數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

左霞

數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

左霞

構(gòu)建高職學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)是實(shí)現(xiàn)現(xiàn)代高等職業(yè)教育培養(yǎng)目標(biāo)的需要，也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求。教師要從教材中發(fā)掘知識(shí)點(diǎn)，培養(yǎng)構(gòu)建數(shù)學(xué)建模意識(shí)，培養(yǎng)高職生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，為專業(yè)發(fā)展服務(wù)。

高職生；高等數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)建模意識(shí)

培養(yǎng)高職學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，是高等職業(yè)教育高等數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求。為學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想和方法解決復(fù)雜的實(shí)際問題打下良好基礎(chǔ)意義。

一、融入數(shù)學(xué)建模思想的必要性

（一）調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生建模思想，有助于學(xué)習(xí)概念，把握事物本質(zhì)，使學(xué)生明確目的，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

通過對(duì)問題的研究，提高自我發(fā)現(xiàn)能力，了解數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升應(yīng)用能力，激發(fā)學(xué)生興趣，養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

（二）培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力

通過問題分析，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模方法，建立數(shù)學(xué)模型，解決高等數(shù)學(xué)問題。通過數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，使學(xué)生的各方面能力有所提高，比如經(jīng)驗(yàn)有所積累、分析問題的能力得到了增強(qiáng)，通過數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，教師打開了他們的思維空間，培養(yǎng)了創(chuàng)造力，實(shí)際應(yīng)用能力得到了鍛煉，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力有機(jī)地滲透到教學(xué)的全過程，以便獲得新型高效的教育實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)了從傳統(tǒng)教育向創(chuàng)新教育的知識(shí)傳授。在建模的過程中，注重了創(chuàng)造力的啟發(fā)，通過討論法、案例法使數(shù)學(xué)建模成為了有效的教學(xué)手段。

（三）培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)

當(dāng)今，用人單位要求剛參加工作的學(xué)生必須具備較高的綜合素質(zhì)，具有分析和解決問題的能力。學(xué)生的綜合素質(zhì)其就業(yè)和擇業(yè)有著很大的作用。這就要求高校要注重培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)。

數(shù)學(xué)建模屬于小型開發(fā)項(xiàng)目，可以培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)，在建模過程中，能做到訓(xùn)練有素，能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)與實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)實(shí)用要求得出結(jié)果和解決方案，通過檢驗(yàn)與應(yīng)用，這種最終結(jié)果將得出一個(gè)完整的定義。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中要有數(shù)學(xué)建模的思想，能夠提高學(xué)生的分析能力、數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力等各方面的能力，在實(shí)際應(yīng)用中，使學(xué)生的各種能力得到培養(yǎng)與提高，比如，這樣能夠提高創(chuàng)造力，培養(yǎng)想象力等能力，使學(xué)生的組織能力與管理能力得到增強(qiáng)，合作意識(shí)得到增強(qiáng)

二、數(shù)學(xué)建模思想的運(yùn)用

要通過高等數(shù)學(xué)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)包括多方面的能力，現(xiàn)在有些教科書也不斷地編入了與實(shí)際問題進(jìn)行對(duì)應(yīng)的例子、練習(xí)。差不多所有的教材中關(guān)于對(duì)函數(shù)極值問題的進(jìn)行的舉例中都是關(guān)于對(duì)實(shí)際應(yīng)用中的最簡(jiǎn)單的建模的相關(guān)知識(shí)。但是，只是了解運(yùn)算還不行,我們要做到從具體問題中結(jié)合已有的數(shù)據(jù)建立可有應(yīng)用的模型。例:有一組數(shù)據(jù)，農(nóng)村的小康水平是以年人均收入為2000元為標(biāo)準(zhǔn),實(shí)際上這個(gè)村共有400人,其中一戶全家共4口人，一年進(jìn)賬50萬,還有一戶也是4口人，家庭進(jìn)賬達(dá)到了每年20萬。本村2/3的人年收入在300元左右。要判斷這種情況是否為小康水平需要做總收入與總?cè)藬?shù)的除法，這樣可以判斷為達(dá)到小康水平。但是，再?gòu)囊韵聨讉€(gè)問題進(jìn)行分析,有9/10的人均收不足2000元,所以，不能以人均收入估算小康水平。這就要用到概率論，運(yùn)用其中的人均年收入的標(biāo)準(zhǔn)差a對(duì)此標(biāo)進(jìn)行推算。標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)與平均水平相差太多，不被列為小康水平的標(biāo)準(zhǔn)?？梢姡迅叩葦?shù)學(xué)與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合。以導(dǎo)數(shù)概念為例：

（一）引例

模型1:研究做變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的瞬時(shí)速度問題。（1）設(shè)計(jì)問題:對(duì)做變速運(yùn)動(dòng)的物體做設(shè)想,它在任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度用什么方法求到。（2）建立模型。

問題的分析:利用求勻速運(yùn)動(dòng)在某一時(shí)刻的速度公式:S=vt，對(duì)問題進(jìn)行分析:物體做變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的速度會(huì)出現(xiàn)不間斷的變化,當(dāng)時(shí)間的變化太小,可假設(shè)為勻速直線的運(yùn)動(dòng)。比如:研究一個(gè)做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體,對(duì)它的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行研究,由于它是做直線運(yùn)動(dòng)的,在一個(gè)特定的時(shí)刻,都有一個(gè)位移，所以，位移與時(shí)間之間就產(chǎn)生了這個(gè)公式:s=s(t)。從而得到了位移的公式。假設(shè)在t0時(shí)刻，對(duì)物體的位置進(jìn)行確定就得到了S=s(t0)。如果在這一時(shí)刻，時(shí)間上多一點(diǎn)時(shí)間，可以記為t,所對(duì)就的物體的位置成為S=(t0+△t):這里的位移增加了△S=S(t0+△t)-S(t0)。所以得到了物體在△t0，那么計(jì)算在t0+△t這瞬間的平均速度，還可以進(jìn)行這種假設(shè)，當(dāng)變化時(shí)間非常小的時(shí)候,速度可看作物體在t0這一瞬間的瞬時(shí)速度。

這樣，對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的位移函數(shù)s=s(t)作為已知的條件,可以求證到物體運(yùn)動(dòng)到任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度，這就是所建立的數(shù)學(xué)模型。

模型2:對(duì)非恒定電流的強(qiáng)度進(jìn)行研究。把0到t這段時(shí)間通過某一導(dǎo)體的橫截面的電量為Q=Q(t)，把這一條件作為已知的問題，研究t0時(shí)刻通過導(dǎo)體的電流強(qiáng)度為多少的問題。在對(duì)這一模型進(jìn)行研究時(shí),學(xué)生們可以利用 建立模型1的具體方法對(duì)模型1進(jìn)行研究，用建立模型1的步驟建立數(shù)學(xué)模型2。

（二）導(dǎo)數(shù)概念

如果當(dāng)△x接近于0的時(shí)候，就得到了極限，通過極限值就得到了函數(shù)y=f(x)中，方便于求某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。相當(dāng)于對(duì)于函數(shù)y=f(x)在一個(gè)固定的點(diǎn)可導(dǎo),這一般情況下被寫為f′(x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,對(duì)這兩個(gè)問題可以歸結(jié)為:(1)變速直線運(yùn)動(dòng)在t0瞬間的點(diǎn)速度,就是位移S在t0時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)。一般被寫作：vt0=S′(t0)。

非恒定電流在瞬間t0時(shí)刻的電流強(qiáng)度,是電量函數(shù)Q=Q(t)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。即It0=Q′(t0)。

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,可以對(duì)一組組的求導(dǎo)公式進(jìn)行推導(dǎo)。根據(jù)求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則,大家再去求前邊的模型就更方便了。比如，可以利用模型2的推導(dǎo)求模型1的解。還可以利用建立的模型求出現(xiàn)實(shí)生活中的其它模型的解，比如自由落體運(yùn)動(dòng)的求解。

（三）模型驗(yàn)證

以上結(jié)果與物理上得出的結(jié)果是一樣的所以對(duì)以上所建立模型是否正確做出了有力的驗(yàn)證。

（四）模型推廣

了解數(shù)學(xué)建模步驟，懂得函數(shù)變化率。于是進(jìn)一步懂得：求一個(gè)函數(shù)在某個(gè)瞬間變化率的事情，可以利用導(dǎo)數(shù)得到解，但是對(duì)以前的模型沒有重復(fù)。這里的概念教學(xué)滲透數(shù)學(xué)建模意識(shí)，在教學(xué)練習(xí)中運(yùn)用建模思想和方法。

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中要建立數(shù)學(xué)建模的思想，其主要目標(biāo)是通過對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行建模，使容易接受當(dāng)堂課的教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，樹立科研信心，學(xué)生們通過對(duì)數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用，提高解決實(shí)際問題的能力，使這種思路和方法運(yùn)用的更廣。

三、數(shù)學(xué)建模思想的滲透途徑

（一）引入模型，開闊視野，激發(fā)興趣

緒論課通常是高職學(xué)生剛開始對(duì)高等數(shù)學(xué)課程進(jìn)行學(xué)習(xí)，教師要在開始階段注意提高學(xué)生的興趣,讓他們能夠樹立學(xué)好高等數(shù)學(xué)的信心,注意第一堂課的決定作用，給學(xué)生講好第一堂課。

在現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)教育中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有所誤解，應(yīng)該從觀念上改變他們的看法，需要有的放矢地培養(yǎng)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲。通過實(shí)踐教學(xué)法、案例教學(xué)法是最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想的。給學(xué)生設(shè)計(jì)一些受歡迎的問題，如:在高低不平的地面上椅子能不能放平，對(duì)易拉罐進(jìn)行設(shè)計(jì)等，這種能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心，活躍課堂氣氛，開拓眼界的問題。學(xué)生們?cè)诮鉀Q這些問題過程中建立了良好的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，奠定了良好的心理基礎(chǔ)，使數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中發(fā)揮更大的作用。

（二）在數(shù)學(xué)概念中滲透數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)中，大多數(shù)的概念問題涉及到客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式，通過生產(chǎn)與生活而總結(jié)出的定理以及對(duì)它的應(yīng)用是重視了生活中的實(shí)際問題,對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中了解到數(shù)學(xué)概念是因?yàn)樾枰a(chǎn)生的。

在隨后的章節(jié)，選擇適當(dāng)?shù)囊恍?shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，通過抽象，簡(jiǎn)化，假設(shè)，變量，參數(shù)，建立數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問題。根據(jù)不同的內(nèi)容選擇不同的數(shù)學(xué)模型、案例教學(xué)以激發(fā)學(xué)生觀察思維，建立數(shù)學(xué)模型。編制的案例要遵循客觀，有趣、有代表性、科學(xué)合理的原則。

（三）滲透數(shù)學(xué)建模思想的評(píng)價(jià)

考試由單一的閉卷考試轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄻踊臏y(cè)試。公平公正，尊重能力。充分體現(xiàn)學(xué)生各方面的創(chuàng)造力，除了考試基本知識(shí)，也可以是部分與實(shí)際生活相關(guān)的開放性試題。

[1]葉其孝.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教材[M].長(zhǎng)沙:湖南教育出版社.1997.

[2]韋健,趙翌.數(shù)學(xué)建模中的創(chuàng)造性思維[J].佳林師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào),2007（4）.

[3]王懷友.談高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的滲透[J].理論界，2008（10）.

G642.1

A

1673-1999（2011）24-0178-02

左霞（1982-），女，山西大同人，山西大同職業(yè)技術(shù)學(xué)院（山西大同 037003）助教。

2011-11-05