基于極化變換的極化匹配濾波器及其通帶理論

劉 濤 胡生亮 陳 旗 黃高明 高 俊

(海軍工程大學電子工程學院,湖北武漢430033)

1.引 言

極化濾波的關鍵在于利用目標信號和干擾噪聲信號在極化特征上的差異,在數(shù)學上可以建模為帶有約束的線性或者非線性最優(yōu)化問題。在現(xiàn)在雷達極化濾波中一般所提的濾波概念為以信干噪比(SINR)最大化準則的極化濾波器,傳統(tǒng)上基于SINR準則的濾波器可以看作是匹配濾波器,可以稱SINR最大化為準則的極化濾波器為極化匹配濾波器[1]。

延承電磁波傳播與接收的研究思路,對完全極化信號,Guili,Boerner等研究了最優(yōu)極化叉,即共極化零點,交叉極化零點和交叉極化最大點形成了一個極化叉,極化叉所在的平面處于poincaré球面上某個大圓上;對于部分極化信號,Van Zyl借助laglange乘子法獲取了其最優(yōu)解,但是,需要求解六次方程的根,計算比較復雜;Czyz提出利用相干法和非相干法兩種方法來消除部分極化雜波;在同時存在部分極化信號和干擾時,Poelman研究了多凹口邏輯極化對消器(MLP)。Gherardelli提出了多凹口自適應極化對消器(MLP-SAPC),并與單凹口極化對消器和MLP進行了比較;當同時存在完全極化的信號和干擾,以及白噪聲時,Stapor定義了信干噪比(SINR)等式,并提出了幾種最優(yōu)化策略,指出SINR的最優(yōu)極化點位于一個圓上[1]。王雪松等推導了局部最優(yōu)接收極化解,楊運甫等提出了基于極化橢圓參數(shù)的三步搜索比較法的數(shù)值求解方法[2]。當同時存在噪聲、部分極化的信號和干擾時,王雪松等利用Lagrange乘子法求取了SINR最優(yōu)化的兩個備選解,同時提出了SINR極化濾波器通帶的概念[3-4]。徐振海等利用矢量梯度方法求取了SINR等式的解析解[5]。王雪松等以SINR極化濾波器為參照標準,提出了極化濾波器的優(yōu)選方案和判別條件[6]。作者對部分極化電磁波統(tǒng)計特性的研究也為極化濾波器的設計提供了指導[7]。但是目前極化濾波處理存在的問題主要是:一濾波原理與算法只能針對二維數(shù)據(jù),不能處理高維極化散射的數(shù)據(jù)處理,沒有給出極化白化濾波與匹配濾波的銜接;二極化通帶表征復雜,需要在三維球面上表征,簡化通帶的表達將是極化濾波處理的理論的一個實際需求。

2.極化匹配濾波器的Jones矢量解

在經(jīng)典的Stokes矢量的表征理論中,干擾和噪聲是分開計算的,并且將白噪聲的極化假設為未極化波。實際上,噪聲隨著環(huán)境和接收機內部擾動的變化,都會呈現(xiàn)出一定的極化狀態(tài),可見白噪聲的極化實際上也未必是未極化波[4]。因此,可以將干擾和噪聲疊加起來,構造新的基于總體干擾信號的極化表達式。在干擾和噪聲不相關的情況下,通過干擾信號和噪聲信號的Stokes矢量疊加就能得到總體干擾極化形式。

假設雷達接收到的電磁波的復矢量表示為Jones矢量形式[8],即

顯然,尋求信噪比最大化的最優(yōu)接收極化與相干矩陣的絕對強度是沒有關系的,最優(yōu)接收極化一般劃歸為矩陣的特征值問題.

式中,h是最大特征值λ所對應的特征向量。根據(jù)部分極化相干矩陣的正定性上式變換為

可見最大的特征值為

最大特征值對應的特征矢量為

附錄A證明了通過Stokes參數(shù)計算的與通過極化復平面計算的最優(yōu)極化的一致性。同時可以得到,最優(yōu)極化與特征極化基下信號相干矩陣相位是相同的。

由式(6)得到

可見如果干擾噪聲相干矩陣對角化后γi≤1,那么,在極化復平面上極化匹配濾波器的最優(yōu)極化必定在單位圓上或者圓外。

另外,值得說明的是在二維的電磁波極化特性上利用了極化基變換的方法簡化了最優(yōu)極化的求解,得到了與已有結論完全一致的結果,驗證了方法的正確性。同時,在極化合成孔徑雷達(SAR)圖像處理中,給出的往往是3×3或者4×4甚至也有更高維數(shù)據(jù)處理的需求[10-11],這是傳統(tǒng)的Stokes矢量分析方法難以解決的,同時現(xiàn)有文獻針對的極化SAR數(shù)據(jù)處理給出的都是假設3×3矩陣交叉元素為0的特殊情況[12],對于一般情況的分析由于其復雜性沒有給出理論分析與結果。這里提出的相干矩陣酉對角化思想可以完全適用于高維極化匹配情況,這為在實際中高維極化匹配濾波的應用提供了簡單可靠的技術途徑。其過程就是首先將高維噪聲相干矩陣酉對角化(對應極化基變換),然后根據(jù)最大信噪比的Jones矢量表達形式求取最優(yōu)極化,最后通過相應的逆變換就可以得到原極化基下的表達方式。

3.極化白化-匹配聯(lián)合濾波器

極化白化濾波器的提出是基于線性濾波器噪聲起伏性最小的原則[12],在數(shù)學上極化白化濾波器的線性變換等價于特征值分解理論中的迷向圓變換[8,13]。根據(jù)極化白化濾波器的定義,將經(jīng)典的三維模型降為兩維,極化白化濾波器的接收天線為全極化天線,那么根據(jù)噪聲的相干矩陣 ∑i=,那么相干矩陣的酉矩陣對角化為:∑i=UHA i U,易得極化匹配濾波器的線性變換矩陣為A-1/2i U,這樣本質上干擾噪聲就變成了完全未極化波,在這里考慮已經(jīng)通過極化基變換對角化。此時信號相干矩陣變?yōu)楦蓴_噪聲相干矩陣記為,那么 線性變換公式為

那么極化白化濾波器的全極化輸出信噪比為

可見,經(jīng)過極化白化處理后,濾波后全極化信噪比未必比原來的全極化信噪比更大。在極化SAR數(shù)據(jù)處理中極化白化濾波器到此取模后并未接著對信號進行繼續(xù)增強[12]。為了讓信噪比能夠達到最優(yōu),在信號極化狀態(tài)已知的前提下,可以在極化白化濾波器后串聯(lián)一個極化匹配濾波器,為了區(qū)別已有的極化白化濾波器稱之為極化白化-匹配濾波器。那么利用式(5),容易得到通過聯(lián)合濾波器的輸出信噪比為

利用附錄B相同的方法,可以得到極化白化-匹配聯(lián)合濾波器的輸出信噪比不低于全極化信噪比的結論。那么極化匹配濾波器與極化白化-匹配濾波器相比,哪個濾波器能夠獲得更大的信噪比呢?首先對兩種信噪比表達式進行變形,得到兩種信噪比的表達式變換為

易知 γs≥γi時,SINRWM≥SINRM;γs＜γi時,.那么兩種信噪比隨的變化規(guī)律如圖1所示(不妨假設共有系數(shù)=2)。依據(jù)極化濾波器的選擇與判決原則[6],以上分析為實際應用中極化濾波器的構建和選擇提供了理論依據(jù)。

圖1 極化匹配濾波器與極化白化-匹配濾波器的性能比較

4.極化復平面上的極化通帶理論

Poincaré球上所定義的極化通帶是一個極化球冠,對電磁波極化濾波的表征和分析是十分有用的工具。但是由于它是一個三維球面,所以有時很難將球面上各點對應的極化狀態(tài)進行可視化處理,特別是利用計算機繪圖技術進行表征與分析時,總體上來講通過計算機繪出的Poincaré球上的三維極化狀態(tài)點集遠不如一張平面圖看起來直觀和易于理解[13]。因此,利用第3節(jié)得到的極化復平面上的最優(yōu)極化方法來求解極化復平面上極化通帶的具體表征形式。但是到底極化通帶在極化復平面上表現(xiàn)為何種形式呢?理想的情形當然是圓,這樣濾波器非常容易判決。

根據(jù)極化通帶的概念,在極化復平面上可以表征為

這里0≤σ≤1,根據(jù)附錄C可以給出極化復平面上的極化通帶一般為一個圓的內部或者外部。不妨給出一組普通的極化參數(shù)實例,信號與干擾噪聲的相干矩陣為

可見極化通帶圓心在一條直線上,即在與信號相干矩陣相位完全相同的直線上。隨著通帶門限的降低,極化通帶將逐漸覆蓋半個極化復平面,如圖2所示。

那么附錄C中式(2)變?yōu)?/p>

表示通帶為平面極化域上直線的上半平面區(qū)域,如圖3所示。

圖4 圓外極化通帶

可見隨著所需信噪比數(shù)值的不斷減少,通帶在極化復平面上由圓內區(qū)域逐漸變換為某一直線之上的半平面區(qū)域,然后變化為另半平面內圓外的所有區(qū)域,最后達到最小值后成為全通狀態(tài)。同時值得指出的是,最優(yōu)極化點始終在通帶內,但是與圓心并不重疊,這一點從極化通帶圓的相切可以看出。極化通帶表征模式簡單直觀,易于理解并對相應數(shù)據(jù)處理非常有利(可對比文獻[1])。

5.結 論

主要利用相干矩陣的可酉對角化特點,借助極化基變換思想,通過矩陣特征值與特征矢量的方法求取了極化匹配濾波器的極化天線最優(yōu)化接收解析解,也就是信干噪比(SINR)等式的最優(yōu)極化Jones矢量解,所提的極化基變換思想可以推廣到一般高維極化匹配濾波的數(shù)據(jù)處理中。然后在不同背景下分析了極化白化濾波器與匹配濾波器的性能差異,提出了可通過信號處理方法虛擬實現(xiàn)的極化白化-匹配聯(lián)合濾波方法,對實際工程應用中極化濾波器的分析與選擇具有一定指導價值。針對極化匹配濾波器,分析了其最優(yōu)極化接收Jones矢量在極化復平面上的表征,同時在極化復平面上分析了極化通帶的特性,得出在poincaré球上的極化球冠的通帶映射到極化復平面變化為極化圓的表征模式。隨著所需信噪比數(shù)值的不斷減少,在極化復平面上通帶由圓內區(qū)域逐漸變換為某一直線之上的上半平面區(qū)域,最后變化為下半平面圓外的區(qū)域,最后成為全通狀態(tài)。在表達形式上簡單直觀,物理意義明確,特別適合于計算機仿真與實際計算,這些為部分極化信息的濾波處理提供了簡單有效的技術手段。隨著極化技術在雷達對抗中應用的不斷深入[14],如何通過實驗充分利用最優(yōu)極化濾波特性提高雷達極化目標的檢測與識別能力,將是下一步研究的重點內容。

附錄A 極化復平面上的極化匹配濾波器與部分極化下SINR最優(yōu)的一致性證明

利用已有Stokes矢量參數(shù)進行最優(yōu)化處理結果,經(jīng)過重新組織,得到物理意義明確的表達結果為[1]

式中:R max為最大SINR;gs0為信號平均功率;g I0為干擾噪聲(包含色噪聲、各極化通道噪聲不同的一般情況)總平均功率;g s為信號Stokes子矢量;g i為干擾(包含噪聲)的信號Stokes子矢量;p s和p i分別為表示信號極化度和噪聲干擾共同的極化度,定義為信號與干擾噪聲整體極化匹配系數(shù),且 ‖Mp‖ ≤1。可見,將環(huán)境噪聲、接收機內部噪聲和干擾信號全部整合到干擾信號中,形成統(tǒng)一的干擾功率和干擾Stokes子矢量,得到了形式簡潔、物理意義明確的最優(yōu)化結果。這個重新整理的結果比以前的結果簡潔明了,影響因素也非常明確。

利用特征極化基下相干矩陣與Stokes參數(shù)的轉化關系,易得

那么將式(A.2-A.4)代入式(A.1),經(jīng)過簡單的推導可以得到

這就驗證了兩種解法結果的一致性,同理可以得最優(yōu)極化的一致性。其實從變形出來的式(A.1)也可以看出,最優(yōu)極化的值R max其實與極化基的選擇或者變換是無關的,同時最優(yōu)接收極化在極化基變換上滿足經(jīng)典Stokes子矢量的變換公式,極化基變換為極化匹配濾波器的最優(yōu)化求解與簡化運算提供了很好的途徑。

附錄B 極化匹配濾波器的輸出信噪比不低于全極化信噪比的證明

由正文式(5)知

全極化信噪比一般定義為兩個接收極化通道的信號能量和的比值,即

那么式(1)變形得到

下面分兩種情況來討論:

1)如果γs≥γi,那么式(3)變化為

2)如果γs＜γi,那么式(4)變化為

綜合兩種情況可見,極化匹配濾波器的接收信噪比不僅不低于任何某一極化通道的信噪比,同時還不低于全極化信噪比。

附錄C 在極化復平面上極化通帶約束表現(xiàn)為極化圓的證明

根據(jù)極化通帶的概念,得極化復平面上極化通帶的判決式為

式中,0＜δ≤1,這里用直角坐標系來表征參量。不妨在干擾噪聲的特征極化基下考慮極化優(yōu)化問題,這樣干擾噪聲的極化在復平面上位于坐標原點。令接收極化中復數(shù)ρ=x+jy,信號相干矩陣互相關系數(shù)為βs=a+jb,那么式(C.1)變?yōu)?/p>

下面分三種情形進行討論:

1)如果 Δ =σsγs-σλmaxσiγi ＜0,

那么式(2)變?yōu)?/p>

表示通帶為平面極化域上直線的上半?yún)^(qū)域。同時可以看出,如果 βs=0,那么式(4)變?yōu)?γs ≤γi,δ=γs/γi;如果此時 γs＞γi,那么,δ=1,通帶就只是最優(yōu)極化那么一個狀態(tài)點。

這里,

可見R為δλmax的二次曲線形式,且開口向下。它的兩個根就是第二節(jié)所得到的兩個非負特征值 λ1、λ2:

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