí)際操作時(shí)，往往“活動(dòng)”與“思考”可以穿插進(jìn)行，活動(dòng)中有思考，思考中有活動(dòng);“對(duì)象”與“圖式”也可以穿插進(jìn)行，兩個(gè)階段可以交替螺旋式進(jìn)行.

總之，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)工作中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，如何教好數(shù)學(xué)概念，怎樣的概念教學(xué)更有效?這是實(shí)施新課程教學(xué)的一個(gè)極其重要的課題，也是我們數(shù)學(xué)教師的一個(gè)永恒的話題，值得我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中認(rèn)真研究，積極探索和不斷反思.盡管APOS為我們提供了數(shù)學(xué)概念教學(xué)的模式，但也需要根據(jù)實(shí)際情況理智、審慎而科學(xué)的運(yùn)用.

1 張奠宙，李俊.數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論.北京：高等教育出版社，2003，4

2 張偉平.基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)通訊，2006，2

3 鄭毓信，梁貫成.認(rèn)知科學(xué)、建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育.上海教育出版社，1998

4 陳曦.于活動(dòng)中生成，從過(guò)程中體驗(yàn)，在操作中建構(gòu)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)2010，5

20110802)