裝水后,游泳池底仍是水平的嗎?——利用Excel軟件分析視深度問(wèn)題

薛 峰

(蘇州立達(dá)中學(xué),江蘇 蘇州 215002)

問(wèn)題:如果你站在一個(gè)裝滿水、并且池底是水平的游泳池邊,你所看到的池底是否仍是水平的?

這個(gè)問(wèn)題的答案是否定的,裝滿水的游泳池池底看上去是傾斜的.盡管多數(shù)人都去過(guò)游泳池,但很少有人注意到這個(gè)現(xiàn)象,我們可以用如下的實(shí)驗(yàn)再現(xiàn)這一現(xiàn)象.

實(shí)驗(yàn):用加滿水的長(zhǎng)方體塑料盒模擬游泳池,用數(shù)碼照相機(jī)模擬人眼進(jìn)行實(shí)驗(yàn),拍攝照片如圖1所示,從照片中可以看出“池底”不是水平的,而是呈現(xiàn)斜坡?tīng)?同樣,用兩個(gè)相同的長(zhǎng)方體塑料盒進(jìn)行實(shí)驗(yàn),則可以對(duì)比裝水前后“池底”的情況.如圖2所示,左側(cè)盒中未裝水,右側(cè)裝滿水,從圖中不僅可以看到“池底”是傾斜的,還可以看出整個(gè)“池底”看上去明顯變淺了.

圖1

圖2

裝水后的“池底”看上去變淺了,這被稱為“視深度”現(xiàn)象,它是初中物理中有關(guān)光的折射的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),其基本內(nèi)容是“人在空氣中看到水中物體比其實(shí)際位置高”,在學(xué)習(xí)了光的折射規(guī)律后,學(xué)生可以通過(guò)畫(huà)出典型光路圖(如圖3)解釋這一現(xiàn)象.在圖 3中,若點(diǎn)A是水中某物體上的一點(diǎn),它發(fā)出光線穿過(guò)水面進(jìn)入人的眼睛里,人便能看到點(diǎn)A,但由于光在水面發(fā)生了折射,人眼的定位功能將折射光線的反向延長(zhǎng)線的交點(diǎn)(A′)認(rèn)為是A的位置,而實(shí)際上 A′只是A的虛像,它在水中的位置比點(diǎn)A高.如果點(diǎn)A恰好是游泳池底上的一點(diǎn),那么,點(diǎn)A′便直觀地說(shuō)明了裝水后的“池底”為什么看上去變淺了.但是如果就此認(rèn)為池底上每一點(diǎn)的視深度都和點(diǎn) A′相同,從而把過(guò)點(diǎn)A′的水平虛線MN看成整個(gè)“池底”的像的話,就大錯(cuò)特錯(cuò)了.這里需要討論到水中某物體的視深度是否變化這一問(wèn)題.

圖3

猜想:在水中物體和水面都不變的情況下,很容易猜想到水中物體的視深度可能會(huì)隨光路圖中兩根光線的入射角度的變化而變化.

圖4

分析1:為了便于分析,首先對(duì)光路作一些簡(jiǎn)化:如圖4所示,假設(shè)A是水中的一個(gè)物體,它發(fā)出兩根光線,其中一根光線垂直于水面入射,則它的折射光線不改變方向,折射光線的反向延長(zhǎng)線和入射光線重合;我們只需要根據(jù)另一根光線的光路就可以確定A物體的像A′的位置,設(shè)另一根光線的入射角為i,對(duì)應(yīng)折射角為 r,A物體實(shí)際深度h=OA=10 cm,其虛像A′的深度(即視深度)為H=OA′.查表得水的折射率約為n=1.33,空氣折射率近似為1.

由幾何關(guān)系可知

將(1)、(2)代入(3)式,可得

利用Excel軟件可以快速而簡(jiǎn)便地作出H與i的函數(shù)圖像,具體做法如下:

(1)在 Excel中新建一個(gè)工作表(如表 1),第1行至第3行分別表示入射角i、折射角r和視深度H.

表1

(2)入射角i以3°為間隔增加(輸入幾格后可通過(guò)拖動(dòng)實(shí)現(xiàn)),但有兩點(diǎn)要注意:①起點(diǎn)不能設(shè)為 0°,因?yàn)楫?dāng)i=0°時(shí),圖4中的兩根光線重合,交點(diǎn)不能確定,所以此處起點(diǎn)設(shè)為0.1°.②因?yàn)楣鈴墓饷苊劫|(zhì)向光疏媒質(zhì)傳播,會(huì)產(chǎn)生全反射現(xiàn)象,根據(jù)計(jì)算可知臨界角約為48.75°,所以這里入射角 i以48°為終點(diǎn).

(3)在B2單元格中輸入“=ASIN(1.33*SIN(B1*PI()/180))*180/PI()” ,表示公式“γ=arcsin(nsini)”,這里要注意角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換.

(5)選定單元格 B2:B3,拖動(dòng)至 R2:R3,各單元格內(nèi)的計(jì)算即刻完成.

(6)選中 A1:R1和 A3:R3中的數(shù)據(jù),再點(diǎn)擊插入菜單中的“圖表”,然后在圖表類型中選擇“XY散點(diǎn)圖”,并在子類型中選擇“無(wú)數(shù)據(jù)點(diǎn)平滑線散點(diǎn)圖”,再按幾次下一步,就可以得到視深度H與入射角i的函數(shù)圖像,即H-i曲線(如圖5).

(7)選中 A1:R1和 A2:R2中的數(shù)據(jù),同樣也可作出視深度H與折射角r的函數(shù)圖像(H-r曲線,如圖6)

圖5

圖6

從以上兩圖可以得出結(jié)論:在空氣中看水中物體的視深度不是一個(gè)定值,它會(huì)隨著入射角和折射角的變化而變化;入射角i越大,視深度 H越小(如圖5);折射角r越大,視深度H越小,或者說(shuō)視線和豎直方向角度越大看到水中物體的深度越淺(如圖6).

分析2:利用上述結(jié)論就可以解釋游泳池底為什么看上去是傾斜的.如圖7所示,點(diǎn)S是游泳池邊觀察者的眼睛,A、B、C是水平池底上的3個(gè)點(diǎn),它們發(fā)出的光線在水面發(fā)生折射后進(jìn)入觀察者眼睛S,觀察者所看到的像分別是 A′、B′、C′.由于 A、B、C3點(diǎn)到觀察者的水平距離不同,則人看到這3點(diǎn)的視線與豎直方向的角度也不同,由幾何知識(shí)可知,圖中3個(gè)折射角的大小關(guān)系為∠4＞∠5＞∠6,即離觀察者越遠(yuǎn)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的折射角越大,根據(jù)從圖6中得到的結(jié)論——折射角 r越大,視深度H越小,可知游泳池底的某點(diǎn)離觀察者水平距離越遠(yuǎn),它的視深度就越淺(如圖7中A′、B′和 C′所示),這樣本來(lái)水平的“池底”看起來(lái)應(yīng)呈一個(gè)斜坡?tīng)?如圖7中的虛線M N所示.

圖7

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中,通常還會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)現(xiàn)象:照相機(jī)鏡頭離水面越近,所拍攝到的“池底”傾斜的現(xiàn)象越明顯;相反,如果觀察者眼睛離水面過(guò)高,有時(shí)幾乎察覺(jué)不到“池底”是傾斜的.換言之,即當(dāng)視線和豎直方向角度越大時(shí),“池底”傾斜的現(xiàn)象越明顯.

要解釋這一現(xiàn)象,只需要再次用到上面的函數(shù)圖像(如圖6),但要進(jìn)一步挖掘出圖像中視深度H關(guān)于折射角r的變化率大小的問(wèn)題,這是中考圖像分析題中經(jīng)?？嫉降囊活悊?wèn)題,學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察能發(fā)現(xiàn),視深度H的變化量隨折射角r的增大而增大的規(guī)律.進(jìn)而可知當(dāng)觀察者眼睛離水面越近時(shí),也就是進(jìn)入眼睛的折射光線的折射角r越大時(shí),“池底”的視深度隨折射角變化得越快,因此“池底”的傾斜程度也越大.這一現(xiàn)象很好地說(shuō)明了為什么多數(shù)人站在游泳池邊不易發(fā)現(xiàn)“池底”是傾斜的,而為了更明顯發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象,可以選擇蹲在或趴在泳池邊.

對(duì)分析1中所作簡(jiǎn)化的再討論:在分析1中,為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化,假定一根光線總是垂直于水面入射,只需分析另一根光線的入射角度即可.這一簡(jiǎn)化雖然并不妨礙解釋“池底”傾斜的成因,但畢竟與實(shí)際情況有所出入,簡(jiǎn)化結(jié)果使畫(huà)出的像A′始終位于A的正上方;但實(shí)際上,人眼瞳孔很小,一般正常成人瞳孔在彌散自然光線下的直徑大約在2.5 mm到4.0 mm之間,因此只能讓很窄的光束通過(guò),多數(shù)情況是看不到垂直入射的光線的,這就會(huì)造成所成的像在水平方向上有一個(gè)側(cè)移.如圖 8所示,L1和 L2表示剛好進(jìn)入瞳孔的光束中最下沿和最上沿的兩根光線,根據(jù)上述簡(jiǎn)化分析可知,由 L1和 L2找到的像分別位于圖中A1和A2,但實(shí)際上人眼只能根據(jù)能進(jìn)入瞳孔的光線L1和L2的反向延長(zhǎng)線將像定位于圖中A′點(diǎn),這樣虛像就不在物體的正上方,而發(fā)生了側(cè)移,不過(guò)側(cè)移量微小,不易覺(jué)察.此處限于篇幅,就不對(duì)這個(gè)問(wèn)題深入展開(kāi)了.

圖8