帶電小球在正交場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡探討

黃尚鵬

(湖北省監(jiān)利縣朱河中學(xué),湖北監(jiān)利 433325)

問題.如圖1所示,范圍足夠大的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng),方向垂直 xOy平面向里,同時(shí)在 xOy平面內(nèi)充滿著勻強(qiáng)電場(chǎng),方向豎直向上,質(zhì)量為 m、電荷量為 q的帶正電小球從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā),沿 x軸正方向射入場(chǎng)區(qū),小球受電場(chǎng)力為自身重力的一半,試分析小球所有可能的運(yùn)動(dòng)軌跡.若小球沿軸正方向射入場(chǎng)區(qū),小球的運(yùn)動(dòng)軌跡又是怎樣的呢?

圖1

圖2

若小球沿x軸正方向射入場(chǎng)區(qū),如圖2所示,設(shè)小球的初速度為v0,小球受電場(chǎng)力和重力的合力為 mg-qE=方向豎直向下,沿 x軸正方向和負(fù)方向給小球兩個(gè)大小相等的輔助速度v,使 x軸正方向的速度所產(chǎn)生的洛倫茲力恰好與電場(chǎng)力和重力的合力平衡,即qvB=mg或?qū)懗蓈=,這樣我們可以將小球的運(yùn)動(dòng)看成是由 x軸正方向的速度v引起的勻速直線運(yùn)動(dòng)和由初速度v0及x軸負(fù)方向的速度v的合速度引起的勻速圓周運(yùn)動(dòng)疊加而成的一種運(yùn)動(dòng).為此,我們建立一以速度v沿x軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)的新坐標(biāo)系x′O′y′,初始時(shí)刻新坐標(biāo)系的原點(diǎn)在勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心處,下面我們可以通過坐標(biāo)變換求出小球的軌跡的參數(shù)方程.

當(dāng) 0≤v0＜v時(shí),如圖 3所示,坐標(biāo)系 x′O′y′中勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡在x軸的下方,速度為 v-v0,方向?yàn)閳A周運(yùn)動(dòng)的逆時(shí)針方向,半徑 R=周期 T=角速度 ω=在坐標(biāo)系 x′O′y′中小球的坐標(biāo)為 x′=-Rsinω t,y′=Rcosω t,在坐標(biāo)系 xOy 中小球的坐標(biāo)為

當(dāng) v0＞v時(shí),如圖 4所示,坐標(biāo)系 x′O′y′中勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡在x軸的上方,速度為 v0-v,方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向,圓周運(yùn)動(dòng)的半徑 R=顯然在坐標(biāo)系 x′O′y′中小球的坐標(biāo)為 x′=Rsinω t,y′=-Rcosω t,故在坐標(biāo)系 xOy中小球的坐標(biāo)為

圖3

圖4

顯然上述兩種情況下小球軌跡的參數(shù)方程形式完全相同,特殊情況下,若v0=v,則小球受洛倫茲力恰好與電場(chǎng)力和重力的合力平衡,小球?qū)⒀?x軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng).根據(jù)上述疊加思想可知,小球的運(yùn)動(dòng)具有周期性且從初始時(shí)刻開始每經(jīng)過半個(gè)周期,小球運(yùn)動(dòng)的水平位移Δx=與小球的初速度 v0的大小無關(guān).小球離開x軸的最大距離等于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的直徑,小球軌跡切線的斜率k=小球的速度方向沿軌跡的切線方向,下面我們分5種情況討論小球可能的運(yùn)動(dòng)軌跡.

根據(jù)前面的討論可知,小球軌跡的參數(shù)方程可統(tǒng)一表達(dá)為如下形式

對(duì) φ(t)和 ψ(t)求一階及二階導(dǎo)數(shù),有

由參數(shù)方程所表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)公式可知,

通過計(jì)算,可得

(1)當(dāng) v0=0時(shí),由圖 3可知,小球在軌跡的最低點(diǎn)具有最大水平速度,最低點(diǎn)軌跡切線水平;小球在軌跡的最高點(diǎn)速度為零,軌跡切線的斜率不唯一或不存在,最高點(diǎn)不光滑出現(xiàn)尖點(diǎn).這種情況除軌跡的最高點(diǎn)外,vx＞0,函數(shù)為凹函數(shù),軌跡向下凸.

(2)當(dāng)0＜v0＜v時(shí),由圖 3可知,小球在軌跡的最低點(diǎn)速度水平向右,最低點(diǎn)軌跡切線水平;小球在軌跡的最高點(diǎn)也具有水平向右速度,最高點(diǎn)軌跡切線也水平.故這種情況軌跡可能存在拐點(diǎn).

(3)當(dāng) v＜v0＜2v時(shí),由圖4可知,小球在軌跡的最低點(diǎn)速度水平向右,最低點(diǎn)軌跡切線水平;小球在軌跡的最高點(diǎn)也具有水平向右速度,最高點(diǎn)軌跡切線也水平.故這種情況軌跡也可能存在拐點(diǎn).

下面給出(2)、(3)兩種情況軌跡存在拐點(diǎn)的證明,并確定拐點(diǎn)的大致位置.

由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知,軌跡上某點(diǎn)是拐點(diǎn)的充要條件是該點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)等于零,且該點(diǎn)附近兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)要改變符號(hào).

當(dāng)0＜v0＜v時(shí),vx＞0,令得 cosω t=1顯然有 0＜cosω t＜1,ω t是一、四象限的角,且由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,二階導(dǎo)數(shù)等于零的該點(diǎn)附近兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)要改變符號(hào),故這種情況軌跡存在拐點(diǎn),由圖3可知,拐點(diǎn)在軌跡的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的水平中心線的上方.考慮從初始時(shí)刻開始到第1次經(jīng)過最低點(diǎn)的過程,即0≤ω t≤π,由(*)式易知,在拐點(diǎn)的左側(cè),函數(shù)為凸函數(shù),軌跡向上凸;在拐點(diǎn)的右側(cè)函數(shù)為凹函數(shù),軌跡向下凸.

當(dāng) v＜v0＜2v時(shí),vx＞0,令可得 cosω t=顯然有-1＜cosω t＜0,ω t是二、三象限的角,同理可知這種情況軌跡也存在拐點(diǎn),由圖4可知,拐點(diǎn)也在軌跡的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的水平中心線的上方.考慮從初始時(shí)刻開始到第一次經(jīng)過最高點(diǎn)的過程,即0≤ω t≤π,由(*)式知,在拐點(diǎn)的左側(cè),函數(shù)為凹函數(shù),軌跡向下凸;在拐點(diǎn)的右側(cè),函數(shù)為凸函數(shù),軌跡向上凸.

(4)當(dāng) v0=2v時(shí),由圖 4可知,小球在軌跡的最低點(diǎn)具有最大水平速度,最低點(diǎn)軌跡切線水平;小球在軌跡的最高點(diǎn)速度為零,軌跡切線的斜率k不唯一或不存在,最高點(diǎn)不光滑出現(xiàn)尖點(diǎn).這種情況除軌跡的最高點(diǎn)外,vx＞0,函數(shù)為凹函數(shù),軌跡向下凸.

(5)當(dāng) v0＞2v時(shí),由圖 4可知,小球在軌跡的最低點(diǎn)具有最大水平向右速度,最低點(diǎn)軌跡切線水平;小球在軌跡的最高點(diǎn)具有水平向左速度,最高點(diǎn)軌跡切線也水平,這種情況小球在水平方向時(shí)而向右運(yùn)動(dòng),時(shí)而向左運(yùn)動(dòng),在軌跡的最高點(diǎn)下方存在水平分速度為零而豎直分速度不為零的點(diǎn),在這些點(diǎn)軌跡的切線沿豎直方向.由(*)式知,當(dāng) vx＞0時(shí),函數(shù)為凹函數(shù),軌跡向下凸;當(dāng) vx＜0時(shí)函數(shù)為凸函數(shù),軌跡向上凸.

圖5

采用函數(shù)作圖軟件SmartGraph作出的上述5種情況下小球的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5所示,圖中 m=1 kg,q=1 C,B=1 T,v=5 m/s.各圖線代表的初速度分別為:

(1)v0=0;(2)0＜v0＜v,v0=3 m/s;(3)v＜v0＜2v,v0=7 m/s;(4)v0=2v=10 m/s;(5)v0＞2v,v0=15 m/s.注意小球的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡在y軸的右側(cè),由圖5可知,軌跡的形狀與上述分析是一致的.

至此,當(dāng)小球沿 x軸正方向射入場(chǎng)區(qū)時(shí),小球所有可能的運(yùn)動(dòng)軌跡都已解決,那么當(dāng)小球沿y軸正方向射入場(chǎng)區(qū)時(shí),小球的運(yùn)動(dòng)軌跡又是怎樣的呢?這種情況要比上述情況要簡(jiǎn)單些,可能的軌跡形狀只有一種,請(qǐng)看如下分析.

圖6

圖7

若小球沿y軸正方向射入場(chǎng)區(qū),如圖6所示,同樣將小球的運(yùn)動(dòng)看成是由 x軸正方向的速度v引起的勻速直線運(yùn)動(dòng)和由初速度v0及 x軸負(fù)方向的速度v的合速度v′引起的勻速圓周運(yùn)動(dòng)疊加而成的一種運(yùn)動(dòng).如圖7所示,坐標(biāo)系 x′O′y′中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度 v′=方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向,初始時(shí)刻 v′與x軸負(fù)方向的夾角為θ,且 tanθ=圓周運(yùn)動(dòng)的半徑 R=顯然在坐標(biāo)系 x′O′y′中小球的坐標(biāo)為 x′=-Rsin(ω t-θ),y′=Rcos(ω t-θ),故在坐標(biāo)系 xOy中小球的坐標(biāo)為

由于初速度豎直向上,故初始時(shí)刻軌跡的切線沿豎直方向,由圖7可知,小球在軌跡的最高點(diǎn)具有水平向左速度,最高點(diǎn)軌跡切線水平;當(dāng)小球再次回到軸時(shí),小球的速度豎直向下,軌跡的切線沿豎直方向;小球在軌跡的最低點(diǎn)具有最大水平向右速度,最低點(diǎn)軌跡切線水平.這種情況小球在水平方向時(shí)而向左運(yùn)動(dòng),時(shí)而向右運(yùn)動(dòng).從初始時(shí)刻開始每經(jīng)過一個(gè)周期,小球運(yùn)動(dòng)的水平位移為Δx=vT=與小球的初速度大小無關(guān).

仿造前面的方法,類似可得

故當(dāng) vx＜0時(shí),,函數(shù)為凸函數(shù),軌跡向上凸;當(dāng) vx＞0時(shí)函數(shù)為凹函數(shù),軌跡向下凸.

采用函數(shù)作圖軟件SmartGraph作出的這種情況下,小球的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖8所示,圖中m=1 kg,q=1 C,B=1 T,v=5 m/s.相應(yīng)的圖線所對(duì)應(yīng)的初速度分別為:(6)v0=5 m/s;(7)v0=12 m/s.

圖8

編者按:帶電粒子在正交場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng),本刊已發(fā)表了多篇文章.如無更新和更深入的意見,本刊將不再發(fā)表該類文章.