“殊途不同歸”,原因何在?

鄭曙輝

(浙江省寧波第二中學(xué),浙江寧波 315010)

2010年山東調(diào)研卷中有一道考題,該題考查運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力,情景新穎,運(yùn)動(dòng)模式既非勻速運(yùn)動(dòng)又非勻變速運(yùn)動(dòng),是加速度隨時(shí)間均勻減小的變加速運(yùn)動(dòng),但求解的方法又在學(xué)生掌握的能力范圍內(nèi).筆者把它作為一道習(xí)題布置給學(xué)生,結(jié)果引發(fā)學(xué)生的大爭(zhēng)論,原因是采用兩種不同方法做的學(xué)生都認(rèn)為自己的解法完全正確,但結(jié)果卻并不相同,而且這個(gè)差異也不在計(jì)算的誤差范圍內(nèi),可謂“殊途不同歸”.原因何在?難道是其中一種方法有錯(cuò)誤?筆者抓住這個(gè)契機(jī),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析,查找原因所在,使學(xué)生通過(guò)爭(zhēng)議,獲取進(jìn)步.

原題摘錄如下:

圖1

F1是英文Formula One的縮寫(xiě),即一級(jí)方程式賽車(chē),是僅次于奧運(yùn)會(huì)和世界杯的世界第三大賽事.F1賽車(chē)的變速系統(tǒng)非常強(qiáng)勁,從時(shí)速0加速到100 km/h僅需2.3 s,此時(shí)加速度仍達(dá)10 m/s2,時(shí)速為200 km/h時(shí)的加速度仍有3 m/s2,從 0加速到 200 km/h再急停到 0只需 12 s.假定F1賽車(chē)加速時(shí)的加速度隨時(shí)間的增大而均勻減小,急停時(shí)的加速度大小恒為9.2 m/s2.上海F1賽道全長(zhǎng)5.451 km,比賽要求選手跑完56圈決出勝負(fù).求:

(1)若某車(chē)手駕駛該賽車(chē)比賽時(shí)的平均速度為 210 km/h,則跑完全程用多長(zhǎng)時(shí)間?

(2)該車(chē)手的F1賽車(chē)的最大加速度.

分析與解答:

該小題考查路程與平均速率的關(guān)系式,直接套用公式就可輕易求得答案,學(xué)生不會(huì)產(chǎn)生爭(zhēng)議.爭(zhēng)議的出現(xiàn)產(chǎn)生在第(2)小題中,下面對(duì)第2小題采用不同的方法進(jìn)行解答.

方法1:聯(lián)立方程組求解.

(2)F1賽車(chē)加速時(shí)的加速度隨時(shí)間的增大而均勻減小,由題意可得:a=am-kt,其中am為賽車(chē)的最大加速度.

設(shè)賽車(chē)速度從200 km/h急停到零時(shí),用時(shí)為t0,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得

am=14.4 m/s2.

方法2:用a-t圖像法求解

圖2

解得am=15.64 m/s2.

兩種不同的方法,得到的結(jié)果相差了1.24 m/s2,這絕對(duì)不是計(jì)算誤差所能簡(jiǎn)單解釋的,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩種求解方法的每一步進(jìn)行仔細(xì)推敲,發(fā)現(xiàn)方法都正確!問(wèn)題究竟出在哪里?為了引發(fā)學(xué)生積極思考,筆者又提出了一種新的解法,開(kāi)拓學(xué)生的思路.

方法3:等效平均加速度法求解.

(2)設(shè)賽車(chē)速度從200 km/h急停到零時(shí),用時(shí)為 t0,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得

又一個(gè)不同的答案!

對(duì)方法3的答案和方法2的答案及其解答過(guò)程進(jìn)行對(duì)照,容易發(fā)現(xiàn),這兩個(gè)答案其實(shí)在計(jì)算誤差范圍內(nèi),略有差異主要是在時(shí)間的計(jì)算上進(jìn)行了近似處理,如果把方法2的時(shí)間與方法3的時(shí)間進(jìn)行同樣的處理,這兩個(gè)答案是非常接近的,在計(jì)算誤差范圍內(nèi)可以近似看做相等.這樣,答案就傾向于am=15.4 m/s2了.

上述3種求解方法的思路各異,途徑各不相同,但方法正確.方法1和后兩種方法的答案為何會(huì)出現(xiàn)較大的偏差?再仔細(xì)分析這3種解法,發(fā)現(xiàn)后兩種都沒(méi)有用到時(shí)間在2.3 s時(shí)加速度達(dá)10 m/s2這一組數(shù)據(jù),而方法1是采用時(shí)間在2.3 s時(shí),加速度達(dá)10 m/s2和時(shí)間在5.96 s(或近似為6 s)時(shí),加速度為3 m/s2時(shí)建立兩個(gè)方程解得.可見(jiàn)造成答案偏差的問(wèn)題就出在當(dāng)時(shí)間為2.3 s時(shí),加速度達(dá)10 m/s2這一組數(shù)據(jù)不精確,2.3 s,10 m/s2不在 a-t圖線上.因此,筆者建議把該題的“從時(shí)速0加速到100 km/h速度仍達(dá) 10 m/s”,改為“從時(shí)速0加速到100 km/h僅需2.6 s,此時(shí)加速度仍達(dá) 10 m/s2”.依此條件建立的兩個(gè)方程組為

解得am=15.42 m/s2.這樣,3種方法求得的結(jié)果便一致了.

一個(gè)數(shù)據(jù)的瑕疵影響了整道題目的質(zhì)量.這道題目的求解告誡我們,出題者除了把握科學(xué)性、知識(shí)性以外,對(duì)題目中所涉及到的每一個(gè)數(shù)據(jù)也要進(jìn)行推敲,以免出現(xiàn)不應(yīng)有的錯(cuò)誤.教師在講解具體題目過(guò)程中,如果碰到了這種情況,更要抓住教學(xué)契機(jī),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正確、有效的討論,這樣“殊途”才能“同歸”,而不能隨意以題目有誤應(yīng)付了事.這樣做的目的,除了對(duì)知識(shí)的尊重以外,更重要的是在對(duì)學(xué)生激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的同時(shí),也培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度,這比掌握一道習(xí)題的求解更為重要!