基于小波包變換與前向線性預(yù)測(cè)濾波的光纖陀螺去噪算法

申 沖 陳熙源

(東南大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096)

(東南大學(xué)微慣性儀表與先進(jìn)導(dǎo)航技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096)

光纖陀螺是20世紀(jì)70年代發(fā)展起來(lái)的一種新型慣性儀器［1］.作為慣導(dǎo)系統(tǒng)的核心元件，光纖陀螺的輸出精度直接影響著慣導(dǎo)系統(tǒng)的性能.由于光纖陀螺易受環(huán)境噪聲的影響，因此在陀螺信號(hào)中除有用信號(hào)之外，還往往伴有大量的噪聲，相對(duì)微弱的信號(hào)通常會(huì)淹沒在強(qiáng)噪聲中，因此如何減小噪聲對(duì)陀螺信號(hào)的影響便成為亟需解決的問(wèn)題［2］.

小波分析是傳統(tǒng)的去噪方法，已廣泛應(yīng)用到陀螺及其他信號(hào)的去噪處理中［3-5］，并取得了良好的效果.作為小波分析方法的改進(jìn)，小波包變換也被應(yīng)用到光纖陀螺信號(hào)去噪中，由于小波包能對(duì)信號(hào)進(jìn)行更細(xì)致的分解，從而得到了優(yōu)于小波分析的去噪結(jié)果［6］.此外，F(xiàn)LP 算法［7］、LMS 算法［8］等也在光纖陀螺信號(hào)去噪中得到了廣泛應(yīng)用.目前已有的方法基本上是利用單一算法對(duì)光纖陀螺信號(hào)進(jìn)行處理，去噪精度有限.

本文針對(duì)光纖陀螺信號(hào)的噪聲，提出了一種基于小波包變換與FLP算法的去噪方法——WPTFLP算法.該算法結(jié)合小波包與FLP算法的優(yōu)點(diǎn)，充分利用小波包變換在信號(hào)多尺度分解以及FLP算法高精度去噪的優(yōu)勢(shì)，在僅增加較低復(fù)雜度的基礎(chǔ)上，有效地減小了噪聲對(duì)光纖陀螺輸出的影響，從而提高了光纖陀螺的精度與慣導(dǎo)系統(tǒng)的性能.

1 小波包變換原理

在正交小波變換中，多尺度分解只在A空間進(jìn)行，而沒有在D空間內(nèi)進(jìn)行進(jìn)一步分解，即C0=A1⊕D1=A2⊕D2⊕D1=…，其分解具有一定的局限性.小波包變換則提供了更為靈活的分解方式，將頻帶進(jìn)行多層次劃分，對(duì)小波分解中沒有細(xì)分的高頻段進(jìn)一步分解，并能夠根據(jù)被分析信號(hào)的特征，自適應(yīng)地選擇相應(yīng)頻帶，使之與信號(hào)的頻譜相匹配.小波與小波包變換如圖1所示［9］.

圖1 小波分解與小波包分解對(duì)比圖

按照不同的尺度因子，多分辨率分析把Hillbert空間分解為所有子空間的正交和.為進(jìn)一步對(duì)小波子空間Dj進(jìn)行頻率的細(xì)分，可將尺度空間Aj和Dj用一個(gè)新的子空間統(tǒng)一起來(lái)表示.若令，則Hillbert空間的正交分解可用的分解統(tǒng)一為

式中，g(k)=(－1)kh(1－k)，即2系數(shù)也具有正交關(guān)系.當(dāng)n=0時(shí)，式(2)可以直接給出:

式中，u0(t)和u1(t)分別為尺度函數(shù)和母小波函數(shù)，即小波包是基于小波變換的進(jìn)一步發(fā)展，能得到更精細(xì)的分解結(jié)果.

2 FLP去噪原理

FLP濾波即前向線性預(yù)測(cè)濾波，其思路是把先前的信號(hào)乘以相應(yīng)的權(quán)重來(lái)預(yù)測(cè)當(dāng)前時(shí)刻的信號(hào)，其最佳權(quán)重的獲取需要一個(gè)迭代過(guò)程.此過(guò)程首先設(shè)定權(quán)重初始值為零，然后使用最小均方差理論來(lái)最小化當(dāng)前時(shí)刻的信號(hào)與預(yù)測(cè)值之間的差值，不斷更新從而最終獲得一個(gè)穩(wěn)定收斂的權(quán)重值.

當(dāng)前時(shí)刻陀螺信號(hào)的估計(jì)值為

式中，X(n－1)={x(n－1)，x(n－2)，…，x(n－K)}T為先前時(shí)刻陀螺輸出所組成的向量，x(np)為先前時(shí)刻的陀螺信號(hào);A為預(yù)測(cè)濾波器的權(quán)重系數(shù)矢量;αp為權(quán)重;K為階數(shù).其中K的選取為影響該算法應(yīng)用的重要因素之一，階數(shù)越大，去噪效果越好，但會(huì)加大去噪過(guò)程的計(jì)算量并影響去噪過(guò)程的實(shí)時(shí)性.經(jīng)過(guò)多次反復(fù)試驗(yàn)，選取K=60作為本文中FLP濾波器的階數(shù).

根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則，F(xiàn)LP的均方誤差即損失函數(shù)可定義為

式中，e(n)=x(n)－^x(n)，表示FLP誤差.根據(jù)最小均方差準(zhǔn)則來(lái)最小化前向線性預(yù)測(cè)誤差，即要選擇合適的權(quán)重以使評(píng)價(jià)函數(shù)取得極小值.由最小均方值可得權(quán)重的迭代調(diào)整公式為［7］

式中，μ為一個(gè)正的常量，用以控制整個(gè)迭代過(guò)程的收斂速度.μ取值較大有利于快速迭代，但會(huì)增加穩(wěn)態(tài)均方誤差和最小均方誤差之間的偏差，并可能導(dǎo)致整個(gè)迭代過(guò)程發(fā)散.為了保證較快的預(yù)測(cè)收斂速度和相對(duì)較小的穩(wěn)態(tài)誤差，一般給μ設(shè)定一個(gè)上限:μmax=1/λmax，其中，λmax為輸入向量 X(n －1)的自相關(guān)矩陣的最大特征值.

3 WPT-FLP算法

WPT-FLP算法具體步驟如下:

①小波包分解與單支重構(gòu).選擇小波包分解的尺度為N，并對(duì)各節(jié)點(diǎn)的小波包系數(shù)進(jìn)行單支重構(gòu).

②小波包高頻系數(shù)強(qiáng)制去噪.第N層各節(jié)點(diǎn)小波包系數(shù)是由第N－1層各節(jié)點(diǎn)系數(shù)分解得到的，故相對(duì)第N－1層系數(shù)，第N層小波包系數(shù)包含2N－1個(gè)低頻系數(shù)結(jié)點(diǎn)即節(jié)點(diǎn)(N，0)，(N，2)，…，(N，2N－2)，例如圖1(b)第3層小波包分解系數(shù)中的 AAA0，ADA2，AAD4與ADD6;第 N 層小波包系數(shù)還包含 2N－1個(gè)高頻系數(shù)結(jié)點(diǎn)即(N，1)，(N，3)，…，(N，2N－1)，例如圖 1(b)中的 DAA1，DDA3，DAD5與DDD7.本步驟對(duì)高頻系數(shù)強(qiáng)制去噪，即將高頻系數(shù)全部置零.

③小波包低頻系數(shù)FLP去噪.對(duì)步驟②中描述的第N層低頻系數(shù)進(jìn)行FLP前向線性預(yù)測(cè)，在此預(yù)測(cè)過(guò)程中，預(yù)測(cè)誤差與步長(zhǎng)是密切相關(guān)的.在初始階段，預(yù)測(cè)誤差較大，步長(zhǎng)的選擇應(yīng)該使預(yù)測(cè)誤差快速降到一定的程度，此時(shí)可以取相對(duì)較大的步長(zhǎng).當(dāng)預(yù)測(cè)誤差降到一定程度，采用小步長(zhǎng)以提高穩(wěn)態(tài)輸出精度.由于WPT-FLP權(quán)系數(shù)調(diào)整是基于分頻段數(shù)據(jù)塊進(jìn)行的，因此每個(gè)頻段步長(zhǎng)調(diào)整應(yīng)該和頻段內(nèi)預(yù)測(cè)誤差的絕對(duì)誤差有關(guān).令第j頻段內(nèi)FLP絕對(duì)誤差的均值為則可以使用下面的步長(zhǎng)增益算法公式［10］:

式中，β為由預(yù)測(cè)過(guò)程決定的加權(quán)系數(shù);α為衰減系數(shù).可通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)來(lái)獲得β與α的最優(yōu)值［11］.為提高算法速度，步驟②和③采用并行處理.

④小波包重構(gòu).將步驟②和③分別處理后得到的第N層高低頻系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，得到WPT-FLP算法去噪后的光纖陀螺信號(hào).

4 光纖陀螺信號(hào)去噪結(jié)果分析

選取一組保偏干涉式閉環(huán)光纖陀螺的靜態(tài)輸出信號(hào)對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證，在水平放置、開機(jī)穩(wěn)定、工作環(huán)境恒溫(30℃)的條件下采集靜態(tài)陀螺信號(hào)，采樣頻率為100 Hz.取40 s采集的光纖陀螺靜態(tài)信號(hào)對(duì)3尺度WPT-FLP算法進(jìn)行驗(yàn)證，其中小波包的小波基選為db4小波.并與3尺度的小波包去噪、FLP去噪方法進(jìn)行比較，其結(jié)果如圖2所示.

圖2 原始信號(hào)與去噪結(jié)果示意圖

由圖2(a)可看出，光纖陀螺原始信號(hào)噪聲較大.由圖2(b)、(c)、(d)對(duì)比可得，與小波包和FLP算法去噪相比，WPT-FLP算法的去噪效果更好，能更有效地減小噪聲對(duì)信號(hào)的影響.

圖3中分別為原始信號(hào)和WPT-FLP算法去噪后信號(hào)的連續(xù)小波變換三維圖，對(duì)比可得，原始信號(hào)的高頻系數(shù)較大，而WPT-FLP算法處理后的信號(hào)則有效地消除了高頻系數(shù)即噪聲的影響.

為定量分析WPT-FLP算法的去噪能力，可通過(guò)信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)差(S)及Allan方差分析［12］中誤差系數(shù)的變化情況來(lái)反映算法的去噪效果.用Allan方差分析中誤差系數(shù)中的量化噪聲(Q)與角度隨機(jī)游走系數(shù)(N)來(lái)表征噪聲大小，分析結(jié)果見表1.

圖3 原始信號(hào)與去噪后信號(hào)的小波變換三維圖

表1 去噪前后光纖陀螺信號(hào)分析

由表1可看出，相比小波包變換和FLP去噪算法，WPT-FLP算法去噪后的信號(hào)其量化噪聲、角度隨機(jī)游走與標(biāo)準(zhǔn)差均有顯著下降，表明WPT-FLP算法的去噪能力要優(yōu)于小波包變換及FLP去噪算法.

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)光纖陀螺信號(hào)中的噪聲，本文結(jié)合小波包變換與FLP濾波算法的優(yōu)勢(shì)，提出了一種新的去噪方法——WPT-FLP算法.該方法利用小波包變換將輸入向量分解到多尺度空間，降低了信號(hào)的自相關(guān)性，從而提高了FLP算法的去噪精度.利用一組光纖陀螺靜態(tài)輸出信號(hào)對(duì)去噪算法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng)的小波包去噪和FLP算法，本文提出的WPT-FLP算法能更有效地降低白噪聲對(duì)光纖陀螺輸出信號(hào)的影響，去噪精度更高，且該方法簡(jiǎn)便易行，易于軟件實(shí)現(xiàn).

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