淺談可能世界語義學(xué)與模態(tài)代數(shù)語義學(xué)

吳 迪

一、語義學(xué)簡述

給定一個(gè)形式語言系統(tǒng)L，關(guān)于L的語義解釋的理論就是L的語義學(xué)。這些由抽象符號構(gòu)成的系統(tǒng)自身沒有意義，而在給定形成規(guī)則后，抽象符號就構(gòu)成了特定的符號串—良構(gòu)串。良構(gòu)串中的符號表現(xiàn)出一定的聯(lián)系和規(guī)律，但只是符號在排列組合的規(guī)律，沒有任何實(shí)際意義，于是可以賦予它們?nèi)魏我饬x。

L的邏輯解釋可以分為直觀的邏輯和形式的邏輯兩種解釋。為了使L中良構(gòu)串的意義不僅取決于其中單個(gè)符號的意義要采用某種方法。論域由直觀的對象構(gòu)成且賦予邏輯常元的意義和方法也是直觀的是直觀的邏輯解釋；論域由抽象的對象構(gòu)成，確定L的非邏輯符號、邏輯常元與對象相聯(lián)系的方法都用形式化的規(guī)則給出是形式的邏輯解釋。

二、可能世界語義學(xué)

可能世界語義學(xué)是為了解釋模態(tài)邏輯的形式系統(tǒng)而提出的一種邏輯語義學(xué)。二十世紀(jì)初，數(shù)理邏輯研究進(jìn)入了現(xiàn)代模態(tài)邏輯的階段，通過符號化和公理化在語法的研究方面取得了重要進(jìn)展。美國邏輯學(xué)家劉易斯，創(chuàng)立了五個(gè)嚴(yán)格蘊(yùn)涵系統(tǒng)S1、S2、S3、S4、S5標(biāo)志著現(xiàn)代模態(tài)邏輯的正式建立。隨之而來的是人們對語義解釋的要求。這個(gè)時(shí)期，克里普克在可能世界語義學(xué)的研究上取得了很大的成就。

他的模型用有序的三元組來表示。其中W表示所有可能世界的集合；R表示W(wǎng)上的二元關(guān)系；V是賦值函數(shù)，通過遞歸的方式給出每個(gè)公式在各個(gè)可能世界中的真假情況。如果P在ωi中為真，就記作V(P, ωi)=1，如果為假，就表示為V(P, ωi)=0。而一個(gè)公式P可能在某個(gè)可能世界ωi中為假，在另一個(gè)世界中為ωj真。那么，一個(gè)公式在所有的相應(yīng)模型結(jié)構(gòu)的每個(gè)可能世界中都是真，它才能是有效的，才具有邏輯必然性，記作V(□P, ωi)=1。事實(shí)上，從純邏輯的角度這種語義模型，對于W是否是一個(gè)可能世界的集合已經(jīng)顯得無關(guān)緊要，不影響與語義有關(guān)的重要邏輯特性的考察和證明。

模態(tài)算子“必然”可解釋為“知”或“可證”。模態(tài)系統(tǒng)S4在兩種解釋下，既說明了人們在可證性方面的規(guī)律和有效推理模式也說明人們認(rèn)知中的規(guī)律和有效推理模式。從而產(chǎn)生認(rèn)知邏輯和可證性邏輯兩種不同的邏輯類型。

三、代數(shù)語義學(xué)

模態(tài)代數(shù)語義學(xué)是模態(tài)形式及其系統(tǒng)的代數(shù)解釋。由真值表發(fā)展而來，實(shí)質(zhì)上真值表也是一種僅以0和1為元素的矩陣。代數(shù)語義解釋，放棄了古典真值表中的真值聯(lián)系，值域可以是各種對象，將對象以矩陣化的方法發(fā)展了代數(shù)表達(dá)和處理問題的能力，擴(kuò)展了應(yīng)用的范圍。如果在一個(gè)矩陣中加入用以解釋模態(tài)算子的運(yùn)算這樣的矩陣則叫做模態(tài)矩陣。模態(tài)代數(shù)矩陣通過設(shè)立適用的矩陣，規(guī)定矩陣及其性質(zhì)，然后對系統(tǒng)中的對象進(jìn)行驗(yàn)證。再規(guī)定對象的特指值，通過矩陣對所屬的公式進(jìn)行變換，如果特指值在變換過程中發(fā)生變化了，那么不具有該矩陣的性質(zhì)，反之若特指值不變，則具有該矩陣所代表的性質(zhì)。

代數(shù)語義學(xué)利用矩陣的多樣性，如果能夠確立好恰當(dāng)?shù)木仃囈?guī)定其系統(tǒng)與矩陣相應(yīng)的性質(zhì)，那么在驗(yàn)證一個(gè)系統(tǒng)的完全性、可靠性、獨(dú)立性及多個(gè)系統(tǒng)的比較等許多方面都能夠發(fā)揮出巨大的作用。

四、兩種模態(tài)語義學(xué)的比較

（一）可能世界語義學(xué)和模態(tài)代數(shù)語義學(xué)同樣是對模態(tài)邏輯所建立的系統(tǒng)進(jìn)行語義上的解釋。前者是根據(jù)萊布尼茨的“可能世界”觀念，進(jìn)一步嚴(yán)格與精確化，通過建立一個(gè)有序三元組的方法，加之以不同的可能世界變元，側(cè)重與對模型的直觀的表述，與傳統(tǒng)的語義解釋有著相類似的形式。

模態(tài)代數(shù)語義學(xué)在傳統(tǒng)語義學(xué)的基礎(chǔ)上加入了代數(shù)矩陣的方法。重點(diǎn)將整個(gè)模型的特征融合在一個(gè)矩陣和若干解釋中，通常要比前者加入更多的算子。從某中角度上看，實(shí)際上代數(shù)語義解釋的模型也可以算作一個(gè)“系統(tǒng)”，我們在模態(tài)邏輯中所建立的正規(guī)系統(tǒng)都能在這個(gè)“系統(tǒng)”中被“驗(yàn)證”和解釋。

（二）模態(tài)代數(shù)語義學(xué)的矩陣是從真值表發(fā)展而來的，但放棄了元素之間的這種真值聯(lián)系，僅保留了矩陣的代數(shù)形式本身。元素代以各種對象，可以通過定義和規(guī)定來進(jìn)行，所代入的對象當(dāng)然也可以是真值。而可能世界語義學(xué)所注重的仍然是0、1的真假值問題，它的值域就是{0，1}。因此，如果我們將可能世界語義學(xué)按照模態(tài)代數(shù)語義的方法，建立一個(gè)僅以{0，1}為元素的矩陣，是可以將這種直觀的語義解釋轉(zhuǎn)化成形式的語義解釋的。

（三）從語義學(xué)上的分類來看，可能世界語義學(xué)屬于直觀語義學(xué)。立足于人們的日常思維，即在直觀解釋下，它的邏輯系統(tǒng)符合人們?nèi)粘Ｋ季S形式中的推理模式。從這個(gè)角度看，如果邏輯學(xué)是研究推理的形式，那么邏輯的目的就把有效的推理形式從各種推理形式中提取。

代數(shù)語義學(xué)沒有對其建立的模型進(jìn)行直觀解釋。它在證明系統(tǒng)的可靠性和完全性等必要的性質(zhì)中具有直觀的語義不能取代的重要性，但是它不能把一定范圍內(nèi)的有效推理形式和其他推理形式區(qū)分開，勢必造成人們的混淆。

人們利用“可能”和“必然”，使一些在傳統(tǒng)邏輯中不能解決的問題在模態(tài)邏輯里得以解決。但抽象的模態(tài)系統(tǒng)必須加以語義解釋才有意義。任何形式化的系統(tǒng)都是為了更好的服務(wù)與直觀現(xiàn)實(shí)的，因此，在模態(tài)邏輯多樣化的語義學(xué)中，要求解釋模型的嚴(yán)謹(jǐn)可靠，也不能忽視它的直觀化，以便于人們理解和把握。

［1］何向東.廣義模態(tài)邏輯及其應(yīng)用［M］.人民出版社.2005.

［2］陳波.邏輯哲學(xué)［M］.北京大學(xué)出版社.2005.