一種具有偏差自變量的瑞利方程正周期解的存在性

劉一枝，楊喜陶

（湖南科技大學 數(shù)學學院，湘潭411201）

0 引 言

考慮如下具有偏差自變量的瑞利方程

其中f，p，τi∈C（R，R）且p，τi以T（T ＞0）為周期；gi∈C（R2，R），（i＝1，2，…n），且關于第一個變量以T為周期.

很多學者對某些二階微分方程正周期解的存在性作了較為深入的研究，見文獻［1－4］.而對瑞利方程正周期解存在性的研究相對較少.文［1］研究了當n＝1時，系統(tǒng)（1）正周期解存在性，由于各種因素，時滯可能不只一個，因此研究含有n個時滯的瑞利方程的正周期解存在性是有意義的.本文將建立方程（1）存在正的T周期解的條件.

1 預備知識及引理

引理1［5］設X 和Y 是Banach空間.L：D（L）∈X→Y是指標為0的Fredholm算子，

N：X→Y在Ω上是L－緊的，Ω是X上的有界開子集.若

（1）Lx ≠λNx，?x∈?Ω ∩D（L），λ∈ （0，1）；

（2）Nx?ImL，?x∈Ker L∩?Ω；

（3）deg｛QN，?Ω ∩ Ker L，0｝≠0；

引理2 若x（t）是連續(xù)可微的以T為周期的函數(shù).那么對 ?t＊∈（－∞，＋∞）

引理3［6］x（t）是兩次連續(xù)可微的以T為周期的函數(shù)，那么

2 主要結果

定理1 假設存在正常數(shù)d＞0，bi≥0，C1＞0

（d）｜f（x）｜≤C1，?x∈R；

（e）（b1＋b2＋…bn）T2＜4π，則（1）至少有一個正周期T的解.

證明：設X＝ ｛x｜x∈C1（R，R）：x（t＋T）＝x（t）｝

于是0｝是Y的閉子空間，dimKerL＝1＝CodimImL，因此，L是指標為0的Fredholm算子.

令 P ∶ X→KerL 為 Px（t） ＝ x（0），Q ∶

P和Q是連續(xù)的投影，滿足ImP＝Ker L，Ker Q＝ImL＝Im（I－Q），

由（2）可知Lx ＝λNx，λ∈ （0，1）等價于

若x＝x（t）是方程（4）的任意正T周期解.則?ξ∈ ［0，T］使得

那么

由于f（0）＝0，（4），（5）得

由條件（a）知存在1≤i≤n使

因為x（t）是方程（4）的正周期解，

令ξ－τi（ξ）＝kT＋t＊，t＊∈ ［0，T］，k是整數(shù).則

由引理2得

由引理2可得：

令M ＞max｛M0，M1｝和Ω1＝｛x∈X∶0＜x＜M，｜x′（t）｜＜ M｝.

從而引理1的條件（2）滿足

定義變換H如下：

對 ?x∈?Ω1∩Ker L和u∈［0，1］有H（x，u）≠0，由同倫不變定理可得：

則由引理1可知（1）存在正周期T的解.

［1］ F.M..Atici，G.Sh.Guseinov：On the Existence of Positive Solutions for Nonlinear dif－ferential Equations with Periodic Boundary Conditions.J.Comput.Appl.Math.，2001，132：341－356.

［2］ X.Yang：Multiple Positive Solutions of Second－order Differential Equations.Nonlin－ear Anal.，Theory Methods Appl.，2005，62：107－116.

［3］ X.Huang，Z.Xiang，On Existence of－periodic Solutions for Delay Duffing Equ ationx″＋g（t，x（t－τ（t））＝p（t），Chinese Sci.Bull.，1994，39：201－203.

［4］ T.A.Burton，Stability and Periodic Solution of Ordinary and Functional Differentia－l Equations，Academic Press，Orland，F(xiàn)L，1985.

［5］ R.E.Gaines，J.Mawhin，Coincide Degree and Nonlinear Differential Equations，Lectu－re Notes in Mathematics，vol.568，Spring，Berlin，1977.

［6］ J.Mawhin.Periodic Solutions of Some Vector Retarded Functional Differential Equations［J］.J.Math.Anal.Appl.，1974，45：588－603.