一維光子晶體光學(xué)性質(zhì)的一種簡(jiǎn)化分析方法

羅 杰 須 萍 高 雷

(蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇蘇州 215006)

近年來(lái),光子晶體是光子學(xué)與光學(xué)工程研究中的熱門(mén)課題,因?yàn)槠鋼碛锌梢匀缛怂傅乜刂乒庾拥倪\(yùn)動(dòng)的特點(diǎn),而光子器件的研究和發(fā)展直接影響光通訊業(yè)的發(fā)展,所以對(duì)光子晶體的研究是有價(jià)值的.光子晶體是在1987年由John和Yablonovitch提出來(lái)的[1,2]一類(lèi)在光學(xué)尺度上折射率周期性變化的人工設(shè)計(jì)和制造的晶體,與半導(dǎo)體晶格對(duì)電子波函數(shù)的調(diào)制相類(lèi)似,光子晶體能夠調(diào)制具有相應(yīng)波長(zhǎng)的電磁波,其重要特性是光子帶隙和光子局域化的現(xiàn)象.其中光子局域效應(yīng)是電子局域化的光子學(xué)模擬.

一維光子晶體在結(jié)構(gòu)上最為簡(jiǎn)單,實(shí)驗(yàn)上易于制備,傳統(tǒng)的多層膜就可以看作一維光子晶體.對(duì)于一維光子晶體,其內(nèi)部存在著前進(jìn)波與后退波的強(qiáng)烈的干涉作用,導(dǎo)致了其內(nèi)部存在光子局域效應(yīng),如果光強(qiáng)局域在光學(xué)活性物質(zhì)中,活性物質(zhì)的光學(xué)效應(yīng)將會(huì)得到增強(qiáng),這是因?yàn)楣獾慕^大部分能量集中的發(fā)生局域的地方,光與物質(zhì)之間的相互作用主要在這里發(fā)生,而光強(qiáng)是局域在晶體內(nèi)何處,則要考慮到整體結(jié)構(gòu)與組成晶體的介質(zhì)的性質(zhì).

研究一維光子晶體的理論方法主要有傳輸矩陣法[3,4]、時(shí)域有限差分法[5]和平面波展開(kāi)法[6]等.但這些方法都是從電動(dòng)力學(xué)基本觀點(diǎn)出發(fā),側(cè)重于復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算,而不能以一種直觀的方式幫助我們理解光子晶體的基本光學(xué)性質(zhì),我們往往要通過(guò)大量的數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比來(lái)總結(jié)出一些光子晶體的重要性質(zhì),而本文將基于光學(xué)中的一些基本概念和規(guī)律,來(lái)討論一維光子晶體中各介質(zhì)層對(duì)入射光的作用,進(jìn)而以一種直觀的方式來(lái)對(duì)一維光子晶體光學(xué)性質(zhì)做出分析,這就使得我們能夠以光學(xué)中的一些簡(jiǎn)單、容易理解的概念和規(guī)律來(lái)解釋電動(dòng)力學(xué)中的這一復(fù)雜的前沿問(wèn)題,本文提出的分析方法淺顯易懂,因而有助于我們直觀地理解數(shù)值計(jì)算中的一些重要結(jié)果.

本文第1部分通過(guò)光學(xué)中的基本規(guī)律解釋了單一介質(zhì)層對(duì)光的作用,第2部分基于第1部分的結(jié)論討論了兩種典型結(jié)構(gòu)的一維光子晶體(A/B)和(A/B)/C(B/A)＾m的光學(xué)性質(zhì),并基于這些討論分析了(A/B)/(C/D)＾m型結(jié)構(gòu)的光學(xué)性質(zhì),在前兩種光子晶體中,A、B、C都為均勻、線性且各向同性的無(wú)損耗的電介質(zhì),A、B的光學(xué)厚度取的光學(xué)厚度取其中 λ0為中心波長(zhǎng).本文所考慮的都是正入射而且光子晶體的處于真空中的情形.

1 理論基礎(chǔ)

1.1 單一介質(zhì)層與基質(zhì)間反射、干涉性質(zhì).

圖1

圖2

表1 單一介質(zhì)層與基質(zhì)間反射、干涉性質(zhì)

如果介質(zhì)層兩側(cè)基質(zhì)的折射率不同時(shí)大于或小于該介質(zhì)層的折射率,通過(guò)與上面類(lèi)似的分析方法可以得到表1.

1.2 單一介質(zhì)層內(nèi)的多次反射、干涉性質(zhì)

對(duì)于一個(gè)處于基質(zhì)中的單一介質(zhì)層,除了介質(zhì)層與基質(zhì)間的反射、干涉現(xiàn)象外,在介質(zhì)層的內(nèi)部還存在著反射與干涉現(xiàn)象.

當(dāng)一介質(zhì)層兩側(cè)基質(zhì)的折射率同時(shí)大于或小于該介質(zhì)的折射率,且該介質(zhì)層的光學(xué)厚度取時(shí),如圖2所示,介質(zhì)層 C中入射光i先后經(jīng)界面2、1反射回到介質(zhì) C中,對(duì)于中心波長(zhǎng),光 i′與入射光i在界面 2處相位相差2π或4π(介質(zhì)層的折射率大于兩側(cè)基質(zhì)折射率時(shí),在界面1和2處反射都存在半波損失),即前進(jìn)波與內(nèi)反射前進(jìn)波干涉相長(zhǎng),這時(shí)該介質(zhì)層對(duì)于中心波長(zhǎng)可以看作是增透層;當(dāng)介質(zhì)層的光學(xué)厚度取時(shí),對(duì)于中心波長(zhǎng),該介質(zhì)層中光 i′與入射光i在界面2處的相位相差 π或3π,這時(shí)該介質(zhì)層對(duì)于中心波長(zhǎng)可以看作是增反層.

如果介質(zhì)層兩側(cè)的基質(zhì)的折射率不同時(shí)大于或小于該層的折射率,通過(guò)與上面類(lèi)似的分析方法可以得到表2.

表2 單一介質(zhì)層內(nèi)的多次反射、干涉性質(zhì)

通過(guò)表1和表2的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)一個(gè)單一介質(zhì)層的光學(xué)厚度不變,且所處環(huán)境與入射光的波長(zhǎng)一定,則該介質(zhì)層與基質(zhì)間的反射、干涉作用就與其內(nèi)部的反射、干涉作用相同.

根據(jù)干涉理論,當(dāng)通過(guò)介質(zhì)層的光的波長(zhǎng)遠(yuǎn)離中心波長(zhǎng)時(shí),原先的增反層會(huì)隨著波長(zhǎng)的遠(yuǎn)離逐步轉(zhuǎn)化為增透層,如果波長(zhǎng)繼續(xù)遠(yuǎn)離,增透層又會(huì)轉(zhuǎn)化為增反層,實(shí)際上,特定介質(zhì)層對(duì)光的作用效果會(huì)隨著入射光波長(zhǎng)相對(duì)中心波長(zhǎng)的遠(yuǎn)離而發(fā)生周期性變化.

2 光子晶體

2.1 (A/B)＾n型光子晶體

2.1.1 禁帶

在該晶體中,除了其最外側(cè)的兩介質(zhì)層外,對(duì)于中心波長(zhǎng),其他的介質(zhì)層均可以看作是增反層,而最外側(cè)的介質(zhì)層會(huì)因?yàn)榛|(zhì)的不同而等效成不同的情形,由于邊界層層數(shù)相對(duì)中心層層數(shù)少得多,因而可以忽略邊界層的影響,因此(A/B)＾n型光子晶體可以看作是由周期性增反層疊加而成,進(jìn)而等效簡(jiǎn)化為單一的特殊的增反層,其特殊之處在于該結(jié)構(gòu)能夠?qū)χ行牟ㄩL(zhǎng)以及其鄰域內(nèi)的一段波長(zhǎng)的光都起著強(qiáng)烈的增反作用,形成以中心波長(zhǎng)為中心的透射禁帶,但隨著入射光波長(zhǎng)相對(duì)中心波長(zhǎng)的遠(yuǎn)離,增反作用減弱,而增透作用逐漸變強(qiáng),隨著波長(zhǎng)的繼續(xù)遠(yuǎn)離,介質(zhì)層的等效作用將發(fā)生周期性改變,形成多級(jí)禁帶.

2.1.2 通帶

隨著入射波長(zhǎng)相對(duì)中心波長(zhǎng)的遠(yuǎn)離,光在各介質(zhì)層中的光程將發(fā)生變化,介質(zhì)層的增反作用將較小,并逐漸起到增透作用,形成透射通帶,與禁帶類(lèi)似,存在著多級(jí)通帶.

各級(jí)通帶頻率中心分別為2kω0(k=1,2,3,…),因?yàn)檫@時(shí)晶體內(nèi)各介質(zhì)層才能夠起到增透層的作用.

總的來(lái)說(shuō),(A/B)＾n結(jié)構(gòu)的光子晶體可以看作是一個(gè)單一的特殊的增反層,其特殊之處在于該等效增反層對(duì)以特定波長(zhǎng)為中心的一段波長(zhǎng)的光都可以起到近乎100%的增反作用,形成透射禁帶,而一般的增反層只能對(duì)于某一特定的波長(zhǎng)起到近乎100%的增反作用.禁帶的主要影響因素是調(diào)節(jié)參數(shù) φ、重復(fù)數(shù) n以及中心波長(zhǎng)λ0.

2.2 (A/B)＾n/C(B/A)＾m 型光子晶體

該結(jié)構(gòu)相比于結(jié)構(gòu)(A/B)＾n,相當(dāng)于多了一個(gè)缺陷層C.從透射曲線圖3可以看出,該結(jié)構(gòu)同樣存在著透射禁帶與通帶,這個(gè)是由缺陷層 C兩側(cè)的等效增反層產(chǎn)生的,因而禁帶與通帶的性質(zhì)主要由兩側(cè)的等效增反層決定.由于缺陷層C的存在,中心波長(zhǎng)處的入射光有很高的透射率.缺陷層C的光學(xué)厚度為,且其兩側(cè)的相鄰介質(zhì)相同,所以,對(duì)于中心波長(zhǎng),該缺陷層起到了增透的作用,該結(jié)構(gòu)可以看作是“等效增反層/增透層/等效增反層”的類(lèi)似法布里-珀羅共振腔的結(jié)構(gòu),使得圖3所示的透射曲線中心波長(zhǎng)處存在透射尖峰;同時(shí)該結(jié)構(gòu)能夠使得光多次通過(guò)缺陷層,并在缺陷層的邊界處干涉相長(zhǎng),最終光強(qiáng)在缺陷層及其兩側(cè)相鄰的介質(zhì)中有很強(qiáng)的局域,這一點(diǎn)從圖4中可以看出.

因?yàn)榻麕У闹饕再|(zhì)取決于兩側(cè)的等效增反層的性質(zhì),而這正是2.1所討論的,下面將主要討論禁帶中中心波長(zhǎng)處透射尖峰的性質(zhì).

圖3

圖4

2.2.1 重復(fù)數(shù)n和m

在該結(jié)構(gòu)中,一般取 n=m,因?yàn)檫@樣,中心缺陷層處于幾何中心位置,可以使得光能夠盡量多次地通過(guò)中心增透層,從而使其增透作用增強(qiáng),透射尖峰變高,局域效應(yīng)也同時(shí)變強(qiáng).

文獻(xiàn)[7]通過(guò)傳輸矩陣法給出了精確的數(shù)學(xué)證明,發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=m 時(shí),該結(jié)構(gòu)可由“等效增反層/增透層/等效增反層”結(jié)構(gòu)進(jìn)一步等效簡(jiǎn)化為一般的單一的介質(zhì)層,這樣消除了晶體內(nèi)的內(nèi)反射,當(dāng)不考慮介質(zhì)的吸收時(shí),該結(jié)構(gòu)在中心波長(zhǎng)處的透射率可以達(dá)到100%,如果n≠m,對(duì)稱(chēng)性將被破壞,則該結(jié)構(gòu)只能看作是至少兩種介質(zhì)的組合,則必定存在一定的內(nèi)反射,中心波長(zhǎng)的透射率將會(huì)減少.另外,文獻(xiàn)[7]還利用有效界面法證明了這一結(jié)論.

2.2.2 缺陷層的光學(xué)厚度

值得注意的是,缺陷層的光學(xué)厚度的改變基本不影響該結(jié)構(gòu)的禁帶的寬度,這是因?yàn)榻麕怯扇毕輰觾蓚?cè)的等效增反層產(chǎn)生的.

圖5

2.2.3 介質(zhì)的吸收

介質(zhì)的吸收導(dǎo)致透射尖峰高度的下降,介質(zhì)的吸收系數(shù)過(guò)大可能使得晶體的光學(xué)性質(zhì)不滿足實(shí)際應(yīng)用的設(shè)計(jì)要求,所以在設(shè)計(jì)光子晶體時(shí)要根據(jù)實(shí)際要求來(lái)選擇材料.

2.3 (A/B)＾n/(C/D)＾m 型結(jié)構(gòu)

要在禁帶中中心波長(zhǎng)處存在透射尖峰則需要存在類(lèi)似法布里-珀羅共振腔的結(jié)構(gòu),即對(duì)于中心波長(zhǎng),存在“等效增反層/增透層/等效增反層”的結(jié)構(gòu).

圖6

從圖6中還可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)左側(cè)光子晶體(A/B)＾n的調(diào)節(jié)參數(shù)φ等于右邊(C/D)＾m的調(diào)節(jié)參數(shù),且不考慮介質(zhì)的吸收時(shí),中心波長(zhǎng)處透射率可以達(dá)到100%,這是因?yàn)楫?dāng)光子晶體(B/A)＾m 與(C/D)＾m 的調(diào)節(jié)參數(shù) φ、重復(fù)數(shù) μ以及所取的中心波長(zhǎng)λ0相同時(shí),兩者的光學(xué)性質(zhì)就相同,考慮到 n=m,(A/B)＾n/(C/D)＾m 就可以等效地看作是(A/B)＾n/(B/A)＾n,即 A/(B/A)＾(n-1)/BB/(A/B)＾(n-1)/A,該結(jié)構(gòu)中間的BB層可以看作是增透層,同時(shí)該結(jié)構(gòu)還具有中心對(duì)稱(chēng)性,對(duì)于中心波長(zhǎng),(A/B)＾n/(C/D)＾m型光子晶體就能夠由“等效增反層/增透層/等效增反層”結(jié)構(gòu)進(jìn)一步等效簡(jiǎn)化為一般的單一的介質(zhì)層,因而中心波長(zhǎng)處透射率可以達(dá)到100%.

通過(guò)類(lèi)似的分析可得,如果 A的折射率小于B的折射率,那么禁帶中在中心波長(zhǎng)處存在透射尖峰的條件是,C的折射率大于D的折射率,同時(shí)這也是該結(jié)構(gòu)能夠存在光學(xué)表面態(tài)的必要條件[8].

3 結(jié)論

本文通過(guò)光學(xué)中的基本規(guī)律分析了一維光子晶體中各介質(zhì)層的作用,將一維光子晶體等效成特殊介質(zhì)層,進(jìn)而以直觀的方式解釋光子晶體的基本性質(zhì),即光子禁帶以及光子局域效應(yīng).這就使得我們能夠以光學(xué)中的一些簡(jiǎn)單、容易理解的概念和規(guī)律來(lái)容易地理解數(shù)值計(jì)算中的一些重要的結(jié)論.

一維光子晶體中的各介質(zhì)層的作用由該介質(zhì)層的光學(xué)厚度以及所其處環(huán)境決定,同時(shí),作用效果會(huì)隨著入射光波長(zhǎng)相對(duì)中心波長(zhǎng)的遠(yuǎn)離而發(fā)生周期性的變化.

當(dāng)入射波長(zhǎng)一定時(shí),(A/B)＾n型光子晶體可以等效看作是單一的特殊的增反層,其特殊之處在于該結(jié)構(gòu)能夠?qū)χ行牟ㄩL(zhǎng)以及其鄰域內(nèi)的一段波長(zhǎng)的入射光都起著強(qiáng)烈的增反作用,形成以中心波長(zhǎng)為中心的透射禁帶,禁帶的主要影響因素是調(diào)節(jié)參數(shù) φ、重復(fù)數(shù) n以及中心波長(zhǎng)λ0;(A/B)＾n/C/(B/A)＾n型光子晶體同樣具有禁帶結(jié)構(gòu),并且其性質(zhì)主要由中心層C兩側(cè)的等效增反層決定,對(duì)于中心波長(zhǎng)的入射光,該結(jié)構(gòu)可以等效為“等效增反層/增透層/等效增反層”的類(lèi)似法布里-珀羅共振腔的結(jié)構(gòu),使得中心波長(zhǎng)處的入射光有很高的透射率,當(dāng)n=m時(shí),該結(jié)構(gòu)又可進(jìn)一步等效簡(jiǎn)化為一般的單一的介質(zhì)層;而對(duì)于(A/B)＾n/(C/D)＾m結(jié)構(gòu),在當(dāng) A的折射率小于B的折射率時(shí),禁帶中在中心波長(zhǎng)處存在透射尖峰的條件是,C的折射率大于D的折射率,因?yàn)檫@時(shí)該結(jié)構(gòu)可以形成類(lèi)似法布里-珀羅共振腔的結(jié)構(gòu),同時(shí)這也是該結(jié)構(gòu)能夠存在光學(xué)表面態(tài)的必要條件.

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2 John S.Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices.Phys.Rev.Lett.,1987,58:2486-2489

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8 M.Kaliteevski,I.Iorsh,S.Brand,et al.Tamm plasmon-polaritons:Possible electromagnetic states at the interface of a metal and a dielectric Bragg mirror.Phys.Lett.B,2007,76:165415,1-5